【高考前三個(gè)月復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理科 數(shù)列】專題5 第24練

第24練數(shù)列求和問題題型分析高考展望數(shù)列求和是數(shù)列部分高考考查的兩大重點(diǎn)之一，主要考查等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式以及其他求和方法，尤其是錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，常與通項(xiàng)公式相結(jié)合考查，有時(shí)也與函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)交匯，綜合命題.常考題型精析題型一分組轉(zhuǎn)化法求和例1等比數(shù)列an中，a1，a2，a3分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且a1，a2，a3中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列bn滿足：bnan(1)nln an，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.點(diǎn)評(píng)分組求和常見的方法：(1)根據(jù)等差、等比數(shù)列分組，即分組后，每一組可能是等差數(shù)列或等比數(shù)列.(2)根據(jù)正號(hào)、負(fù)號(hào)分組.(3)根據(jù)數(shù)列的周期性分組.(4)根據(jù)奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分組.變式訓(xùn)練1已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，nN*，a35，S10100.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn2an2n，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.題型二錯(cuò)位相減法求和例2(2015山東)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.已知2Sn3n3.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列bn滿足anbnlog3an，求bn的前n項(xiàng)和Tn. 點(diǎn)評(píng)錯(cuò)位相減法的關(guān)注點(diǎn)：(1)適用題型：等差數(shù)列an乘以等比數(shù)列bn對(duì)應(yīng)項(xiàng)“anbn”型數(shù)列求和.(2)步驟：求和時(shí)先乘以數(shù)列bn的公比.把兩個(gè)和的形式錯(cuò)位相減.整理結(jié)果形式.變式訓(xùn)練2(2014四川)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，點(diǎn)(an，bn)在函數(shù)f(x)2x的圖象上(nN*).(1)若a12，點(diǎn)(a8,4b7)在函數(shù)f(x)的圖象上，求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn；(2)若a11，函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(a2，b2)處的切線在x軸上的截距為2，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.題型三裂項(xiàng)相消法求和例3在公差不為0的等差數(shù)列an中，a1，a4，a8成等比數(shù)列.(1)已知數(shù)列an的前10項(xiàng)和為45，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bn，且數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，若Tn，求數(shù)列an的公差.點(diǎn)評(píng)(1)裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列和式中的各項(xiàng)分別裂開后，消去一部分從而計(jì)算和的方法，適用于求通項(xiàng)為的前n項(xiàng)和，其中an若為等差數(shù)列，則().其余還有公式法求和等.(2)利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng).變式訓(xùn)練3(2014大綱全國)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a110，a2為整數(shù)，且SnS4.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.高考題型精練1.(2015浙江)已知an是等差數(shù)列，公差d不為零，前n項(xiàng)和是Sn，若a3，a4，a8成等比數(shù)列，則()A.a1d0，dS40 B.a1d0，dS40C.a1d0，dS40 D.a1d0，dS402.(2014課標(biāo)全國)等差數(shù)列an的公差為2，若a2，a4，a8成等比數(shù)列，則an的前n項(xiàng)和Sn等于()A.n(n1) B.n(n1)C. D.3.若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an，則其前n項(xiàng)和Sn為()A.1 B.C. D.4.已知數(shù)列1，3，5，7，則其前n項(xiàng)和Sn為()A.n21 B.n22C.n21 D.n225.設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，Sm12，Sm0，Sm13，則m等于()A.3 B.4C.5 D.66.已知數(shù)列an：，若bn，那么數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn為()A. B.C. D.7.在等比數(shù)列an中，a13，a481，若數(shù)列bn滿足bnlog3an，則數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn_.8.數(shù)列an滿足an1(1)nan2n1，則an的前60項(xiàng)和為_.9.(2015天津模擬)在數(shù)列an中，a11，當(dāng)n2時(shí)，其前n項(xiàng)和Sn滿足San.(1)求Sn的表達(dá)式；(2)設(shè)bn，求bn的前n項(xiàng)和Tn.10.(2014課標(biāo)全國)已知an是遞增的等差數(shù)列，a2，a4是方程x25x60的根.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.11.(2015天津)已知數(shù)列an滿足an2qan(q為實(shí)數(shù)，且q1)，nN*，a11，a22，且a2a3，a3a4，a4a5成等差數(shù)列.(1)求q的值和an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，nN*，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和.12.(2015安徽)設(shè)nN*，xn是曲線yx2n21在點(diǎn)(1,2)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).(1)求數(shù)列xn的通項(xiàng)公式；(2)記Tnxxx，證明：Tn.答案精析第24練數(shù)列求和問題?？碱}型精析例1解(1)當(dāng)a13時(shí)，不合題意；當(dāng)a12時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)a26，a318時(shí)，符合題意；當(dāng)a110時(shí)，不合題意.因此a12，a26，a318.所以公比q3.故an23n1 (nN*).(2)因?yàn)閎nan(1)nln an23n1(1)nln(23n1)23n1(1)nln 2(n1)ln 323n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，所以Sn2(133n1)111(1)n(ln 2ln 3)123(1)nnln 3.所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn2ln 33nln 31；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn2(ln 2ln 3)ln 33nln 3ln 21.綜上所述，Sn變式訓(xùn)練1解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由題意，得解得所以an2n1.(2)因?yàn)閎n2an2n4n2n，所以Tnb1b2bn(4424n)2(12n)n2n4nn2n.例2解(1)因?yàn)?Sn3n3，所以2a133，故a13，當(dāng)n1時(shí)，2Sn13n13，此時(shí)2an2Sn2Sn13n3n123n1，即an3n1，所以an(2)因?yàn)閍nbnlog3an，所以b1，當(dāng)n1時(shí)，bn31nlog33n1(n1)31n.所以T1b1；當(dāng)n1時(shí)，Tnb1b2b3bn131232(n1)31n，所以3Tn1130231(n1)32n，兩式相減，得2Tn(30313232n)(n1)31n(n1)31n，所以Tn，經(jīng)檢驗(yàn)，n1時(shí)也適合.綜上可得Tn.變式訓(xùn)練2解(1)由已知，得b72a7，b82a84b7，有2a842a72a72.解得da8a72.所以Snna1d2nn(n1)n23n.(2)函數(shù)f(x)2x在(a2，b2)處的切線方程為y2a2(2a2ln 2)(xa2)，它在x軸上的截距為a2.由題意知，a22，解得a22.所以da2a11，從而ann，bn2n.所以Tn，2Tn.因此，2TnTn12.所以Tn.例3解設(shè)數(shù)列an的公差為d，由a1，a4，a8成等比數(shù)列可得aa1a8，即(a13d)2a1(a17d)，a6a1d9d2a7a1d，而d0，a19d.(1)由數(shù)列an的前10項(xiàng)和為45可得S1010a1d45，即90d45d45，故d，a13，故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an3(n1)(n8).(2)bn，則數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn.所以1，d1.故數(shù)列an的公差d1或1.變式訓(xùn)練3解(1)由a110，a2為整數(shù)，知等差數(shù)列an的公差d為整數(shù).又SnS4，故a40，a50，于是103d0,104d0.解得d.因此d3.數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an133n.(2)bn.于是Tnb1b2bn.高考題型精練1.B a3，a4，a8成等比數(shù)列，(a13d)2(a12d)(a17d)，整理得a1d，a1dd20，又S44a1d，dS40，故選B.2.A 由a2，a4，a8成等比數(shù)列，得aa2a8，即(a16)2(a12)(a114)，a12.Sn2n22nn2nn(n1).3.D 因?yàn)閍n，所以Sna1a2an11.故選D.4.A 因?yàn)閍n2n1，則Snnn21.5.C am2，am13，故d1，因?yàn)镾m0，故ma1d0，故a1，因?yàn)閍mam15，故amam12a1(2m1)d(m1)2m15，即m5.6.B an，bn4()，Sn4(1)()()4(1).7.解析設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則q327，解得q3.所以ana1qn133n13n，故bnlog3ann，所以.則數(shù)列的前n項(xiàng)和為11.8.1 830解析an1(1)nan2n1，a21a1，a32a1，a47a1，a5a1，a69a1，a72a1，a815a1，a9a1，a1017a1，a112a1，a1223a1，a57a1，a58113a1，a592a1，a60119a1，a1a2a60(a1a2a3a4)(a5a6a7a8)(a57a58a59a60)1026422341 830.9.(1)San，anSnSn1 (n2)，S(SnSn1)，即2Sn1SnSn1Sn，由題意得Sn1Sn0，式兩邊同除以Sn1Sn，得2，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列.12(n1)2n1，Sn.(2)bn，Tnb1b2bn(1)()().10.解(1)方程x25x60的兩根為2,3，由題意得a22，a43.設(shè)數(shù)列an的公差為d，則a4a22d，故d，從而a1.所以an的通項(xiàng)公式為ann1.(2)設(shè)的前n項(xiàng)和為Sn.由(1)知，則Sn，Sn.兩式相減得Sn()(1).所以Sn2.11.解(1)由已知，有(a3a4)(a2a3)(a4a5)(a3a4)，即a4a2a5a3，所以a2(q1)a3(q1)，又因?yàn)閝1，故a3a22，由a3a1q，得q2.由遞推公式得當(dāng)n2k1(kN*)時(shí)，ana2k12k1；當(dāng)n2k(kN*)時(shí)，ana2k2k.所以，an的通項(xiàng)公式為an(2)由(1)得bn.設(shè)bn的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn123(n1)n，Sn123(n1)n.上述兩式相減得：Sn12，整理得，Sn4，nN*.所以，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為4，nN*.12.(1)解y(x2n21)(2n2)x2n1，曲線yx2n21在點(diǎn)(1,2)處的切線斜率為2n2，從而切線方程為y2(2n2)(x1).令y0，解得切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)xn1.所以數(shù)列xn的通項(xiàng)公式為xn.(2)證明由題設(shè)和(1)中的計(jì)算結(jié)果知Tnxxx222.當(dāng)n1時(shí)，T1.當(dāng)n2時(shí)，因?yàn)閤2>.所以Tn>2.綜上可得對(duì)任意的nN*，均有Tn.