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第14練 函數(shù)的極值與最值
[題型分析高考展望] 本部分內(nèi)容為導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的一個(gè)重要應(yīng)用，在高考中也是重點(diǎn)考查的內(nèi)容，多在解答題中的某一問(wèn)中考查，要求熟練掌握函數(shù)極值與極值點(diǎn)的概念及判斷方法，極值和最值的關(guān)系.
常考題型精析
題型一 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值
例1 (2014江西)已知函數(shù)f(x)＝(x2＋bx＋b)(b∈R).
(1)當(dāng)b＝4時(shí)，求f(x)的極值；
(2)若f(x)在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞增，求b的取值范圍.
點(diǎn)評(píng) (1)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)并不一定就是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以在求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)后一定要注意分析這個(gè)零點(diǎn)是不是函數(shù)的極值點(diǎn).
(2)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有極值，那么y＝f(x)在(a，b)內(nèi)一定不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)沒(méi)有極值.
變式訓(xùn)練1 (2015安徽)已知函數(shù)f(x)＝(a>0，r>0).
(1)求f(x)的定義域，并討論f(x)的單調(diào)性；
(2)若＝400，求f(x)在(0，＋∞)內(nèi)的極值.
題型二 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值
例2 已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲線y＝f(x)在點(diǎn)x＝1處的切線為l：3x－y＋1＝0，若x＝時(shí)，y＝f(x)有極值.
(1)求a，b，c的值；
(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值.
點(diǎn)評(píng) (1)求解函數(shù)的最值時(shí)，要先求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]內(nèi)所有使f′(x)＝0的點(diǎn)，再計(jì)算函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間內(nèi)所有使f′(x)＝0的點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，最后比較即得.
(2)可以利用列表法研究函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的變化情況.
變式訓(xùn)練2 (2015安徽)設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－ax＋b.
(1)討論函數(shù)f(sin x)在內(nèi)的單調(diào)性并判斷有無(wú)極值，有極值時(shí)求出極值；
(2)記f0(x)＝x2－a0x＋b0，求函數(shù)|f(sin x)－f0(sin x)|在上的最大值D；
(3)在(2)中，取a0＝b0＝0，求z＝b－滿足D≤1時(shí)的最大值.
高考題型精練
1.(2015深圳模擬)設(shè)a∈R，若函數(shù)y＝ex＋ax，x∈R有大于零的極值點(diǎn)，則( )
A.a<－1 B.a>－1
C.a>－ D.a<－
2.已知函數(shù)y＝x3－3x＋c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則c等于( )
A.－2或2 B.－9或3
C.－1或1 D.－3或1
3.已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，設(shè)函數(shù)f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，則( )
A.當(dāng)k＝1時(shí)，f(x)在x＝1處取到極小值
B.當(dāng)k＝1時(shí)，f(x)在x＝1處取到極大值
C.當(dāng)k＝2時(shí)，f(x)在x＝1處取到極小值
D.當(dāng)k＝2時(shí)，f(x)在x＝1處取到極大值
4.(2015煙臺(tái)模擬)若函數(shù)f(x)＝
有且只有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是( )
A.(－4,0) B.(－∞，0]
C.(－4,0] D.(－∞，0)
5.已知a為常數(shù)，函數(shù)f(x)＝x(ln x－ax)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2(x1
0，f(x2)>－
B.f(x1)<0，f(x2)<－
C.f(x1)>0，f(x2)<－
D.f(x1)<0，f(x2)>－
6.已知函數(shù)f(x)＝x3＋2bx2＋cx＋1有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x1∈[－2，－1]，x2∈[1,2]，則
f(－1)的取值范圍是( )
A.[－，3] B.[，6]
C.[3,12] D.[－，12]
7.函數(shù)f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)內(nèi)有最小值，則a的取值范圍是________.
8.已知函數(shù)f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]既有極大值又有極小值，則a的取值范圍是________.
9.若函數(shù)f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的圖象關(guān)于直線x＝－2對(duì)稱(chēng)，則f(x)的最大值是________.
10.已知函數(shù)f(x)＝＋ln x，求函數(shù)f(x)的極值和單調(diào)區(qū)間.
11.(2014安徽 )設(shè)函數(shù)f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a>0.
(1)討論f(x)在其定義域上的單調(diào)性；
(2)當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，求f(x)取得最大值和最小值時(shí)的x的值.
12.(2015課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)＝emx＋x2－mx.
(1)證明：f(x)在(－∞，0)單調(diào)遞減，在(0，＋∞)單調(diào)遞增；
(2)若對(duì)于任意x1，x2∈[－1,1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e－1，求m的取值范圍.
答案精析
第14練 函數(shù)的極值與最值
?？碱}型精析
例1 解 (1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，).
當(dāng)b＝4時(shí)，f′(x)＝，
由f′(x)＝0得x＝－2或x＝0.
當(dāng)x∈(－∞，－2)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈(－2,0)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈(0，)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，
故f(x)當(dāng)x＝－2時(shí)取得極小值f(－2)＝0，
在當(dāng)x＝0時(shí)取得極大值f(0)＝4.
(2)f′(x)＝，
因?yàn)楫?dāng)x∈(0，)時(shí)，<0，
依題意當(dāng)x∈(0，)時(shí)，有5x＋(3b－2)≤0，
從而＋(3b－2)≤0.
所以b的取值范圍為(－∞，].
變式訓(xùn)練1 解 (1)由題意知x≠－r，
所求的定義域?yàn)?－∞，－r)∪(－r，＋∞).
f(x)＝＝，
f′(x)＝
＝.
所以當(dāng)x<－r或x>r時(shí)，f′(x)<0，
當(dāng)－r0.
因此，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－r)，(r，＋∞)；
f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－r，r).
(2)由(1)可知f′(r)＝0，f(x)在(0，r)上單調(diào)遞增，在(r，＋∞)上單調(diào)遞減.因此，x＝r是f(x)的極大值點(diǎn)，所以f(x)在(0，＋∞)內(nèi)的極大值為f(r)＝＝＝＝100，無(wú)極小值.
例2 解 (1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，
得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
當(dāng)x＝1時(shí)，切線l的斜率為3，可得2a＋b＝0.①
當(dāng)x＝時(shí)，y＝f(x)有極值，則f′＝0，
可得4a＋3b＋4＝0.②
由①②，解得a＝2，b＝－4.
由于切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x＝1，所以f(1)＝4.
所以1＋a＋b＋c＝4，所以c＝5.
(2)由(1)，可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，
所以f′(x)＝3x2＋4x－4.
令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝.
當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的取值及變化情況如下表所示：
x
－3
(－3，－2)
－2
(－2，)
(，1)
1
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
8
↗
13
↘
↗
4
所以y＝f(x)在[－3,1]上的最大值為13，最小值為.
變式訓(xùn)練2 解 (1)f(sin x)＝sin2 x－asin x＋b
＝sin x(sin x－a)＋b，－0，－2<2sin x<2.
①a≤－2，b∈R時(shí)，函數(shù)f(sin x)單調(diào)遞增，無(wú)極值.
②a≥2，b∈R時(shí)，函數(shù)f(sin x)單調(diào)遞減，無(wú)極值.
③對(duì)于－20時(shí)，－ex<－1，∴a＝－ex<－1.]
2.A [∵y′＝3x2－3，∴當(dāng)y′＝0時(shí)，x＝1.
則x變化時(shí)，y′，y的變化情況如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，＋∞)
y′
＋
0
－
0
＋
y
↗
c＋2
↘
c－2
↗
因此，當(dāng)函數(shù)圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，必有c＋2＝0或c－2＝0，∴c＝－2或c＝2.]
3.C [當(dāng)k＝1時(shí)，f′(x)＝exx－1，f′(1)≠0.
∴x＝1不是f(x)的極值點(diǎn).
當(dāng)k＝2時(shí)，f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2)，
顯然f′(1)＝0，且x在1的左邊附近f′(x)<0，
x在1的右邊附近f′(x)>0，
∴f(x)在x＝1處取到極小值.故選C.]
4.B [據(jù)題意當(dāng)x>0時(shí)，ln x＝0，解得x＝1，當(dāng)x≤0時(shí)，＝kx2，此時(shí)x＝0必為函數(shù)零點(diǎn)，故若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)x<0，＝kx2無(wú)根即可，即＝kx在區(qū)間(－∞，0)上無(wú)解，數(shù)形結(jié)合如圖所示，易知當(dāng)k≤0時(shí)，直線y＝kx與函數(shù)y＝在(－∞，0)上無(wú)交點(diǎn)，故選B.]
5.D [f′(x)＝ln x＋1－2ax(x>0)，
令f′(x)＝0得2a＝，設(shè)φ(x)＝，
知φ′(x)＝，φ(x)草圖如圖，
∴f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)01，且2a∈(0,1)，∴a∈.
由f(x)草圖可知f(x)在區(qū)間(0，x1)上單調(diào)遞減，在(x1，x2)上單調(diào)遞增.
又f(0)＝0，f(1)＝－a，
f(x2)≥f(1)且－a∈.
∴f(x1)<0，f(x2)>－.]
6.C [方法一 由于f′(x)＝3x2＋4bx＋c，
據(jù)題意方程3x2＋4bx＋c＝0有兩個(gè)根x1，x2，
且x1∈[－2，－1]，x2∈[1,2]，
令g(x)＝3x2＋4bx＋c，
結(jié)合二次函數(shù)圖象可得只需
此即為關(guān)于點(diǎn)(b，c)的線性約束條件，作出其對(duì)應(yīng)平面區(qū)域，f(－1)＝2b－c，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上述線性約束條件下確定目標(biāo)函數(shù)f(－1)＝2b－c的最值問(wèn)題，由線性規(guī)劃易知3≤f(－1)≤12，故選C.
方法二 方程3x2＋4bx＋c＝0有兩個(gè)根x1，x2，且x1∈[－2，－1]，x2∈[1,2]的條件也可以通過(guò)二分法處理，即只需g(－2)g(－1)≤0，g(2)g(1)≤0即可，利用同樣的方法也可解答.]
7.02或a<－1
解析 f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，
令3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0.
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)既有極大值又有極小值，
所以方程x2＋2ax＋a＋2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，
即Δ＝4a2－4a－8>0，
解得a>2或a<－1.
9. 16
解析 依題意，f(x－2)為偶函數(shù)，
f(x－2)＝(－x2＋4x－3)[x2＋(a－4)x＋4－2a＋b]，
其中x3的系數(shù)為8－a＝0，故a＝8，
x的系數(shù)為28＋4b－11a＝0，故b＝15，
令f′(x)＝0，得x3＋6x2＋7x－2＝0，
由對(duì)稱(chēng)軸為x＝－2可知，
將該式分解為(x＋2)(x2＋4x－1)＝0，
可知其在－2和－－2處取到最大值，最大值為16.
10.解 因?yàn)閒′(x)＝－＋＝，
令f′(x)＝0，得x＝1，又f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，
f′(x)，f(x)隨x的變化情況如下表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
極小值
↗
所以x＝1時(shí)，f(x)的極小值為1.
f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1).
11.解 (1)f(x)的定義域?yàn)?－∞，＋∞)，
f′(x)＝1＋a－2x－3x2.
令f′(x)＝0，
得x1＝，x2＝，x1x2時(shí)，f′(x)<0；
當(dāng)x10.
故f(x)在(－∞，)和(，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減，在(，)內(nèi)單調(diào)遞增.
(2)因?yàn)閍>0，所以x1<0，x2>0.
①當(dāng)a≥4時(shí)，x2≥1，由(1)知，f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，
所以f(x)在x＝0和x＝1處分別取得最小值和最大值；
②當(dāng)0
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