高中數(shù)學(xué)對函數(shù)的進(jìn)一步認(rèn)識(shí) 合作與討論

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1、對函數(shù)的進(jìn)一步認(rèn)識(shí) 合作與討論 　　1．怎樣判斷一個(gè)解析式是否是函數(shù)? 　　要判斷一個(gè)解析式表達(dá)的是否為函數(shù)，利用定義法便可解決．即對定義域中的任何一個(gè)值，在值域中都有唯一的函數(shù)值與它對應(yīng)． 　　2．函數(shù)y＝x2與S＝t2是同一函數(shù)嗎? 　　函數(shù)的確定只與定義域與對應(yīng)關(guān)系有關(guān)，而與所表示的字母無關(guān)，因此y＝x2與S＝t2表示的是同一個(gè)函數(shù)．因此并非字母不同便是不同的函數(shù)．這是由函數(shù)的本質(zhì)決定的． 　　3．如何判斷一個(gè)對應(yīng)是否為映射? 　　根據(jù)定義即可，稱為定義法． 　　對于一個(gè)A到B的對應(yīng)，A中的任何一個(gè)元素都對應(yīng)B中的唯一一個(gè)元素，或A中的多個(gè)元素對應(yīng)B中的一個(gè)元素，這樣的對應(yīng)

2、都是映射，而A中的一個(gè)元素對應(yīng)月中的多個(gè)元素的對應(yīng)就不是映射． 　　可以簡單地說：“一對一”“多對一”的對應(yīng)是映射，“一對多”的對應(yīng)不是映射． 　　4．無究大∞是一個(gè)數(shù)嗎? 　　無窮大∞僅是一個(gè)記號(hào)，不是一個(gè)數(shù)．用－∞，＋∞作為區(qū)間一端或兩端的區(qū)間稱為無窮區(qū)間，如｛x｜a＜x＜＋∞｝可用區(qū)間表示為（a，＋∞）． 　　5．如何理解符號(hào)y＝f（x）中的“f”? 符號(hào)y＝f（x）中的“f”表示對應(yīng)法則，在不同的具體函數(shù)中，“f”的含義不一樣，可以形象地把函數(shù)的對應(yīng)法則“f”看作一個(gè)“暗箱”．例如y＝f（x）＝x2，可以將其看作輸入x，輸出x2，于是“暗箱”相當(dāng)于一個(gè)“平方機(jī)”的作用（如下圖

3、），則顯然應(yīng)該有f（a）＝a2，f（m＋1）＝（m＋1）2，f（x＋1）＝（x＋1）2． 【例題】已知函數(shù) 　　求f（2），f（－3），f［f（－3）］的值． 　　解：f（2）＝22＝4，f（－3）＝0，f［f（－3）］＝f（0）＝2． 　　點(diǎn)評：函數(shù)的定義域的求法． 　?。?）由函數(shù)的解析式確定函數(shù)的定義域． 　　在函數(shù)的解析式中，自變量可能因?yàn)閰⑴c某種運(yùn)算而使其取值范圍受到限制．由這種限制要求就可以確定自變量只能取值的范圍，也就求得了函數(shù)的定義域． 　　這類限制主要有： 　?、俜质降姆帜覆荒転榱悖? 　?、陂_偶次方時(shí)，被開方數(shù)必須為非負(fù)數(shù)． 　?、蹖?shù)的真數(shù)必須大于零

4、，底數(shù)必須為非1的正數(shù)． 　?、芤恍┨厥夂瘮?shù)對自變量的規(guī)定（以后學(xué)習(xí)）． 　?。?）由實(shí)際問題確定函數(shù)的定義域． 　　有許多函數(shù)是反映生產(chǎn)生活的實(shí)際問題的，因而定義域除受解析式的制約外，還必須符合實(shí)際問題的情況與要求．如有些問題要求自變量只能取正數(shù)（某些圖形的邊長、面積等），有些問題又要求自變量只能取正整數(shù)（以件為單位的物品或人數(shù)等）． 　　6．函數(shù)的表示法有幾種? 　　函數(shù)的表示方法有三種，即解析法、列表法、圖象法．中學(xué)里研究的函數(shù)主要是用解析式表示的函數(shù)，對解析法比較容易理解．列表法、圖象法也是表示函數(shù)的方法．用列表法表示函數(shù)關(guān)系的優(yōu)點(diǎn)是：不必通過計(jì)算就知道當(dāng)自變量取某些值時(shí)的對

5、應(yīng)值．圖象法的優(yōu)點(diǎn)是能直觀形象地表示出函數(shù)的變化情況． 　　7．函數(shù)的圖象都是連續(xù)的曲線嗎? 　　這不一定，一般來說，如果自變量的取值是連續(xù)的，那么它的圖象是連續(xù)的，如一次函數(shù)、二次函數(shù)，但如果自變量的取值不是連續(xù)的，那么它的圖象就是一些孤立點(diǎn)．例如：y＝5x，（x｛1，2，3，4｝）．有時(shí)函數(shù)的圖象是由幾段線段組成． 　　8．如何由實(shí)際問題寫出函數(shù)表達(dá)式? 　?。?）閱讀理解，要讀懂題意，理解實(shí)際背景，領(lǐng)悟其數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)． 　?。?）數(shù)學(xué)建模．即將應(yīng)用題的材料陳述轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，這就要抽象、歸納其中的數(shù)量關(guān)系，并恰當(dāng)?shù)匕堰@種關(guān)系用數(shù)學(xué)式子表示出來． 　　分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)還是幾個(gè)函數(shù)

6、? 分段函數(shù)仍是一個(gè)函數(shù)，只不過是根據(jù)自變量的不同范圍，函數(shù)的表達(dá)式不同而已． 本節(jié)內(nèi)容中主要包括：函數(shù)的概念、函數(shù)的表示方法、映射． 　　突破思路 　　1．函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的基本概念之一，高中對函數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)是初中函數(shù)知識(shí)的深化和延伸，本節(jié)中，在學(xué)習(xí)集合的基礎(chǔ)上，用集合對應(yīng)的語言對函數(shù)重新加以定義，從根本上揭示了函數(shù)的本質(zhì)：由定義域、值域、對應(yīng)法則三要素構(gòu)成的整體，從而使學(xué)生認(rèn)識(shí)到初中變量觀點(diǎn)F定義的限制和重新認(rèn)識(shí)函數(shù)的必要性． 　　概念的教學(xué)是非常重要的，尤其是學(xué)生剛接觸一種新的概念，教師給學(xué)生講清楚，并通過師生的共同討論，幫助學(xué)生深刻理解變得更為重要，要在學(xué)生的思想上

7、、知識(shí)結(jié)構(gòu)中打上深刻的烙印，否則后面的學(xué)習(xí)將會(huì)產(chǎn)生困難． 　　2．函數(shù)是由其定義域、值域、對應(yīng)法則三要素構(gòu)成的整體，并可用抽象符號(hào)f（x）來表示，由于f所代表的對應(yīng)法則不一定能用解析式表示，故本節(jié)介紹了函數(shù)的表示方法，除了解析法還有列表法和圖象法，這三種表示函數(shù)的方法之間具有內(nèi)在的聯(lián)系．比如本節(jié)例3的數(shù)據(jù)可以用列表法給出，教學(xué)中可引導(dǎo)學(xué)生先列表，再求解析式，最后畫圖象．例4在本質(zhì)上則是訓(xùn)練由圖象求解析式的過程等，認(rèn)識(shí)函數(shù)的三種表示方法之間的聯(lián)系并能相互轉(zhuǎn)化，是對函數(shù)概念深化理解的重要步驟． 　　3．映射是一種特殊的對應(yīng)，學(xué)習(xí)這一定義時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： 　?。?）映射是由集合A，B以及從

8、A到B的對應(yīng)關(guān)系f所確定的． 　?。?）在映射中，集合A中的“任一元素”在集合B中都有“唯一”的象，即不會(huì)存在集合A中的某一元素a在集合B中沒有象，或者不止一個(gè)象的情況． 　?。?）在映射中，集合A與B的地位是不對等的．一般地，在映射中我們不要求B中的每一個(gè)元素都與A中的唯一元素相對應(yīng)．因此，從A到B的映射與從B到A的映射是具有不同的要求的． 　　本節(jié)由實(shí)際問題引出了對分段函數(shù)的認(rèn)識(shí)，即對于自變量不同的取值范圍，用不同的解析式表示同一個(gè)函數(shù)關(guān)系，故分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)而不是幾個(gè)函數(shù)，教學(xué)中可舉一些例子幫助學(xué)生理解． 根據(jù)實(shí)際問題中的條件列出函數(shù)解析式的訓(xùn)練，是建立函數(shù)模型、研究實(shí)際問題的

9、關(guān)鍵步驟，這種應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)和應(yīng)用能力的提高應(yīng)不斷貫穿于以后的教學(xué)過程中． 規(guī)律總結(jié) 　　1．函數(shù)的三種表示法的比較 　?。?）用解析法表示函數(shù)關(guān)系的優(yōu)點(diǎn)是：函數(shù)的關(guān)系清楚，容易從自變量的值求出其對應(yīng)的函數(shù)值，便于用解析式來研究函數(shù)的性質(zhì)．缺點(diǎn)是：函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系必須通過計(jì)算才能得到，有時(shí)其計(jì)算量較大，而且并不是所有的函數(shù)關(guān)系都能用解析法表示出來． 　?。?）用列表法表示函數(shù)關(guān)系的優(yōu)點(diǎn)是：不必通過計(jì)算就知道當(dāng)自變量取某些值時(shí)的函數(shù)的對應(yīng)數(shù)值．缺點(diǎn)是：有時(shí)只能表示一部分的自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，而不能把所有的對應(yīng)關(guān)系一一表示出來，而且有時(shí)所有表示的函數(shù)的性質(zhì)較為隱蔽，不利于研究函數(shù)

10、的性質(zhì)． 　?。?）用圖象法表示函數(shù)關(guān)系的優(yōu)點(diǎn)是：能直觀形象地表示出函數(shù)的變化情況．缺點(diǎn)是：不能精確地表示自變量，對應(yīng)的函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系． 　　2．映射是一種特殊的對應(yīng)，它是研究函數(shù)的基礎(chǔ)和工具．映射是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語言（如同集合一樣），用它來敘述問題簡潔明了．因此對于映射的學(xué)習(xí)重在準(zhǔn)確理解和把握映射的概念上，即抓住“取元任意性、成象唯一性”這兩點(diǎn)． 　　映射是在函數(shù)的基礎(chǔ)上引申、擴(kuò)展的，而函數(shù)則是一個(gè)特殊的映射．一方面，我們要善于利用函數(shù)與映射這一關(guān)系來理解和解決問題，如以函數(shù)作為特例不難理解映射的概念；反過來，運(yùn)用映射的語言來敘述問題就簡潔明了得多．另一方面，函數(shù)與映射的這一關(guān)系正是

11、人類對客觀事物認(rèn)識(shí)由低級向高級飛躍的一個(gè)縮影．因此我們應(yīng)掌握這種將低級認(rèn)識(shí)擴(kuò)展到高級認(rèn)識(shí)的思維方法，掌握了這種方法也就掌握了發(fā)明和創(chuàng)造的方法． 　　3．基本方法 　　（1）函數(shù)及其同一性（兩函數(shù)“相同”）的判定 　　兩個(gè)函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全相同時(shí)，才是同一個(gè)函數(shù)． 　　判斷函數(shù)的同一性，重要的是定義域和對應(yīng)關(guān)系的實(shí)質(zhì)，而不是表示它們的公式的外貌． 　?。?）求函數(shù)定義域及定義域的應(yīng)用 　　定義域是函數(shù)的關(guān)鍵性特征，對于每個(gè)確定的函數(shù)，其定義域是確定的．但是，未必每個(gè)解析式都能在實(shí)數(shù)集R上定義一個(gè)函數(shù)．例如，　就不能在R上定義出函數(shù)來．又如也不是定義域?yàn)镽的函數(shù)，然

12、而它可以定義為R的子集（－∞，1］上的函數(shù)，這就產(chǎn)生了求定義域的問題．在實(shí)際尋找函數(shù)的定義域時(shí)，應(yīng)當(dāng)遵循下列規(guī)則： 　　①分式的分母不應(yīng)該是零； 　?、谂即胃降母?hào)里面的式子應(yīng)該為非負(fù)數(shù)； 　?、蹖?shù)的真數(shù)應(yīng)該是正的； 　?、苡邢迋€(gè)函數(shù)的四則運(yùn)算得到的函數(shù)，其定義域是這有限個(gè)函數(shù)的定義域的交集（作除法時(shí)還要排除使除式為零的x值）； 　?、輰τ谟蓪?shí)際問題建立的函數(shù)，其定義域還應(yīng)該受實(shí)際問題的具體條件制約． 　　關(guān)于定義域的應(yīng)用，常見的有如下幾個(gè)方面： 　?、偾笾涤蚧虼_定函數(shù)值的變化范圍； 　　②解析式的變形或化簡； 　?、劢獠坏仁交蚪夥匠?； 　?、芮蠛瘮?shù)的最值． 　?。?

13、）求函數(shù)的值域及值域的應(yīng)用 　　最直接的方法是由函數(shù)的定義域通過對應(yīng)關(guān)系求值域，有時(shí)也可根據(jù)具體情況采用下列適當(dāng)?shù)姆椒ɑ蚣记桑? 　?、倩癁槎魏瘮?shù)，利用二次函數(shù)的最值確定所給函數(shù)的值域； 　?、诶枚稳?xiàng)式的判別式求值域； 　?、塾蓤D象，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法求值域； 　?、芾媚承┮阎瘮?shù)的值域，通過解不等式求得所給函數(shù)的值域； 　?、莶捎脫Q元法求值域； 　?、拊诮⒎春瘮?shù)概念后，可利用互為反函數(shù)的定義域與值域的互換關(guān)系求值域． 　?。?）求函數(shù)表達(dá)式與函數(shù)記號(hào)的運(yùn)用 　　通常會(huì)遇到下列各種情形： 　?、賹τ谝阎瘮?shù)f（x）、（x），求形如f［（x）］的表達(dá)式； 　　②已

14、知函數(shù)表達(dá)式的類型，根據(jù)函數(shù)所具有的某些性質(zhì)或約束條件確定表達(dá)式中的待定參數(shù)； 　?、鄹鶕?jù)函數(shù)對應(yīng)關(guān)系所滿足的某些條件，求函數(shù)的表達(dá)式． 　　在上述各種情形中，正確理解和運(yùn)用函數(shù)記號(hào)，常常是疏通思路的關(guān)鍵． 　?、芎瘮?shù)的表示法通常有：解析法、列表法、圖象法三種． 　?、萸蠛瘮?shù)的解析式的方法有：直接法、配湊法、換元法、消去法、定義法、待定系數(shù)法及特殊法等． 　?。?）求函數(shù)值與畫函數(shù)圖象 　　求函數(shù)值是學(xué)習(xí)函數(shù)概念必須掌握的最基本的但卻是最重要的方法．例如畫函數(shù)圖象首先就要求函數(shù)值． 一個(gè)函數(shù)y＝f（x）可看成有序?qū)崝?shù)對（x，y）的集合．在直角坐標(biāo)系中給出以每個(gè)有序?qū)崝?shù)對為其坐標(biāo)的點(diǎn)，所有這些點(diǎn)的集合就是函數(shù)的圖象．函數(shù)的圖象表示法奠定了數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)．