高考數(shù)學第二輪復習 分類討論思想方法 人教版

高考數(shù)學第二輪復習 分類討論思想方法在解答某些數(shù)學問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。有關分類討論思想的數(shù)學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓練人的思維條理性和概括性，所以在高考試題中占有重要的位置。引起分類討論的原因主要是以下幾個方面： 問題所涉及到的數(shù)學概念是分類進行定義的。如|a|的定義分a>0、a0、a<0三種情況。這種分類討論題型可以稱為概念型。 問題中涉及到的數(shù)學定理、公式和運算性質(zhì)、法則有范圍或者條件限制，或者是分類給出的。如等比數(shù)列的前n項和的公式，分q1和q1兩種情況。這種分類討論題型可以稱為性質(zhì)型。 解含有參數(shù)的題目時，必須根據(jù)參數(shù)的不同取值范圍進行討論。如解不等式ax>2時分a>0、a0和a<0三種情況討論。這稱為含參型。另外，某些不確定的數(shù)量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結(jié)論等，都主要通過分類討論，保證其完整性，使之具有確定性。進行分類討論時，我們要遵循的原則是：分類的對象是確定的，標準是統(tǒng)一的，不遺漏、不重復，科學地劃分，分清主次，不越級討論。其中最重要的一條是“不漏不重”。解答分類討論問題時，我們的基本方法和步驟是：首先要確定討論對象以及所討論對象的全體的范圍；其次確定分類標準，正確進行合理分類，即標準統(tǒng)一、不漏不重、分類互斥（沒有重復）；再對所分類逐步進行討論，分級進行，獲取階段性結(jié)果；最后進行歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論。一、方法簡解：1集合Ax|x|4,xR，Bx|x3|a，xR，若AB，那么a的范圍是_。A. 0a1 B. a1 C. a<1 D. 0<a<12.若a>0且a1，plog(aa1)，qlog(aa1)，則p、q的大小關系是_。A. pq B. p<q C. p>q D.當a>1時，p>q；當0<a<1時，p<q3.函數(shù)y的值域是_。4.若(0, )，則的值為_。A. 1或1 B. 0或1 C. 0或1 D. 0或1或15.函數(shù)yx的值域是_。A. 2,+) B. (-,-22,+) C. (-,+) D. -2,26.正三棱柱的側(cè)面展開圖是邊長分別為2和4的矩形，則它的體積為_。A. B. C. D. 或7.過點P(2,3)，且在坐標軸上的截距相等的直線方程是_。A. 3x2y0 B. xy50 C. 3x2y0或xy50 D.不能確定【簡解】1小題：對參數(shù)a分a>0、a0、a<0三種情況討論，選B；2小題：對底數(shù)a分a>1、0<a<1兩種情況討論，選C；3小題：分x在第一、二、三、四象限等四種情況，答案4,-2,0；4小題：分、0<<、<<三種情況，選D；5小題：分x>0、x<0兩種情況，選B；6小題：分側(cè)面矩形長、寬分別為2和4、或4和2兩種情況，選D；7小題：分截距等于零、不等于零兩種情況，選C。二、舉例分析：例1. 設0<x<1，a>0且a1，比較|log(1x)|與|log(1x)|的大小?！痉治觥?比較對數(shù)大小，運用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，而單調(diào)性與底數(shù)a有關，所以對底數(shù)a分兩類情況進行討論?！窘狻?0<x<1 0<1x<1 , 1x>1 當0<a<1時，log(1x)>0，log(1x)<0，所以|log(1x)|log(1x)|log(1x)log(1x)log(1x)>0; 當a>1時，log(1x)<0，log(1x)>0，所以|log(1x)|log(1x)|log(1x) log(1x)log(1x)>0；由、可知，|log(1x)|>|log(1x)|?！咀ⅰ勘绢}要求對對數(shù)函數(shù)ylogx的單調(diào)性的兩種情況十分熟悉，即當a>1時其是增函數(shù)，當0<a<1時其是減函數(shù)。去絕對值時要判別符號，用到了函數(shù)的單調(diào)性；最后差值的符號判斷，也用到函數(shù)的單調(diào)性。例2. 已知集合A和集合B各含有12個元素，AB含有4個元素，試求同時滿足下面兩個條件的集合C的個數(shù)： . CAB且C中含有3個元素； . CA ?！痉治觥?由已知并結(jié)合集合的概念，C中的元素分兩類：屬于A 元素；不屬于A而屬于B的元素。并由含A中元素的個數(shù)1、2、3,而將取法分三種?！窘狻?C·CC·CC·C1084【注】本題是排列組合中“包含與排除”的基本問題，正確地解題的前提是合理科學的分類，達到分類完整及每類互斥的要求，還有一個關鍵是要確定C中元素如何取法。另一種解題思路是直接使用“排除法”，即CC1084。例3. 設a是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，S是前n項和。 . 證明： <lgS； .是否存在常數(shù)c>0，使得lg（Sc）成立？并證明結(jié)論。(95年全國理)【分析】 要證的不等式和討論的等式可以進行等價變形；再應用比較法而求解。其中在應用等比數(shù)列前n項和的公式時，由于公式的要求，分q1和q1兩種情況?！窘狻?設a的公比q，則a>0，q>0 當q1時，Sna，從而SSSna(n2)a(n1)aa<0； 當q1時，S，從而SSSaq<0；由上可得SS<S，所以lg(SS)<lg(S)，即<lgS。. 要使lg（Sc）成立，則必有(Sc)(Sc)(Sc),分兩種情況討論如下：當q1時，Sna，則(Sc)(Sc)(Sc)(nac)(n2)ac(n1)aca<0當q1時，S，則(Sc)(Sc)(Sc)c ccaqac(1q) aq0 ac(1q)0即c而ScS<0 對數(shù)式無意義由上綜述，不存在常數(shù)c>0, 使得lg（Sc）成立?！咀ⅰ?本例由所用公式的適用范圍而導致分類討論。該題文科考生改問題為：證明>logS ，和理科第一問類似，只是所利用的是底數(shù)是0.5時，對數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞減。例1、例2、例3屬于涉及到數(shù)學概念、定理、公式、運算性質(zhì)、法則等是分類討論的問題或者分類給出的，我們解決時按要求進行分類，即題型為概念、性質(zhì)型。例4. 設函數(shù)f(x)ax2x2，對于滿足1<x<4的一切x值都有f(x)>0，求實數(shù)a的取值范圍。 1 4 x 1 4 x【分析】 含參數(shù)的一元二次函數(shù)在有界區(qū)間上的最大值、最小值等值域問題，需要先對開口方向討論，再對其拋物線對稱軸的位置與閉區(qū)間的關系進行分類討論，最后綜合得解。【解】當a>0時，f(x)a（x）2 或或 a1或<a<1或 即 a>；當a<0時，解得；當a0時，f(x)2x2, f(1)0，f(4)6， 不合題意由上而得，實數(shù)a的取值范圍是a> ?！咀ⅰ勘绢}分兩級討論，先對決定開口方向的二次項系數(shù)a分a>0、a<0、a0三種情況，再每種情況結(jié)合二次函數(shù)的圖像，在a>0時將對稱軸與閉區(qū)間的關系分三種，即在閉區(qū)間左邊、右邊、中間。本題的解答，關鍵是分析符合條件的二次函數(shù)的圖像，也可以看成是“數(shù)形結(jié)合法”的運用。例5. 解不等式>0 (a為常數(shù)，a)【分析】 含參數(shù)的不等式，參數(shù)a決定了2a1的符號和兩根4a、6a的大小，故對參數(shù)a分四種情況a>0、a0、<a<0、a<分別加以討論。【解】 2a1>0時，a>； 4a<6a時，a>0 。 所以分以下四種情況討論：當a>0時，(x4a)(x6a)>0，解得：x<4a或x>6a；當a0時，x>0，解得：x0；當<a<0時，(x4a)(x6a)>0，解得: x<6a或x>4a；當a>時，(x4a)(x6a)<0，解得： 6a<x<4a 。綜上所述，當a>0時，x<4a或x>6a；當a0時，x0；當<a<0時，x<6a或x>4a；當a>時，6a<x<4a ?！咀ⅰ?本題的關鍵是確定對參數(shù)a分四種情況進行討論，做到不重不漏。一般地，遇到題目中含有參數(shù)的問題，常常結(jié)合參數(shù)的意義及對結(jié)果的影響而進行分類討論，此種題型為含參型。例6. 設a0,在復數(shù)集C中，解方程：z2|z|a 。 (90年全國高考)【分析】由已知z2|z|a和|z|R可以得到zR，即對z分實數(shù)、純虛數(shù)兩種情況進行討論求解?！窘狻?|z|R，由z2|z|a得：zR； z為實數(shù)或純虛數(shù)當zR時，|z|2|z|a,解得：|z|1 z±(1)；當z為純虛數(shù)時，設z±y (y>0)， y2ya 解得：y1± （0a1）由上可得，z±(1)或±(1±)【注】本題用標準解法（設zxy再代入原式得到一個方程組，再解方程組）過程十分繁難，而挖掘隱含，對z分兩類討論則簡化了數(shù)學問題?！玖斫狻?設zxy，代入得 xy22xya； 當y0時，x2|x|a，解得x±(1)，所以z±(1)；當x0時，y2|y|a，解得y±(1±)，所以±(1±)。由上可得，z±(1)或±(1±)【注】此題屬于復數(shù)問題的標準解法，即設代數(shù)形式求解。其中抓住2xy0而分x0和y0兩種情況進行討論求解。實際上，每種情況中絕對值方程的求解，也滲透了分類討論思想。例7. 在xoy平面上給定曲線y2x，設點A(a,0)，aR，曲線上的點到點A的距離的最小值為f(a)，求f(a)的函數(shù)表達式。 （本題難度0.40）【分析】 求兩點間距離的最小值問題，先用公式建立目標函數(shù)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在約束條件x0下的最小值問題，而引起對參數(shù)a的取值討論?！窘狻?設M(x,y)為曲線y2x上任意一點，則|MA|(xa)y(xa)2xx2(a1)xax(a1)(2a1)由于y2x限定x0，所以分以下情況討論：當a10時，xa1取最小值，即|MA2a1；當a1<0時，x0取最小值，即|MAa；綜上所述，有f(a) ?！咀ⅰ勘绢}解題的基本思路是先建立目標函數(shù)。求二次函數(shù)的最大值和最小值問題我們十分熟悉，但含參數(shù)a，以及還有隱含條件x0的限制，所以要從中找出正確的分類標準，從而得到df(a)的函數(shù)表達式。三、鞏固訓練：1. 若log<1，則a的取值范圍是_。A. (0, ) B. (,1) C. (0, )(1,+) D. (,+)2. 非零實數(shù)a、b、c，則的值組成的集合是_。A. -4,4 B. 0,4 C. -4,0 D. -4,0,43. f(x)(ax)|3ax|，a是正常數(shù)，下列結(jié)論正確的是_。A.當x2a時有最小值0 B.當x3a時有最大值0C.無最大值，且無最小值 D.有最小值但無最大值4. 設f(x,y)0是橢圓方程，f(x,y)0是直線方程，則方程f(x,y)f(x,y)0 （R）表示的曲線是_。 A.只能是橢圓 B.橢圓或直線 C.橢圓或一點 D.還有上述外的其它情況5. 函數(shù)f(x)ax2ax2b (a0)在閉區(qū)間2,3上有最大值5，最小值2，則a、b的值為_。 A. a1,b0 B. a1，b0或a1,b3 C. a1，b3 D. 以上答案均不正確6.方程(xx1)1的整數(shù)解的個數(shù)是_。 A. 1 B. 3 C. 4 D. 57. 到空間不共面的4個點距離相等的平面的個數(shù)是_。 A. 7 B. 6 C. 5 D. 48.zC，方程z3|z|20的解的個數(shù)是_。A. 2 B. 3 C. 4 D. 59.復數(shù)zaa (a0)的輻角主值是_。10.解關于x的不等式： 2log(2x1)>log(xa) (a>0且a1)11.設首項為1，公比為q (q>0)的等比數(shù)列的前n項和為S，又設T，求T 。12. 若復數(shù)z、z、z在復平面上所對應三點A、B、C組成直角三角形，且|z|2，求z 。13. 有卡片9張，將0、1、2、8這9個數(shù)字分別寫在每張卡片上。現(xiàn)從中任取3張排成三位數(shù)，若6可以當作9用，問可組成多少個不同的三位數(shù)。14. 函數(shù)f(x)(|m|1)x2(m1)x1的圖像與x軸只有一個公共點，求參數(shù)m的值及交點坐標。