高中數(shù)學(xué)《點、直線、平面之間的位置關(guān)系》同步練習(xí)4 新人教A版必修2（通用）

新課標數(shù)學(xué)（人教A版）必修2 第二章點、直線、平面之間的位置關(guān)系練習(xí)題一、選擇題1【06陜西·理】已知平面外不共線的三點到的距離都相等,則正確的結(jié)論是A. 平面必平行于 B. 平面必與相交C. 平面必不垂直于 D. 存在的一條中位線平行于或在內(nèi)2【06上海·理】若空間中有四個點，則“這四個點中有三點在同一直線上”是“這四個點在同一平面上”的（A）充分非必要條件； （B）必要非充分條件；（C）充要條件； （D）非充分非必要條件3【06上海·文】如果一條直線與一個平面垂直，那么，稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”。在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)是（A）48 （B）18 （C）24 （D）364【06四川·理】 已知二面角的大小為，為異面直線，且，則所成的角為（A） （B） （C） （D）5【06四川·理】 已知球O半徑為1，A、B、C三點都在球面上，A、B兩點和A、C兩點的球面距離都是，B、C兩點的球面距離是，則二面角的大小是（A） （B） （C） （D）7【06天津·理】設(shè)、是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面.考查下列命題，其中正確的命題是A B CD8【06北京·文】設(shè)A、B、C、D是空間四個不同的點，在下列命題中，不正確的是AAC與BD共面，則AD與BC共面B若AC與BD是異面直線，則AD與BC是異面直線C若AB=AC，DB=DC，則AD=BCD若AB=AC，DB=DC，則ADBC9【06天津·文】若為一條直線，為三個互不重合的平面，給出下面三個命題：；其中正確的命題有A0個 B1個 C2個 D3個10【06浙江·理】如圖，O是半徑為1的球心，點A、B、C在球面上，OA、OB、OC兩兩垂直，E、F分別是大圓弧與的中點，則點E、F在該球面上的球面距離是（A） （B） （C） （D）11【06浙江·文】如圖，正三棱柱的各棱長都為2，分別為AB、A1C1的中點，則EF的長是（A）2 （B） （C） （D）12【06重慶·文】若是平面外一點，則下列命題正確的是（A）過只能作一條直線與平面相交 （B）過可作無數(shù)條直線與平面垂直（C）過只能作一條直線與平面平行 （D）過可作無數(shù)條直線與平面平行13【06重慶·理】對于任意的直線與平面，在平面內(nèi)必有直線，使與（A）平行 （B）相交 （C）垂直 （D）互為異面直線14【06福建·理】對于平面和共面的直線、下列命題中真命題是（A）若則 （B）若則（C）若則（D）若、與所成的角相等，則15【06湖北·理】關(guān)于直線、與平面、，有下列四個命題： 若，且，則； 若，且，則； 若，且，則； 若，且，則。其中真命題的序號式A B C D16【06遼寧·文】給出下列四個命題：垂直于同一直線的兩條直線互相平行垂直于同一平面的兩個平面互相平行若直線與同一平面所成的角相等，則互相平行若直線是異面直線，則與都相交的兩條直線是異面直線其中假命題的個數(shù)是（A）1 （B）2 （C）3 （D）417【06全國·理】如圖，平面平面，與兩平面、所成的角分別為和。過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為、，則（A） （B） （C） （D）18【06全國·文】如圖（同理科圖），平面平面， 與兩平面、所成的角分別為和。過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為、，若AB=12，則（A）4 （B）6 （C）8（D）9二、填空題1【06安徽·理】多面體上，位于同一條棱兩端的頂點稱為相鄰的，如圖，正方體的一個頂點A在平面內(nèi)，其余頂點在的同側(cè)，正方體上與頂點A相鄰的三個頂點到的距離分別為1，2和4，P是正方體的其余四個頂點中的一個，則P到平面的距離可能是：3； 4； 5； 6； 7以上結(jié)論正確的為_。（寫出所有正確結(jié)論的編號）2【06安徽·文】平行四邊形的一個頂點A在平面內(nèi)，其余頂點在的同側(cè)，已知其中有兩個頂點到的距離分別為1和2 ，那么剩下的一個頂點到平面的距離可能是：1； 2； 3； 4； 以上結(jié)論正確的為_。（寫出所有正確結(jié)論的編號）ABCDA13【06山東·文】如圖，在正三棱柱中，所有棱長均為1，則點到平面 的距離為。4【06北京·理】已知三點在球心為，半徑為的球面上，且，那么兩點的球面距離為 ，球心到平面的距離為_。5【06天津·理】如圖，在正三棱柱中，若二面角的大小為，則點到平面的距離為_。6【06天津·文】如圖（同理科圖），在正三棱柱中，若二面角的大小為，則點到直線的距離為。7【06浙江·理】（如圖，在6題上）正四面體ABCD的棱長為l，棱AB平面，則正四面體上的所有點在平面內(nèi)的射影構(gòu)成的圖形面積的取值范圍是_。8【06遼寧·理】若一條直線與一個正四棱柱各個面所成的角都為,則=_。9【06全國·理】已知正四棱椎的體積為12，地面的對角線為，則側(cè)面與底面所成的二面角為_。10【06四川·文】是空間兩條不同直線，是空間兩條不同平面，下面有四個命題： 其中真命題的編號是 （寫出所有真命題的編號）。三、計算題1【06廣東】 如圖所示，、分別是、的直徑，與兩圓所在的平面均垂直，.是的直徑，,。（I）求二面角的大??；（II）求直線與所成的角.【解】（I）AD與兩圓所在的平面均垂直，ADAB，ADAF，故BAF是二面角BADF的平面角，依題意可知，ABFC是正方形，所以BAF450.即二面角BADF的大小為450；（II）以O(shè)為原點，BC、AF、OE所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系（如圖所示），則，），所以，設(shè)異面直線BD與EF所成角為，則。直線BD與EF所成的角為。2【06安徽·理】如圖，P是邊長為1的正六邊形ABCDEF所在平面外一點，P在平面ABC內(nèi)的射影為BF的中點O。（）證明；（）求面與面所成二面角的大小?！窘狻勘拘☆}主要考察直線與平面的位置關(guān)系、二面角及其平面角等有關(guān)知識，考察思維能力和空間想象能力；考查應(yīng)用向量知識解決立體幾何問題的能力。滿分12分。方法一：連結(jié)AD，則易知AD與BF的交點為O。（I）證法1： 又 證法2: （II）設(shè)M為PB的中點，連結(jié)AM，MD。斜線PB在平面ABC內(nèi)的射影為OB，。又 因此，為所求二面角的平面角。在正六邊形ABCDEF中，在Rt 在Rt，則 在中，由余弦定理得因此，所求二面角的大小為方法二：由題設(shè)條件，以O(shè)為原點建立空間直角坐標系O-xyz,如圖。由正六邊形的性質(zhì)，可得在中， 故 因而有（I）證明：因 故所以（II）設(shè)M為PB的中點，連結(jié)AM, MD, 則M點的坐標 因此，為所求二面角的平面角。 因此，所求二面角的大小為。3【06北京·理】 如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐中，平面，且，點是的中點.（）求證：；（）求證：平面；（）求二面角的大小.【解】 解法一：（）PA平面ABCD， AB是PB在平面ABCD上的射影，又ABAC，AC平面ABCD，ACPB.（）連接BD，與AC相交與O，連接EO，ABCD是平行四邊形 O是BD的中點又E是PD的中點， EOPB.又PB平面AEC，EO平面AEC，PB平面AEC，（）如圖，取AD的中點F，連EF，F(xiàn)O，則EF是PAD的中位線， EFPA又平面， EF平面同理FO是ADC的中位線，F(xiàn)OABFOAC由三垂線定理可知ÐEOF是二面角EACD的平面角. 又FOABPAEF。ÐEOF45°而二面角與二面角EACD互補，故所求二面角的大小為135°.解法二：（）建立空間直角坐標系A(chǔ)xyz，如圖。設(shè)AC=a，PA=b。則有A（0,0,0）、B（0,b,0）、C（a,0,0）、P（0,0,b）， 從而， 。（）連結(jié)BD，與AC相交于O，連結(jié)EO。由已知得，又， ， ，又PB平面AEC，EO平面AEC。 PB平面AEC。（）取BC中點G，連接OG，則點G的坐標為，又是二面角的平面角。二面角的大小為4【06北京·文】如圖，是正四棱柱。（I）求證：BD平面；（II）若二面角的大小為60°，求異面直線BC1與AC所成角的大小?！窘狻拷夥ㄒ唬海ǎ?是正四棱柱， CC1平面ABCD， BDCC1， ABCD是正方形， BDAC又 AC，CC1平面，且ACCC1=C， BD平面（II）設(shè)BD與AC相交于O，連接C1O。 CC1平面ABCD，BDAC， BDC1O， C1OC是二面角的平面角， C1OC=60°。連接A1B A1C1AC， A1C1B是異面直線BC1與AC所成角。設(shè)BC=a，則CO=，CC1=CO，A1B=BC1= ，。在A1B1C1中，由余弦定理得 ， A1C1 B=， 異面直線BC1與 AC所成的角的大小為。解法二：（I）建立空間直角坐標系Dxyz，如圖。設(shè)AD=a，DD1=b，則有D（0,0,0），A（a,0,0,）、B（a,a,0,）、C（0,a,0,）、C1（0,a,b,）， ， ， 。 又AC，CC1平面，且ACCC1=C， BD平面（）設(shè)BD與AC相交于O，連接C1O，則點O坐標為， ， BDC1O ，又BDCO C1OC是二面角的平面角， C1OC=60°。 ， 。 ， 異面直線BC1與 AC所成的角的大小為。5【06山東·文】 如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為等腰梯形，與相交于點，且頂點在底面上的射影恰為點，又.（）求異面直接與所成角的余弦值；（）求二面角的大??；（）設(shè)點M在棱上，且為何值時，平面?！窘狻?解法一：平面， 又，由平面幾何知識得：（）過做交于于，連結(jié)，則或其補角為異面直線與所成的角，四邊形是等腰梯形， 又 四邊形是平行四邊形。 是的中點，且又， 為直角三角形，在中，由余弦定理得：故異面直線PD與所成的角的余弦值為。（）連結(jié)，由（）及三垂線定理知，為二面角的平面角， 二面角的大小為（）連結(jié)，平面平面， 又在中， 故時，平面解法二： 平面 又，由平面幾何知識得：以為原點，分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則各點坐標為，（）， ，。 。故直線與所成的角的余弦值為。（）設(shè)平面的一個法向量為，由于， 由 得 取，又已知平面ABCD的一個法向量，。又二面角為銳角， 所求二面角的大小為（）設(shè)，由于三點共線，平面 由（1）（2）知：，。 故時，平面。6【06陜西·理】 如圖,=l , A, B,點A在直線l 上的射影為A1, 點B在l的射影為B1,已知AB=2,AA1=1, BB1=, 求:（I） 直線AB分別與平面,所成角的大??；（II）二面角A1ABB1的大小?！窘狻?解法一：（）如圖, 連接A1B,AB1, , =l ,AA1l, BB1l, AA1, BB1. 則BAB1,ABA1分別是AB與和所成的角.RtBB1A中, BB1= , AB=2, sinBAB1 = = . BAB1=45°.RtAA1B中, AA1=1,AB=2, sinABA1= = , ABA1= 30°.故AB與平面,所成的角分別是45°,30°.（）BB1, 平面ABB1。在平面內(nèi)過A1作A1EAB1交AB1于E，則A1E平面AB1B。過E作EFAB交AB于F，連接A1F，則由三垂線定理得A1FAB，A1FE就是所求二面角的平面角.在RtABB1中,BAB1=45°， AB1=B1B=. RtAA1B中，A1B= = 。由AA1·A1B=A1F·AB得 A1F= = ,在RtA1EF中，sinA1FE = = ， 二面角A1ABB1的大小為arcsin.解法二：（）同解法一.（） 如圖,建立坐標系, 則A1(0,0,0),A(0,0,1),B1(0,1,0),B(,1,0).在AB上取一點F(x,y,z),則存在tR,使得=t , 即(x,y,z1)=t(,1, 1), 點F的坐標為(t, t,1t).要使,須·=0, 即(t, t,1t) ·(,1,1)=0, 2t+t(1t)=0， 解得t= ，點F的坐標為（, ）, =(, ). 設(shè)E為AB1的中點,則點E的坐標為（0, ）。 =(,).又·=(,)·(,1, 1)= =0, , A1FE為所求二面角的平面角.又cosA1FE= = = = = ,二面角A1ABB1的大小為arccos.7【06上海·理】 在四棱錐PABCD中，底面是邊長為2的菱形，DAB60，對角線AC與BD相交于點O，PO平面ABCD，PB與平面ABCD所成的角為60（1）求四棱錐PABCD的體積；（2）若E是PB的中點，求異面直線DE與PA所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）【解】（1）在四棱錐P-ABCD中,由PO平面ABCD，得PBO是PB與平面ABCD所成的角，PBO=60°.在RtAOB中BO=ABsin30°=1，由POBO,于是，PO=BOtg60°=,而底面菱形的面積為2.四棱錐P-ABCD的體積V=×2×=2.（2）解法一：以O(shè)為坐標原點,射線OB、OC、OP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標系.在RtAOB中OA=,于是,點A、B、D、P的坐標分別是A(0,0)，B(1,0,0)，D(1,0,0)，P(0,0,)。E是PB的中點，則E(,0,)。 于是=(,0,),=(0,).設(shè)與的夾角為，有cos=， =arccos。異面直線DE與PA所成角的大小是arccos.解法二：取AB的中點F，連接EF、DF.由E是PB的中點，得EFPA,FED是異面直線DE與PA所成角（或它的補角）。在RtAOB中AO=ABcos30°=OP,于是,在等腰RtPOA中,PA=,則EF=.在正ABD和正PBD中，DE=DF=. cosFED=異面直線DE與PA所成角的大小是arccos.8【06上海·文】 在直三棱柱中，.（1）求異面直線與所成的角的大?。唬?）若與平面所成角為，求三棱錐的體積?！窘狻?（1） BCB1C1， ACB為異面直線B1C1與AC所成角(或它的補角)ABC=90°,AB=BC=1， ACB=45°,異面直線B1C1與AC所成角為45°.（2）AA1平面ABC,ACA1是A1C與平面ABC所成的角，ACA1=45°.ABC=90°，AB=BC=1，AC= AA1=。三棱錐A1-ABC的體積V=SABC×AA1=。9【06四川·理】 如圖,長方體ABCD-中，E、P分別是BC、的中點,M、N分別是AE、的中點，（）求證：；（）求二面角的大??；（）求三棱錐PDEN的體積。【解】 本小題主要考察長方體的概念、直線和平面、平面和平面的關(guān)系等基礎(chǔ)知識，以及空間想象能力和推理能力。解法一：（）證明：取的中點，連結(jié)分別為的中點面，面面面 面（）設(shè)為的中點為的中點 面作，交于，連結(jié)，則由三垂線定理得從而為二面角的平面角。在中，從而在中，故：二面角的大小為。（）作，交于，由面得面在中，。方法二：以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立直角坐標系，則分別是的中點（），取，顯然面， 又面 面（）過作，交于，取的中點，則設(shè)，則又由，及在直線上，可得:解得 即與所夾的角等于二面角的大小故：二面角的大小為。（）設(shè)為平面的法向量，則又 即 可取點到平面的距離為，。10【06天津·理】 如圖，在五面體中，點是矩形的對角線的交點，面是等邊三角形，棱（1）證明/平面；（2）設(shè)，證明平面【解】 本小題考查直線與平面平行、直線與平面垂直等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力和推理論證能力.（）證明：取CD中點M，連結(jié)OM.在矩形ABCD中。 ，又，則，連結(jié)EM，于是四邊形EFOM為平行四邊形. 又平面CDE，且EM平面CDE，F(xiàn)O平面CDE（）證明：連結(jié)FM，由（）和已知條件，在等邊CDE中，且.因此平行四邊形EFOM為菱形，從而EOFM而FMCD=M， CD平面EOM，從而CDEO.而， 所以EO平面CDF.11【06浙江·理】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形， 底面，且，分別為、的中點。（）求證：；（）求與平面所成的角?！窘狻?本題主要考查空間線線、線面關(guān)系、空間向量的概念與運算等基礎(chǔ)知識，同時考查空間想象能力。方法一：（I）因為是的中點，所以.因為平面，所以，從而平面.因為平面，所以.（II）取的中點，連結(jié)、，則，所以與平面所成的角和與平面所成的角相等. 因為平面，所以是與平面所成的角.在中，。故與平面所成的角是。方法二：如圖，以為坐標原點建立空間直角坐標系，設(shè)，則.（I） 因為，所以（II） 因為，所以，又因為，所以平面因此的余角即是與平面所成的角.因為，所以與平面所成的角為。12【06重慶·文】 如圖（上右圖），在正四棱柱中，為上使的點。平面交于，交的延長線于，求：（）異面直線與所成角的大??；（）二面角的正切值；【解】 解法一：（）由為異面直線所成的角。連接.因為AE和分別是平行平面與平面的交線，所以,由此可得,再由得在。（）作為二面角即二面角的平面角在，從而解法二：（）由為異面直線所成的角。因為和分別是平行平面與平面的交線，所以，由此可得從而，于是在（）在知為鈍角，作為二面角二面角的平面角，在,從而。解法三：（）以為原點，所在直線分別為x軸，y軸和z軸建立如圖所示的空間直角坐標系。于是，因為和分別是平行平面與平面的交線，所以，設(shè)，則由，于是故,設(shè)異面直線AD與所成的角的大小為，則，從而。（）作為二面角二面角的平面角,設(shè)則，由得，由此得又由共線得，從而，于是聯(lián)立（i）和（ii）得，故由，得：。13【06重慶·理】 如圖，在四棱錐中，底面ABCD，為直角，,E、F分別為、中點。（I）試證：平面；（II）高，且二面角的平面角大小，求的取值范圍?！窘狻?（I）證：由已知且為直角。故ABFD是矩形。從而。又底面ABCD，故由三垂線定理知。在Rt中，E、F分別為PC、CD的中點，故EF/PD,從而，由此得面BEF。（II）連接AC交BF于G，易知G為AC的中點，連接EG，則在中易知EG/PA。又因PA底面ABCD，故EG底面ABCD。在底面ABCD中，過G作GHBD。垂足為H，連接EH，由三垂線定理知EHBD。從而為二面角E-BD-C的平面角。設(shè)。以下計算GH，考慮底面的平面圖（如答（19）圖2）。連結(jié)GD，因。故GH。在。， 而。因此，。由知是銳角。故要使，必須，解之得，上式中的取值范圍為。14【06福建·理】 如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，（I）求證：平面BCD； （II）求異面直線AB與CD所成角的大??；（III）求點E到平面ACD的距離?！窘狻?本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、異面直線所成的角以及點到平面的距離基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力。方法一：（I）證明：連結(jié)OC在中，由已知可得而 即 平面（II） 取AC的中點M，連結(jié)OM、ME、OE，由E為BC的中點知直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角在中，是直角斜邊AC上的中線， 異面直線AB與CD所成角的大小為（III） 設(shè)點E到平面ACD的距離為， 在中， 而 點E到平面ACD的距離為方法二：（I）同方法一。（II）解：以O(shè)為原點，如圖建立空間直角坐標系，則 異面直線AB與CD所成角的大小為（III）解：設(shè)平面ACD的法向量為則 令得是平面ACD的一個法向量。又 點E到平面ACD的距離 15【06湖北·理】 如圖，在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，P是側(cè)棱CC1上的一點，CP=m，（I）試確定m，使得直線AP與平面BD D1B1所成角的正切值為；（）在線段A1C1上是否存在一個定點Q，使得對任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并證明你的結(jié)論?！窘狻?本小題主要考查線面關(guān)系、直線與平面所成角的有關(guān)知識及空間想像能力和推理運算能力?？疾閼?yīng)用向量知識解決數(shù)學(xué)問題的能力。解法：（I）故。所以。又.故在，即.故當(dāng)時，直線。（）依題意，要在上找一點，使得.可推測的中點即為所求的點。因為，所以又,故。從而解法二：（I）建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,)，C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1).所以又由的一個法向量.設(shè)與所成的角為，則依題意有：，解得.故當(dāng)時，直線。（）若在上存在這樣的點，設(shè)此點的橫坐標為，則。依題意，對任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP。等價于即為的中點時，滿足題設(shè)的要求。16【06湖北·文】 如圖，已知正三棱柱的側(cè)棱長和底面邊長為1，是底面邊上的中點，是側(cè)棱上的點，且。（）求二面角的平面角的余弦值；（）求點到平面的距離?！窘狻?本小題主要考查線面關(guān)系、二面角和點到平面距離的有關(guān)知識及空間想象能力和推理運算能力?？疾閼?yīng)用向量知識解決數(shù)學(xué)問題的能力。解法1：（）因為M是底面BC邊上的中點，所以AMBC，又AM,所以AM面，從而AM, AMNM，所以為二面角的平面角。又=，MN=,連，得，在中，由余弦定理得。故所求二面角的平面角的余弦值為。（）過在面內(nèi)作直線，為垂足。又平面，所以AM。于是H平面AMN，故即為到平面AMN的距離。在中，。故點到平面AMN的距離為1。解法2：（）建立如圖所示的空間直角坐標系，則（0，0，1），M（0，0）,C(0,1,0)，N (0,1,) ，A ()，所以，。因為所以，同法可得。故為二面角的平面角。 故所求二面角AMN的平面角的余弦值為。（）設(shè)為平面AMN的一個法向量，則由得 故可取。設(shè)與n的夾角為，則。所以到平面AMN的距離為。17【06湖南·理】 如圖4, 已知兩個正四棱錐的高分別為1和2, 。（I）證明: ；（II）求異面直線所成的角；（III）求點到平面的距離?！窘狻?解法一：（）連接AC、BD，設(shè)ACBDO因為PABCD與QABCD都是正四棱錐，所以PO平面ABCD，QO平面ABCD從而P、O、Q三點在一條直線上，所以PQ平面ABCD（II）由題設(shè)知，ABCD是正方形，所以由（I），平面，故可分別以直線CA、DB、QP為軸，軸，軸建立空間直角坐標系（如圖），由題設(shè)條件，相關(guān)各點的坐標分別是，A（,0,0）， 于是從而異面直線AQ與PB所成的角是。（）由（），點D的坐標是，設(shè)（x,y,z）是平面QAD的一個法向量，由所以點P到平面的距離。解法二：（）取AD的中點M，連接PM、QM。因為PABCD與QABCD都是正四棱錐，所以ADPM，ADQM。從而AD平面PQM。 又PQ平面PQM，所以PQAD。 同理PQAB，所以PQ平面ABCD。（）連接AC、BD，設(shè)ACBDO，由PQ平面ABCD及正四棱錐的性質(zhì)可知O在PQ上，從而P，A，Q，C四點共面。取OC的中點N，連接PN。因為，所以， （或其補角）是異面直線AQ與PB所成的角。連接BN。 因為 所以。從而異面直線AQ與PB所成的角是。（）由（）知，AD平面PQM，所以平面QAD平面PQM 。過點P作PHQM于H，則PHQAD，所以PH的長為點P到平面QAD的距離。連結(jié)OM。因為OM=AB=2=OQ，所以MQP=45°。又PQ=PO+QO=3，于是PH=PQsin45°=。即點P到平面QAD的距離是。18【06江蘇】 圖1圖2在正三角形ABC中，E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點，滿足AE:EBCF:FACP:PB1:2（如圖1）。將AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1EFB成直二面角，連結(jié)A1B、A1P（如圖2）（）求證：A1E平面BEP；（）求直線A1E與平面A1BP所成角的大小；（）求二面角BA1PF的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）?！窘狻靠键c分析：本題主要考查線面垂直、直線和平面所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識，以及空間線面位置關(guān)系的證明、角和距離的計算等，考查空間想象能力、邏輯推理能力和運算能力不妨設(shè)正三角形的邊長為3，則（I）在圖1中，取BE的中點D，連結(jié)DF，AEEB=CFFA=12，AF=AD=2，而A=60o，ADF為正三角形。又AE=DE=1，EFAD。在圖2中，A1EEF，BEEF，A1EB為二面角A1EFB的一個平面角，由題設(shè)條件知此二面角為直二面角，A1EBE。又BEEF=E，A1E面BEF，即A1E面BEP。（II）在圖2中，A1E不垂直于A1B，A1E是面A1BP的斜線，又A1E面BEP，A1EBP，BP垂直于A1E在面A1BP內(nèi)的射影（三垂線定理的逆定理）設(shè)A1E在面A1BP內(nèi)的射影為A1Q，且A1Q交BP于Q，則EA1Q就是A1E與面A1BP所成的角，且BPA1Q。在EBP中，BE=BP=2，EBP=60o，EBP為正三角形，BE=EP。又A1E面BEP，A1B=A1P，Q為BP的中點，且EQ=，而A1E=1，在RtA1EQ中，即直線A1E與面A1BP所成角為60o。（III）在圖3中，過F作FMA1P于M，連結(jié)QM、QF。CF=CP=1，C=60o，F(xiàn)CP為正三角形，故PF=1，又PQ=BP=1， PF=PQ A1E面BEP，EQ=EF=，A1F=A1Q，A1FPA1QP，故A1PF=A1PQ 由及MP為公共邊知FMPQMP，故QMP=FMP=90°，且MF=MQ，F(xiàn)MQ為二面角BA1PF的一個平面角。在RtA1QP中，A1Q=A1F=2，PQ=1， A1P=，MQA1P， MQ=， MF=。在FCQ中，F(xiàn)C=1，QC=2，C=60o，由余弦定理得QF=，在FMQ中，二面角BA1PF的的大小為。19【06江西·理】如圖，在三棱錐ABCD中，側(cè)面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，且AD，BDCD1，另一個側(cè)面是正三角形（1）求證：ADBC；（2）求二面角BACD的大?。唬?）在直線AC上是否存在一點E，使ED與面BCD。成30°角？若存在，確定E的位置；若不存在，說明理由?！窘狻?解法一：（1） 方法一：作AH面BCD于H，連DH。ABBDÞHBBD，又AD，BD1ABBCAC BDDC又BDCD，則BHCD是正方形，則DH BCADBC方法二：取BC的中點O，連AO、DO則有AOBC，DOBC， BC面AODBCAD（2）作BMAC于M，作MNAC交AD于N，則ÐBMN就是二面角BACD的平面角，因為ABACBCM是AC的中點，且MN¤¤CD，則BM，MNCD，BNAD，由余弦定理可求得cosÐBMN ÐBMNarccos。（3）設(shè)E是所求的點，作EFCH于F，連FD。則EF¤¤AH，EF面BCD，ÐEDF就是ED與面BCD所成的角，則ÐEDF30°。設(shè)EFx，易得AHHC1，則CFx，F(xiàn)D， tanÐEDF 解得：x，則CEx1故線段AC上存在E點，且CE1時，ED與面BCD成30°角。解法二：此題也可用空間向量求解，解答略。20【06江西·文】 如圖，已知三棱錐的側(cè)棱兩兩垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中點。（1）求O點到面ABC的距離； （2）求異面直線BE與AC所成的角；（3）求二面角的大小?！窘狻糠椒ㄒ唬海?）取BC的中點D，連AD、OD。 ，則 BC面OAD。過O點作OHAD于H，則OH面ABC，OH的長就是所要求的距離。，。 面OBC，則。，在直角三角形OAD中，有 （另解：由知：）（2）取OA的中點M，連EM、BM，則EMAC，BEM是異面直線BE與AC所成的角。 求得：， 。（3）連結(jié)CH并延長交AB于F，連結(jié)OF、EF。OC面OAB， OCAB。 又OH面ABC，CFAB EFAB，則EFC就是所求二面角的平面角。作EGCF于G，則。在直角三角形OEF中，（或表示為）方法二：（1）以O(shè)為原點，OB、OC、OA分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系。則有A（0,0,1）、B（2,0,0）、C（0,2,0）、E（0,1,0）設(shè)平面ABC的法向量為，則由知：，則由知：，取，則點O到面ABC的距離為。（2）。 所以異面直線BE與AC所成的角。（3）設(shè)平面EAB的法向量為，則由知；由知：取。由（1）知平面ABC的法向量為。結(jié)合圖形可知，二面角的大小為：。21【06遼寧·理】 已知正方形。、分別是、的中點,將沿折起，如圖所示。記二面角的大小為。（I） 證明平面；（II） 若為正三角形，試判斷點在平面內(nèi)的射影是否在直線上，證明你的結(jié)論,并求角的余弦值。【解】 （I） 證明：EF分別為正方形ABCD得邊AB、CD的中點,EB/FD，且EB=FD，四邊形EBFD為平行四邊形。 BF/ED 平面.（II）解法1：如右圖，點A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上，過點A作AG垂直于平面BCDE,垂足為G，連結(jié)GC,GD.ACD為正三角形， AC=AD CG=GDG在CD的垂直平分線上，點A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上，過G作GH垂直于ED于H，連結(jié)AH，則，所以為二面角ADEC的平面角。即。設(shè)原正方體的邊長為2a，連結(jié)AF在折后圖的AEF中，AF=，EF=2AE=2a，即AEF為直角三角形，。 在RtADE中, 。解法2：點A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上連結(jié)AF，在平面AEF內(nèi)過點作，垂足為。ACD為正三角形，F(xiàn)為CD的中點， 又因, 所以 又且為A在平面BCDE內(nèi)的射影G.即點A在平面BCDE內(nèi)的射影在直線EF上過G作GH垂直于ED于H，連結(jié)AH,則，所以為二面角A-DE-C的平面角。即設(shè)原正方體的邊長為2a，連結(jié)AF在折后圖的AEF中，AF=，EF=2AE=2a，即AEF為直角三角形, 在RtADE中, 。解法3：點A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上連結(jié)AF，在平面AEF內(nèi)過點作，垂足為。ACD為正三角形，F(xiàn)為CD的中點, 又因，所以 又 為A在平面BCDE內(nèi)的射影G。即點A在平面BCDE內(nèi)的射影在直線EF上。過G作GH垂直于ED于H，連結(jié)AH，則，所以為二面角A-DE-C的平面角.即。設(shè)原正方體的邊長為2a，連結(jié)AF在折后圖的AEF中，AF=，EF=2AE=2a，即AEF為直角三角形, 在RtADE中, ,。22【06全國·理】 如圖，、是互相垂直的異面直線，MN是它們的公垂線段。點A、B在上，C在上，AM=MB=MN。（）證明ACNB（）若,求NB與平面ABC所成角的余弦值.【解】 解法一：（） 又AN為AC在平面ABN內(nèi)的射影（）又已知，因此為正三角形.，因此N在平面ABC內(nèi)的射影H是正三角形ABC的中心，連結(jié)BH，為NB與平面ABC所成的角.在中，解法二：如圖，建立空間直角坐標系. 令,則有A（-1，0，0），B（1，0，0），N（0，1，0）。（）是、的公垂線， 故可設(shè)C（0，1，m）。 于是， 。（）又已知 為正三角形，。在中，可得，故C（0，1，）連結(jié)MC，做于H，設(shè)，可得，連結(jié)BH，則， , 又又 。23【06全國·理】如圖，在直三棱柱中，、分別為、的中點。（I）證明：ED為異面直線與的公垂線；（II）設(shè) 求二面角的大小?！窘狻?解法一：ABCDEA1B1C1OF（）設(shè)O為AC中點，連接EO，BO，則EOC1C，又C1CB1B，所以EODB，EOBD為平行四邊形，EDOBABBC，BOAC，又平面ABC平面ACC1A1， BO面ABC， 故BO平面ACC1A1，ED平面ACC1A1， EDAC1， EDCC1，EDBB1，ED為異面直線AC1與BB1的公垂線（）連接A1E，由AA1ACAB 可知，A1ACC1為正方形，A1EAC1， 又由ED平面ACC1A1和ED平面ADC1知平面ADC1平面A1ACC1，A1E平面ADC1作EFAD，垂足為F，連接A1F，則A1FAD，A1FE為二面角A1ADC1的平面角不妨設(shè)AA12，則AC2，ABEDOB1，EF，tanA1FE，A1FE60°所以二面角A1ADC1為60°解法二：（）如圖，建立直角坐標系Oxyz，其中原點O為AC的中點設(shè)A(a,0,0)，B(0,b,0)，B1(0,b,2c)ABCDEA1B1C1Ozxy則C(a,0,0)，C1(a,0,2c)，E(0,0,c)，D(0,b,c)（0，b，0），(0，0，2c) ·0， EDBB1又(2a,0,2c)， ·0， EDAC1， 所以ED是異面直線BB1與AC1的公垂線（）不妨設(shè)A(1,0,0)，則B(0,1,0)，C(1,0,0)，A1(1,0,2)，(1,1,0)，(1,1,0)，(0,0,2)，·0，·0，即BCAB，BCAA1，又ABAA1A，BC平面A1AD又E(0,0,1)，D(0,1,1)，C(1,0,1)，(1,0,1)，(1,0,1)，(0,1,0)，·0，·0，即ECAE，ECED，又AEEDE， EC面C1ADcos，即得和的夾角為60°所以二面角A1ADC1為60°ABCA1VB1C124【06山東·理】 如圖，已知平面平行于三棱錐的底面ABC，等邊所在的平面與底面ABC垂直，且ACB=90°，設(shè)（）求證直線是異面直線與的公垂線；（）求點A到平面VBC的距離；（）求二面角的大小?！窘狻拷夥?：（）證明： 平面平面， 又平面平面，平面平面，平面， ，又，. 為與的公垂線.（）解法1：過A作于D，為正三角形， D為的中點.BC平面 ，又， AD平面，線段AD的長即為點A到平面的距離.在正中，.點A到平面的距離為.解法2：取AC中點O連結(jié)，則平面，且=.由（）知，設(shè)A到平面的距離為x， ，即，解得.即A到平面的距離為.所以，到平面的距離為.（III） 過點作于，連，由三重線定理知是二面角的平面角。在中， 。所以，二面角的大小為arctan。解法二：取中點連,易知底面，過作直線交于。取為空間直角坐標系的原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系。則。（I），。 又由已知。 ，而。又顯然相交， 是的公垂線。（II）設(shè)平面的一個法向量， 又 由取 得 點到平面的距離，即在平面的法向量上的投影的絕對值。，設(shè)所求距離為。則所以，A到平面VBC的距離為.（III）設(shè)平面的一個法向量由 取，二面角為銳角，所以，二面角的大小為選擇題與填空題答案一、選擇題1D 2A 3D 4B 5C 6B 7B8C 9C 10B 11C 12D 13C 14C15D 16D 17A 18B二、填空題1 2 3 4 5 6 7 8 9 10，