高中數(shù)學《點、直線、平面之間的位置關(guān)系》同步練習4 新人教A版必修2（通用）

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1、新課標數(shù)學（人教A版）必修2 第二章《點、直線、平面之間的位置關(guān)系》練習題 一、選擇題 1．【06陜西·理】已知平面外不共線的三點到的距離都相等,則正確的結(jié)論是 A. 平面必平行于 B. 平面必與相交 C. 平面必不垂直于 D. 存在的一條中位線平行于或在內(nèi) 2．【06上海·理】若空間中有四個點，則“這四個點中有三點在同一直線上”是“這四個點在同一平面上”的 （A）充分非必要條件； （B）必要非充分條件； （C）充要條件； （D）非充分非必要條件． 3．【06上?！の摹咳绻粭l直線與一個平面垂直，那么，稱此直線與平面構(gòu)成一個

2、“正交線面對”。在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)是 （A）48 （B）18 （C）24 （D）36 4．【06四川·理】 已知二面角的大小為，為異面直線，且 ，則所成的角為 （A） （B） （C） （D） 5．【06四川·理】 已知球O半徑為1，A、B、C三點都在球面上，A、B兩點和A、C 兩點的球面距離都是，B、C兩點的球面距離是，則二面角的大小是 （A） （B） （C） （D） 7．【06天津·理】設(shè)、是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面.考查下列命題，其中正確的命題是 A．

3、B． C． D． 8．【06北京·文】設(shè)A、B、C、D是空間四個不同的點，在下列命題中，不正確的是 A．AC與BD共面，則AD與BC共面 B．若AC與BD是異面直線，則AD與BC是異面直線 C．若AB=AC，DB=DC，則AD=BC D．若AB=AC，DB=DC，則ADBC 9．【06天津·文】若為一條直線，為三個互不重合的平面，給出下面三個命題： ①；②；③． 其中正確的命題有 A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 10．【06浙江·理】如圖，O是半徑為1的球心，點A、B、C在球面上，OA、OB、OC兩兩垂直，E、F分別

4、是大圓弧與的中點，則點E、F在該球面上的球面距離是 （A） （B） （C） （D） 11．【06浙江·文】如圖，正三棱柱的各棱長都為2，分別為AB、A1C1的中點，則EF的長是 （A）2 （B） （C） （D） 12．【06重慶·文】若是平面外一點，則下列命題正確的是 （A）過只能作一條直線與平面相交 （B）過可作無數(shù)條直線與平面垂直 （C）過只能作一條直線與平面平行 （D）過可作無數(shù)條直線與平面平行 13．【06重慶·理】對于任意的直線與平面，在

5、平面內(nèi)必有直線，使與 （A）平行 （B）相交 （C）垂直 （D）互為異面直線 14．【06福建·理】對于平面和共面的直線、下列命題中真命題是 （A）若則　　 （B）若則 （C）若則　　　（D）若、與所成的角相等，則 15．【06湖北·理】關(guān)于直線、與平面、，有下列四個命題： ① 若，且，則； ② 若，且，則； ③ 若，且，則； ④ 若，且，則。 其中真命題的序號式 A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 16．【06遼寧·文】給出下列四個命題： ①垂直于同一直線的兩條直線互相平行 ②垂直于同一平面的兩個平面互相

6、平行 ③若直線與同一平面所成的角相等，則互相平行 ④若直線是異面直線，則與都相交的兩條直線是異面直線 其中假命題的個數(shù)是 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 17．【06全國Ⅱ·理】如圖，平面平面，與兩平面、所成的角分別為和。過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為、，則 （A）　 （B） （C）　 　（D） 18．【06全國Ⅱ·文】如圖（同理科圖），平面平面， 與兩平面、所成的角分別為和。過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為、，若AB=12，則 （A）4　 　?。˙）6 （C）8　　　　（D

7、）9 二、填空題 1．【06安徽·理】多面體上，位于同一條棱兩端的頂點稱為相鄰的，如圖，正方體的一個 頂點A在平面內(nèi)，其余頂點在的同側(cè)，正方體上與頂點A相鄰的三個頂點到的距離分別為1，2和4，P是正方體的其余四個頂點中的一個，則P到平面的距離可能是： ①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7 以上結(jié)論正確的為______________。（寫出所有正確結(jié)論的編號） 2．【06安徽·文】平行四邊形的一個頂點A在平面內(nèi)，其余頂點在的同側(cè)，已知其中 有兩個頂點到的距離分別為1和2 ，那么剩下的一個頂點到平面的距離可能是： ①1； ②2；

8、 ③3； ④4； 以上結(jié)論正確的為______________。（寫出所有正確結(jié)論的編號） A B C D A1 3．【06山東·文】如圖，在正三棱柱中，所有棱長均為1，則點到平面 的距離為　　　　。 4．【06北京·理】已知三點在球心為，半徑為的球面上，，且，那么兩點的球面距離為 ，球心到平面的距離為______________。 5．【06天津·理】如圖，在正三棱柱中，．若二面角的大小為，則點到平面的距離為______________。

9、 6．【06天津·文】如圖（同理科圖），在正三棱柱中，．若二面角 的大小為，則點到直線的距離為　　　　　。 7．【06浙江·理】（如圖，在6題上）正四面體ABCD的棱長為l，棱AB∥平面，則正四面體上的所有點在平面α內(nèi)的射影構(gòu)成的圖形面積的取值范圍是____________。 8．【06遼寧·理】若一條直線與一個正四棱柱各個面所成的角都為,則=_____。 9．【06全國Ⅰ·理】已知正四棱椎的體積為12，地面的對角線為，則側(cè)面與底面所成的二面角為____________。 10．【06四川·文】是空間兩條不同直線，是空間兩條不同平面，下面有四個命題： ① ② ③

10、 ④ 其中真命題的編號是 （寫出所有真命題的編號）。 三、計算題 1．【06廣東】 如圖所示，、分別是、的直徑，與兩圓所在的平面均垂直，.是的直徑， ,。 （I）求二面角的大??； （II）求直線與所成的角. 【解】（I）∵AD與兩圓所在的平面均垂直， ∴AD⊥AB，AD⊥AF， 故∠BAF是二面角B—AD—F的平面角， 依題意可知，ABFC是正方形，所以∠BAF＝450. 即二面角B—AD—F的大小為450； （II）以O(shè)為原點，BC、AF、OE所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系（如圖所示），則 ，），， ，， 所以， 設(shè)異面直

11、線BD與EF所成角為， 則。 直線BD與EF所成的角為。 2．【06安徽·理】如圖，P是邊長為1的正六邊形ABCDEF所在平面外一點，，P在平面ABC內(nèi)的射影為BF的中點O。 （Ⅰ）證明⊥； （Ⅱ）求面與面所成二面角的大小。 【解】本小題主要考察直線與平面的位置關(guān)系、二面角及其平面角等有關(guān)知識，考察思維能力和空間想象能力；考查應用向量知識解決立體幾何問題的能力。滿分12分。 方法一： 連結(jié)AD，則易知AD與BF的交點為O。 （I）證法1： 又 證法2: （II）設(shè)M為PB的中點，連結(jié)AM，MD。 斜

12、線PB在平面ABC內(nèi)的射影為OB，。 又 因此，為所求二面角的平面角。 在正六邊形ABCDEF中， 在Rt 在Rt，則 在中，由余弦定理得 因此，所求二面角的大小為 方法二： 由題設(shè)條件，以O(shè)為原點建立空間直角坐標系O-xyz,如圖。由正六邊形的性質(zhì)，可得 在中， 故 因而有 （I）證明：因 故所以 （II）設(shè)M為PB的中點，連結(jié)AM, MD, 則M點的坐標 因此，為所求二面角的平面角。 因此，所求二面角的大小為。 3．【06北京·理】 如圖，在

13、底面為平行四邊形的四棱錐中，，平面，且，點是的中點. （Ⅰ）求證：； （Ⅱ）求證：平面； （Ⅲ）求二面角的大小. 【解】 解法一： （Ⅰ）PA平面ABCD， AB是PB在平面ABCD上的射影， 又ABAC，AC平面ABCD， ACPB. （Ⅱ）連接BD，與AC相交與O，連接EO， ABCD是平行四邊形 O是BD的中點 又E是PD的中點， EOPB. 又PB平面AEC，EO平面AEC， PB平面AEC， （Ⅲ）如圖，取AD的中點F，連EF，F(xiàn)O，則 EF是△PAD的中位線， \EFPA又平面， \EF^平面 同理FO是△ADC的中位線

14、，\FOAB\FO^AC由三垂線定理可知\DEOF是二面角E－AC－D的平面角. 又FO＝AB＝PA＝EF。 \DEOF＝45°而二面角與二面角E－AC－D互補， 故所求二面角的大小為135°. 解法二： （Ⅰ）建立空間直角坐標系A(chǔ)—xyz，如圖。 設(shè)AC=a，PA=b。則有A（0,0,0）、B（0,b,0）、C（a,0,0）、P（0,0,b）， ∴ 從而， ∴。 （Ⅱ）連結(jié)BD，與AC相交于O，連結(jié)EO。 由已知得，，， ∴， 又， ∴ ， ∴ ， 又PB平面AEC，EO平面AEC。 ∴ PB平面AEC。 （Ⅲ）取BC中點G，

15、連接OG，則點G的坐標為， 又 是二面角的平面角。 二面角的大小為 4．【06北京·文】如圖，是正四棱柱。 （I）求證：BD⊥平面； （II）若二面角的大小為60°，求異面直線BC1與AC所成角的大小。 【解】解法一：（Ⅰ）∵ 是正四棱柱， ∴ CC1⊥平面ABCD， ∴ BD⊥CC1， ∵ ABCD是正方形， ∴ BD⊥AC 又 ∵AC，CC1平面，且AC∩CC1=C， ∴ BD⊥平面 （II）設(shè)BD與AC相交于O，連接C1O。 ∵ CC1⊥平面ABCD，BD⊥AC， ∴ BD⊥C1O， ∴ ∠C1OC是二面角的平面角， ∴

16、∠C1OC=60°。 連接A1B ∵ A1C1∥AC， ∴ ∠A1C1B是異面直線BC1與AC所成角。 設(shè)BC=a，則CO=，CC1=CO，A1B=BC1= ， 。 在△A1B1C1中，由余弦定理得 ， ∴ A1C1 B=， ∴ 異面直線BC1與 AC所成的角的大小為。 解法二： （I）建立空間直角坐標系D—xyz，如圖。 設(shè)AD=a，DD1=b，則有D（0,0,0），A（a,0,0,）、B（a,a,0,）、C（0,a,0,）、C1（0,a,b,） ∴， ， ∴ ， ∴ ， 。 又∵AC，CC1平面，且AC∩CC1=C， ∴ BD

17、⊥平面 （Ⅱ） 設(shè)BD與AC相交于O，連接C1O，則點O坐標為， ∵ ， ∴ BD⊥C1O ，又BD⊥CO ∴ ∠C1OC是二面角的平面角， ∴ ∠C1OC=60°。 ∴ ， ∴ 。 ∵ ，， ∴ ∴ 異面直線BC1與 AC所成的角的大小為。 5．【06山東·文】 如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為等腰梯形， 與相交于點，且頂點在底面上的射影恰為點，又. （Ⅰ）求異面直接與所成角的余弦值； （Ⅱ）求二面角的大??； （Ⅲ）設(shè)點M在棱上，且為何值時，平面。 【解】 解法一：平面， 又， 由平

18、面幾何知識得： （Ⅰ）過做交于于，連結(jié)，則或其補角為異面直線與所成的角， 四邊形是等腰梯形， 又 四邊形是平行四邊形。 是的中點，且 又， 為直角三角形， 在中，由余弦定理得： 故異面直線PD與所成的角的余弦值為。 （Ⅱ）連結(jié)，由（Ⅰ）及三垂線定理知，為二面角的平面角 ， 二面角的大小為 （Ⅲ）連結(jié)， 平面平面， 又在中，，， 故時，平面 解法二： 平面 又，， 由平面幾何知識得： 以為原點，分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則各點坐標為，，，，， （Ⅰ）

19、， ， 。 。 故直線與所成的角的余弦值為。 （Ⅱ）設(shè)平面的一個法向量為， 由于，， 由 得 取，又已知平面ABCD的一個法向量， 。 又二面角為銳角， 所求二面角的大小為 （Ⅲ）設(shè)，由于三點共線，， 平面 由（1）（2）知：，。 故時，平面。 6．【06陜西·理】 如圖,α⊥β,α∩β=l , A∈α, B∈β,點A在直線l 上的射影為A1, 點B在l的射影為B1,已知AB=2,AA1=1, BB1=, 求: （I） 直線AB分別與平面α,β所成角的大?。? （II）

20、二面角A1－AB－B1的大小。 【解】 解法一：（Ⅰ）如圖, 連接A1B,AB1, ∵α⊥β, α∩β=l ,AA1⊥l, BB1⊥l, ∴AA1⊥β, BB1⊥α. 則∠BAB1,∠ABA1分別是AB與α和β所成的角. Rt△BB1A中, BB1= , AB=2, ∴sin∠BAB1 = = . ∴∠BAB1=45°. Rt△AA1B中, AA1=1,AB=2, sin∠ABA1= = , ∴∠ABA1= 30°. 故AB與平面α,β所成的角分別是45°,30°. （Ⅱ）∵BB1⊥α, ∴平面ABB1⊥α。

21、 在平面α內(nèi)過A1作A1E⊥AB1交AB1于E，則A1E⊥平面AB1B。過E作EF⊥AB交AB于F，連接A1F，則由三垂線定理得A1F⊥AB， ∴∠A1FE就是所求二面角的平面角. 在Rt△ABB1中,∠BAB1=45°， ∴AB1=B1B=. ∴Rt△AA1B中， A1B== = 。 由AA1·A1B=A1F·AB得 A1F== = , ∴在Rt△A1EF中，sin∠A1FE = = ， ∴二面角A1－AB－B1的大小為arcsin. 解法二：（Ⅰ）同解法一. （Ⅱ） 如圖,建立坐標系, 則A1(0,0,0),A(0,0,1),B1(0,1,0),

22、B(,1,0).在AB上取一點F(x,y,z),則存在t∈R,使得=t , 即(x,y,z1)=t(,1, 1), ∴點F的坐標為(t, t,1t).要使⊥,須·=0, 即(t, t,1t) ·(,1,1)=0, 2t+t(1t)=0， 解得t= ， ∴點F的坐標為（,, ）, ∴=(,, ). 設(shè)E為AB1的中點,則點E的坐標為（0,, ）。 ∴=(,,). 又·=(,－,)·(,1, 1)= =0, ∴⊥, ∴∠A1FE為所求二面角的平面角. 又cos∠A1FE= = = = = , ∴二面角A1－AB－B1的大小為arccos.

23、 7．【06上海·理】 在四棱錐P－ABCD中，底面是邊長為2的菱形，∠DAB＝60，對角線AC與BD相交于點O，PO⊥平面ABCD，PB與平面ABCD所成的角為60． （1）求四棱錐P－ABCD的體積； （2）若E是PB的中點，求異面直線DE與PA所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）． 【解】（1）在四棱錐P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD，得 ∠PBO是PB與平面ABCD所成的角，∠PBO=60°. 在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1，由PO⊥BO, 于是，PO=BOtg60°=, 而底面菱形的面積為2. ∴四棱錐P-ABCD的體積V=×2×=2. （2）解

24、法一：以O(shè)為坐標原點,射線OB、OC、OP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標系. 在Rt△AOB中OA=,于是,點A、B、D、P的坐標分別是A(0,－,0)，B(1,0,0)，D(－1,0,0)，P(0,0,)。 E是PB的中點，則E(,0,)。 于是=(,0,),=(0,,). 設(shè)與的夾角為θ，有cosθ=， θ=arccos。 ∴異面直線DE與PA所成角的大小是arccos. 解法二：取AB的中點F，連接EF、DF. 由E是PB的中點，得EF∥PA, ∴∠FED是異面直線DE與PA所成角（或它的補角）。 在Rt△AOB中AO=ABcos30°==

25、OP, 于是,在等腰Rt△POA中,PA=,則EF=. 在正△ABD和正△PBD中，DE=DF=. cos∠FED== ∴異面直線DE與PA所成角的大小是arccos. 8．【06上海·文】 在直三棱柱中，. （1）求異面直線與所成的角的大??； （2）若與平面所成角為，求三棱錐的體積。 【解】 （1） ∵BC∥B1C1， ∴∠ACB為異面直線B1C1與AC所成角(或它的補角) ∵∠ABC=90°,AB=BC=1， ∴∠ACB=45°, ∴異面直線B1C1與AC所成角為45°. （2）∵AA1⊥平面ABC, ∠ACA1是A1C與平面A

26、BC所成的角，∠ACA1=45°. ∵∠ABC=90°，AB=BC=1，AC= ∴AA1=。 ∴三棱錐A1-ABC的體積V=S△ABC×AA1=。 9．【06四川·理】 如圖,長方體ABCD-中，E、P分別是BC、的中點,M、N分別是AE、的中點， （Ⅰ）求證：； （Ⅱ）求二面角的大?。? （Ⅲ）求三棱錐P－DEN的體積。 【解】 本小題主要考察長方體的概念、直線和平面、平面和平面的關(guān)系等基礎(chǔ)知識，以及空間想象能力和推理能力。 解法一：（Ⅰ）證明：取的中點，連結(jié) ∵分別為的中點 ∵ ∴面，面 ∴面面 ∴面 （Ⅱ）設(shè)為的中點

27、∵為的中點 ∴ ∴面 作，交于，連結(jié)，則由三垂線定理得 從而為二面角的平面角。 在中，，從而 在中， 故：二面角的大小為。 （Ⅲ） 作，交于，由面得 ∴面 ∴在中， ∴。 方法二：以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立直角坐標系，則 ∵分別是的中點 ∴ （Ⅰ），取，顯然面 ，∴ 又面 ∴面 （Ⅱ）過作，交于，取的中點，則 設(shè)，則 又 由，及在直線上，可得: 解得 ∴ ∴ 即 ∴與所夾的角等于二面角的大小 故：二面角的大小為。 （Ⅲ）設(shè)為平面的法向量，則 又 ∴

28、 即 ∴可取 ∴點到平面的距離為， ∵，， ∴， ∴。 10．【06天津·理】 如圖，在五面體中，點是矩形的對角線的交點，面是等邊三角形，棱． （1）證明//平面； （2）設(shè)，證明平面． 【解】 本小題考查直線與平面平行、直線與平面垂直等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力和推理論證能力. （Ⅰ）證明：取CD中點M，連結(jié)OM. 在矩形ABCD中。 ，又， 則，連結(jié)EM，于是四邊形EFOM為平行四邊形. 又平面CDE，且EM平面CDE，∵FO∥平面CDE （Ⅱ）證明：連結(jié)FM，由（Ⅰ）和已知條件，在等邊△CDE中， 且. 因此平行

29、四邊形EFOM為菱形，從而EO⊥FM 而FM∩CD=M， ∴CD⊥平面EOM，從而CD⊥EO. 而， 所以EO⊥平面CDF. 11．【06浙江·理】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，， ， 底面，且，分別為、的中點。 （Ⅰ）求證：； （Ⅱ）求與平面所成的角。 【解】 本題主要考查空間線線、線面關(guān)系、空間向量的概念與運算等基礎(chǔ)知識，同時考查空間想象能力。 方法一： （I）因為是的中點，，所以. 因為平面，所以， 從而平面.因為平面， 所以. （II）取的中點，連結(jié)、， 則， 所以與平面所成的角和與平面所成的角相等. 因為平面，

30、 所以是與平面所成的角. 在中，。 故與平面所成的角是。 方法二： 如圖，以為坐標原點建立空間直角坐標系，設(shè)，則 . （I） 因為，所以 （II） 因為，所以， 又因為，所以平面 因此的余角即是與平面所成的角. 因為， 所以與平面所成的角為。 12．【06重慶·文】 如圖（上右圖），在正四棱柱中， ，為上使的點。平面交于，交的延長線于，求： （Ⅰ）異面直線與所成角的大小； （Ⅱ）二面角的正切值； 【解】 解法一：（Ⅰ）由為異面直線所成的角。連接.因為AE和分別是平行平面與平面的交線，所以,由此可得,再由∽得 在。 （Ⅱ）作 為二面角即二面角的平面角

31、 在， 從而 解法二：（Ⅰ）由為異面直線 所成的角。因為和分別是平行平面與平面的交線， 所以，由此可得 從而，于是 在 （Ⅱ）在知為鈍角， 作 為二面角二面角的平面角， 在, 從而。 解法三：（Ⅰ）以為原點，所在直線分別為x軸，y軸和z軸建立如圖所示的空間直角坐標系。 于是，，，，， 因為和分別是平行平面與平面的交線，所以，設(shè)，則 由，于是 故,設(shè)異面直線AD與所成的角的大小為，則，從而。 （Ⅱ）作為二面角二面角 的平面角,設(shè)則， 由得，由此得 又由共線得，從而，于是 聯(lián)立（i）和（ii）得，，故 由， 得：。 13．【06重慶·理】 如圖

32、，在四棱錐中，底面ABCD，為直角，,E、F分別為、中點。 （I）試證：平面； （II）高，且二面角的平面角大小，求的取值范圍。 【解】 （I）證：由已知且為直角。故ABFD是矩形。從而。又底面ABCD，，故由三垂線定理知。在Rt中，E、F分別為PC、CD的中點，故EF//PD,從而，由此得面BEF。 （II）連接AC交BF于G，易知G為AC的中點，連接EG，則在中易知EG//PA。又因PA底面ABCD，故EG底面ABCD。在底面ABCD中，過G作GHBD。垂足為H，連接EH，由三垂線定理知EHBD。從而為二面角E-BD-C的平面角。 設(shè)。 以下計算GH，考慮底面的平面圖（如答（1

33、9）圖2）。 連結(jié)GD，因。 故GH＝。在。 ， 而 。因此，。 由知是銳角。故要使，必須， 解之得，上式中的取值范圍為。 14．【06福建·理】 如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點， （I）求證：平面BCD； （II）求異面直線AB與CD所成角的大?。? （III）求點E到平面ACD的距離。 【解】 本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、異面直線所成的角以及點到平面的距離基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力。 方法一：（I）證明：連結(jié)OC 在中，由已知可得 而 即 平

34、面 （II） 取AC的中點M，連結(jié)OM、ME、OE，由E為BC的中點知 直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角 在中， 是直角斜邊AC上的中線， 異面直線AB與CD所成角的大小為 （III） 設(shè)點E到平面ACD的距離為 ， ∴ 在中， 而 點E到平面ACD的距離為 方法二：（I）同方法一。 （II）解：以O(shè)為原點，如圖建立空間直角坐標系，則 異面直線AB與CD所成角的大小為 （III）解：設(shè)平面ACD的法向量為則 令得是平面ACD的一個法向量。 又 點E到平面ACD的

35、距離 15．【06湖北·理】 如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，P是側(cè)棱CC1上的一點，CP=m， （I）試確定m，使得直線AP與平面BD D1B1所成角的正切值為； （Ⅱ）在線段A1C1上是否存在一個定點Q，使得對任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并證明你的結(jié)論。 【解】 本小題主要考查線面關(guān)系、直線與平面所成角的有關(guān)知識及空間想像能力和推理運算能力。考查應用向量知識解決數(shù)學問題的能力。 解法１：（I） 故。所以。 又. 故 在△，即. 故當時，直線。 （Ⅱ）依題意，要在上找一點，使得. 可推測的中點即為所求的點。 因為

36、，所以 又,故。 從而 解法二：（I）建立如圖所示的空間直角坐標系，則 A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,ｍ)，C(0,1,0), D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1). 所以 又由的一個法向量. 設(shè)與所成的角為， 則 依題意有：，解得. 故當時，直線。 （Ⅱ）若在上存在這樣的點，設(shè)此點的橫坐標為， 則。 依題意，對任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP。等價于 即為的中點時，滿足題設(shè)的要求。 16．【06湖北·文】 如圖，已知正三棱柱的側(cè)棱長和底面邊長為1，是底面邊上的中點，是側(cè)棱上的點，且。 （Ⅰ）求二

37、面角的平面角的余弦值； （Ⅱ）求點到平面的距離。 【解】 本小題主要考查線面關(guān)系、二面角和點到平面距離的有關(guān)知識及空間想象能力和推理運算能力。考查應用向量知識解決數(shù)學問題的能力。 解法1：（Ⅰ）因為M是底面BC邊上的中點，所以AMBC，又AM,所以AM面，從而AM, AMNM，所以為二面角的平面角。又=，MN=, 連，得＝， 在中，由余弦定理得 。 故所求二面角的平面角的余弦值為。 （Ⅱ）過在面內(nèi)作直線，為垂足。又平面，所以AM。于是H平面AMN，故即為到平面AMN的距離。在中，＝。故點到平面AMN的距離為1。 解法2：（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標系，則（0，0，1），M

38、（0，，0）, C(0,1,0)，N (0,1,) ，A ()，所以， ，，。 因為 所以，同法可得。 故為二面角的平面角。 ∴ ＝ 故所求二面角—AM—N的平面角的余弦值為。 （Ⅱ）設(shè)為平面AMN的一個法向量，則由得 故可取。 設(shè)與n的夾角為，則。 所以到平面AMN的距離為。 17．【06湖南·理】 如圖4, 已知兩個正四棱錐的高分別為1和2, 。 （I）證明: ； （II）求異面直線所成的角； （III）求點到平面的距離。 【解】 解法一：（Ⅰ）連接AC、BD，設(shè)ACBD＝O 因為P－ABCD與Q－ABCD都是正四棱錐， 所以PO平面ABCD

39、，QO平面ABCD 從而P、O、Q三點在一條直線上，所以PQ平面ABCD （II）由題設(shè)知，ABCD是正方形，所以．由（I），平面，故可分別以直線CA、DB、QP為軸，軸，軸建立空間直角坐標系（如圖），由題設(shè)條件，相關(guān)各點的坐標分別是，A（,0,0），， 于是 從而異面直線AQ與PB所成的角是。 （Ⅲ）由（Ⅱ），點D的坐標是 ， ， 設(shè)＝（x,y,z）是平面QAD的一個法向量，由 所以點P到平面的距離。 解法二：（Ⅰ）取AD的中點M，連接PM、QM。 因為P－ABCD與Q－ABCD都是正四棱錐，所以ADPM，ADQM。 從而AD平面PQM。 又PQ

40、平面PQM，所以PQ⊥AD。 同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD。 （Ⅱ）連接AC、BD，設(shè)ACBD＝O，由PQ平面ABCD及正四棱錐的性質(zhì)可知O在PQ上，從而P，A，Q，C四點共面。 取OC的中點N，連接PN。 因為，所以 ， （或其補角）是異面直線AQ與PB所成的角。 連接BN。 因為． 所以。 從而異面直線AQ與PB所成的角是。 （Ⅲ）由（Ⅰ）知，AD⊥平面PQM，所以平面QAD⊥平面PQM 。 過點P作PH⊥QM于H，則PH⊥QAD，所以PH的長為點P到平面QAD的距離。 連結(jié)OM。因為OM=AB=2=OQ，所以∠MQP=45°。

41、 又PQ=PO+QO=3，于是PH=PQsin45°=。 即點P到平面QAD的距離是。 18．【06江蘇】 圖1 圖2 在正三角形ABC中，E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點，滿足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如圖1）。將△AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，連結(jié)A1B、A1P（如圖2） （Ⅰ）求證：A1E⊥平面BEP； （Ⅱ）求直線A1E與平面A1BP所成角的大?。? （Ⅲ）求二面角B－A1P－F的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）。 【解】[考點分析：本題主要考查線面垂直、直線和平面所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識，以及空間線面位置關(guān)系的證明、角

42、和距離的計算等，考查空間想象能力、邏輯推理能力和運算能力] 不妨設(shè)正三角形的邊長為3，則 （I）在圖1中，取BE的中點D，連結(jié)DF， ∵AE∶EB=CF∶FA=1∶2，∴AF=AD=2，而∠A=60o，∴△ADF為正三角形。 又AE=DE=1，∴EF⊥AD。 在圖2中，A1E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A1EB為二面角A1－EF－B的一個平面角， 由題設(shè)條件知此二面角為直二面角，∴A1E⊥BE。 又BEEF=E，∴A1E⊥面BEF，即A1E⊥面BEP。 （II）在圖2中，∵A1E不垂直于A1B，∴A1E是面A1BP的斜線，又A1E⊥面BEP， ∴A1E⊥BP，∴BP垂直于A1E在

43、面A1BP內(nèi)的射影（三垂線定理的逆定理） 設(shè)A1E在面A1BP內(nèi)的射影為A1Q，且A1Q交BP于Q， 則∠EA1Q就是A1E與面A1BP所成的角，且BP⊥A1Q。 在△EBP中，∵BE=BP=2，∠EBP=60o，∴△EBP為正三角形，∴BE=EP。 又A1E⊥面BEP，∴A1B=A1P，∴Q為BP的中點，且EQ=，而A1E=1， ∴在Rt△A1EQ中，，即直線A1E與面A1BP所成角為60o。 （III）在圖3中，過F作FM⊥A1P于M，連結(jié)QM、QF。 ∵CF=CP=1，∠C=60o，∴△FCP為正三角形，故PF=1， 又PQ=BP=1， ∴PF=PQ…… ① ∵A1E

44、⊥面BEP，EQ=EF=，∴A1F=A1Q， ∴△A1FP△A1QP，故∠A1PF=∠A1PQ…… ② 由①②及MP為公共邊知△FMP△QMP， 故∠QMP=∠FMP=90°，且MF=MQ， ∴∠FMQ為二面角B－A1P－F的一個平面角。 在Rt△A1QP中，A1Q=A1F=2，PQ=1， ∴A1P=， ∵MQ⊥A1P， ∴MQ=， ∴MF=。 在△FCQ中，F(xiàn)C=1，QC=2，∠C=60o，由余弦定理得QF=， 在△FMQ中，， ∴二面角B－A1P－F的的大小為。 19．【06江西·理】如圖，在三棱錐A－BCD中，側(cè)面ABD、ACD是全等

45、的直角三角形，AD是公共的斜邊，且AD＝，BD＝CD＝1，另一個側(cè)面是正三角形 （1）求證：AD^BC； （2）求二面角B－AC－D的大小； （3）在直線AC上是否存在一點E，使ED與面BCD。 成30°角？若存在，確定E的位置；若不存在，說明理由。 【解】 解法一： （1） 方法一： 作AH^面BCD于H，連DH。 AB^BDTHB^BD，又AD＝，BD＝1 \AB＝＝BC＝AC \BD^DC 又BD＝CD，則BHCD是正方形， 則DH^ BC \AD^BC 方法二：取BC的中點O，連AO、DO 則有AO^BC，DO^BC， \BC^面AOD

46、\BC^AD （2）作BM^AC于M，作MN^AC交AD于N，則DBMN就是二面角B－AC－D的平面角，因為AB＝AC＝BC＝\M是AC的中點，且MN¤¤CD，則BM＝，MN＝CD＝，BN＝AD＝，由余弦定理可求得cosDBMN＝ \ DBMN＝arccos。 （3）設(shè)E是所求的點，作EF^CH于F，連FD。則EF¤¤AH，\EF^面BCD，DEDF就是ED與面BCD所成的角，則DEDF＝30°。設(shè)EF＝x，易得AH＝HC＝1，則CF＝x， FD＝， \tanDEDF＝＝＝ 解得：x＝， 則CE＝x＝1 故線段AC上存在E點，且CE＝1時，ED與面BCD成30°角。 解

47、法二：此題也可用空間向量求解，解答略。 20．【06江西·文】 如圖，已知三棱錐的側(cè)棱兩兩垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中點。 （1）求O點到面ABC的距離； （2）求異面直線BE與AC所成的角； （3）求二面角的大小。 【解】方法一：（1）取BC的中點D，連AD、OD。 ，則 ∴BC⊥面OAD。過O點作OH⊥AD于H， 則OH⊥面ABC，OH的長就是所要求的距離。 ，。 ∴面OBC，則。 ，在直角三角形OAD中，有 （另解：由知：） （2）取OA的中點M，連EM、BM

48、，則EM∥AC，∠BEM是異面直線BE與AC所成的角。 求得：， ， ∴。 （3）連結(jié)CH并延長交AB于F，連結(jié)OF、EF。 ∵OC⊥面OAB， ∴OC⊥AB。 又∵OH⊥面ABC， ∴CF⊥AB ∴EF⊥AB， 則∠EFC就是所求二面角的平面角。作EG⊥CF于G，則。 在直角三角形OEF中， （或表示為） 方法二：（1）以O(shè)為原點，OB、OC、OA分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系。 則有A（0,0,1）、B（2,0,0）、C（0,2,0）、E（0,1,0） 設(shè)平面ABC的法向量為，則由知：， 則由知：， 取，則點O到面ABC的距離為。 （

49、2）。 所以異面直線BE與AC所成的角。 （3）設(shè)平面EAB的法向量為，則由知； 由知：取。 由（1）知平面ABC的法向量為。 結(jié)合圖形可知，二面角的大小為：。 21．【06遼寧·理】 已知正方形。、分別是、的中點,將沿折起，如圖所示。記二面角的大小為。 （I） 證明平面； （II） 若為正三角形，試判斷點在平面內(nèi)的射影是否在直線上，證明你的結(jié)論,并求角的余弦值。 【解】 （I） 證明：EF分別為正方形ABCD得邊AB、CD的中點, EB//FD，且EB=FD， 四邊形EBFD為平行四邊形。 BF//ED

50、 平面. （II）解法1： 如右圖，點A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上， 過點A作AG垂直于平面BCDE,垂足為G，連結(jié)GC,GD. ACD為正三角形， AC=AD CG=GD G在CD的垂直平分線上， 點A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上， 過G作GH垂直于ED于H，連結(jié)AH，則，所以為二面角 A—DE—C的平面角。即。 設(shè)原正方體的邊長為2a，連結(jié)AF 在折后圖的AEF中，AF=，EF=2AE=2a， 即AEF為直角三角形，。 在RtADE中, 。 解法2：點A在平面BCDE內(nèi)的射影G在

51、直線EF上 連結(jié)AF，在平面AEF內(nèi)過點作，垂足為。 ACD為正三角形，F(xiàn)為CD的中點， 又因, 所以 又且 為A在平面BCDE內(nèi)的射影G. 即點A在平面BCDE內(nèi)的射影在直線EF上 過G作GH垂直于ED于H，連結(jié)AH,則，所以為二面角A-DE-C的平面角。即 設(shè)原正方體的邊長為2a，連結(jié)AF 在折后圖的AEF中，AF=，EF=2AE=2a， 即AEF為直角三角形, 在RtADE中, 。 解法3：點A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上 連結(jié)AF，在平面AEF內(nèi)過點作，垂足為。 ACD為正三角

52、形，F(xiàn)為CD的中點, 又因，所以 又 為A在平面BCDE內(nèi)的射影G。 即點A在平面BCDE內(nèi)的射影在直線EF上。 過G作GH垂直于ED于H，連結(jié)AH，則，所以為二面角A-DE-C的平面角.即。 設(shè)原正方體的邊長為2a，連結(jié)AF 在折后圖的AEF中，AF=，EF=2AE=2a， 即AEF為直角三角形, 在RtADE中, , 。 22．【06全國Ⅰ·理】 如圖，、是互相垂直的異面直線，MN是它們的公垂線段。點A、B在上，C在上，AM=MB=MN。 （Ⅰ）證明ACNB

53、（Ⅱ）若,求NB與平面ABC所成角的余弦值. 【解】 解法一： （Ⅰ） 又AN為AC在平面ABN內(nèi)的射影 （Ⅱ） 又已知，因此為正三角形. ，因此N在平面ABC內(nèi)的射影H是正三角形ABC的中心，連結(jié)BH，為NB與平面ABC所成的角. 在中， 解法二： 如圖，建立空間直角坐標系. 令, 則有A（-1，0，0），B（1，0，0），N（0，1，0）。 （Ⅰ）是、的公垂線，， 故可設(shè)C（0，1，m）。 于是 ， 。 （Ⅱ） 又已知 為正三角形，。 在中，，可得，故 C（0，1，） 連結(jié)MC，做于H，設(shè)

54、 ，可得，連結(jié)BH，則， , 又 又 。 23．【06全國Ⅱ·理】如圖，在直三棱柱中，、分別為、的中點。 （I）證明：ED為異面直線與的公垂線； （II）設(shè) 求二面角的大小。 【解】 解法一： A B C D E A1 B1 C1 O F （Ⅰ）設(shè)O為AC中點，連接EO，BO，則EOC1C， 又C1CB1B，所以EODB，EOBD為平行四邊形，ED∥OB． ∵AB＝BC，∴BO⊥AC， 又平面ABC⊥平面ACC1A1， BO面ABC， 故BO⊥平面ACC1A1， ∴ED⊥平面ACC1A1， ED⊥AC1

55、， ED⊥CC1， ∴ED⊥BB1，ED為異面直線AC1與BB1的公垂線． （Ⅱ）連接A1E，由AA1＝AC＝AB 可知，A1ACC1為正方形， ∴A1E⊥AC1， 又由ED⊥平面ACC1A1和ED平面ADC1知 平面ADC1⊥平面A1ACC1，∴A1E⊥平面ADC1．作EF⊥AD，垂足為F，連接A1F， 則A1F⊥AD，∠A1FE為二面角A1－AD－C1的平面角． 不妨設(shè)AA1＝2，則AC＝2，AB＝ED＝OB＝1，EF＝＝， tan∠A1FE＝，∴∠A1FE＝60°． 所以二面角A1－AD－C1為60°． 解法二： （Ⅰ）如圖，建立直角坐標系

56、O－xyz，其中原點O為AC的中點． 設(shè)A(a,0,0)，B(0,b,0)，B1(0,b,2c)． A B C D E A1 B1 C1 O z x y 則C(－a,0,0)，C1(－a,0,2c)，E(0,0,c)，D(0,b,c)． ＝（0，b，0），＝(0，0，2c)． ·＝0， ∴ED⊥BB1． 又＝(－2a,0,2c)， ·＝0， ∴ED⊥AC1， 所以ED是異面直線BB1與AC1的公垂線． （Ⅱ）不妨設(shè)A(1,0,0)，則B(0,1,0)，C(－1,0,0)，A1(1,0,2)， ＝(－1,－1,0)，＝(－1,1

57、,0)，＝(0,0,2)， ·＝0，·＝0，即BC⊥AB，BC⊥AA1，又AB∩AA1＝A， ∴BC⊥平面A1AD． 又E(0,0,1)，D(0,1,1)，C(－1,0,1)，＝(－1,0,－1)，＝(－1,0,1)，＝(0,1,0)， ·＝0，·＝0，即EC⊥AE，EC⊥ED，又AE∩ED＝E， ∴ EC⊥面C1AD． cos＜，＞＝＝，即得和的夾角為60°． 所以二面角A1－AD－C1為60°． A B C A1 V B1 C1 24．【06山東·理】 如圖，已知平面平行于三棱錐的底面ABC，等邊△所在的平面與底面ABC垂直，且∠ACB=90°，設(shè) （Ⅰ）

58、求證直線是異面直線與的公垂線； （Ⅱ）求點A到平面VBC的距離； （Ⅲ）求二面角的大小。 【解】解法1：（Ⅰ）證明： ∵平面∥平面， 又∵平面⊥平面，平面∩平面， ∴⊥平面， ， 又，. 為與的公垂線. （Ⅱ）解法1：過A作于D， ∵△為正三角形， ∴D為的中點. ∵BC⊥平面 ∴， 又， ∴AD⊥平面， ∴線段AD的長即為點A到平面的距離. 在正△中，. ∴點A到平面的距離為. 解法2：取AC中點O連結(jié)，則⊥平面，且=. 由（Ⅰ）知，設(shè)A到平面的距離為x， ，

59、 即，解得. 即A到平面的距離為. 所以，到平面的距離為. （III） 過點作于，連，由三重線定理知 是二面角的平面角。 在中， 。 。 所以，二面角的大小為arctan。 解法二：取中點連,易知底面，過作直線交于。 取為空間直角坐標系的原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系。則。 （I），， ， 。 又 由已知。 ， 而。 又顯然相交， 是的公垂線。 （II）設(shè)平面的一個法向量， 又 由 取 得 點到平面的距離，即在平面的法向量上的投影的絕對值。

60、，設(shè)所求距離為。 則 所以，A到平面VBC的距離為. （III）設(shè)平面的一個法向量 由 取， 二面角為銳角， 所以，二面角的大小為 選擇題與填空題答案 一、選擇題 1．D 2．A 3．D 4．B 5．C 6．B 7．B 8．C 9．C 10．B 11．C 12．D 13．C 14．C 15．D 16．D 17．A 18．B 二、填空題 1．①③④⑤ 2．①③ 3． 4． 5． 6． 7． 8． 9． 10．①，②