高中物理 第1章 機械振動 第2節(jié) 振動的描述知識導航素材 魯科版選修3-4（通用）

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1、第2節(jié)振動的描述 思維繳活 在研究一個物體的振動是否為簡諧運動時，可以通過作出振動圖象來判斷.如圖1-2-1所示，在彈簧振子的小球上安置一記錄用的毛筆P，在下面放一張白紙，當小球振動時沿垂直于振動方向勻速拉動紙帶，毛筆P就在紙帶上畫出一條振動曲線.為什么這樣畫出的曲線是振動曲線？ 圖1-2-1 提示：因為勻速拉動紙帶時，紙帶的位移與時間成正比，即x=vt,因此，一定的位移就表示一定的時間.所以拉動紙帶時，就可以表示不同的時刻振子離開平衡位置的距離，因而可以說毛筆所畫下的痕跡就是彈簧振子的振動圖象. 自主整理 一、振動特征的描述 1.振幅：振幅是物體離開__________的

2、最大位移.振幅是標量，振幅與位移的___________在數(shù)值上相等，但二者不同，因為位移是_____________. 2.全振動：振子以相同的速度相繼兩次通過_____________所經(jīng)歷的過程. 3.周期：做簡諧運動的物體完成一次_____________所需要的時間叫做振動的周期.它是表示_____________的物理量，周期越長，表示物體振動得越_____________；周期越短，表示物體振動得越_____________. 4.頻率：振動物體在_____________內(nèi)完成全振動的次數(shù)，叫做振動的頻率.它是表示_____________的物理量，頻率越大，表示物體振動

3、得越_____________；頻率越小，表示物體振動得越_____________. 周期與頻率的關(guān)系是：_____________或_____________. 5.固有周期和固有頻率，物體振動的周期和頻率只是由的_____________屬性決定的，與其他因素無關(guān)，又稱固有周期和固有頻率. 二、簡諧運動的圖象描述 1.圖象特點：簡諧運動的圖象是一條_____________曲線，表示一個質(zhì)點在_____________時刻相對平衡位置的位移，它只是反映了質(zhì)點的_____________隨_____________的變化規(guī)律，不是質(zhì)點的運動軌跡. 2.圖象信息：如圖1-2-2所示

4、，從圖象上可知_____________和_____________.還可知道任一刻度的_____________大小和方向，借助圖象信息，還可以判斷不同時刻的_____________和_____________的方向和大小關(guān)系. 圖1-2-2 三、簡諧運動的公式表達 簡諧運動的位移隨時間變化的函數(shù)關(guān)系是：_____________，式中A代表_____________，ω代表______________，（ωt+φ0）代表______________，若t=0，φ0代表______________. 高手筆記 1.簡諧運動中，物體的振幅、位移、路程的關(guān)系 振幅和位移的區(qū)別：

5、 （1）振幅是振動物體離開平衡位置的最大距離；位移是振動物體相對平衡位置的位置變化；對某一簡諧運動而言，振幅為一定值，位移時刻改變. （2）振幅是表示振動強弱的物理量，位移表示的是某一時刻振動質(zhì)點相對平衡位置的位置變化. （3）振幅是標量，位移是矢量. （4）振幅在數(shù)值上等于最大位移的絕對值. 振幅和路程的關(guān)系： 物體在一個周期內(nèi)通過的路程一定等于振幅的四倍；在半個周期內(nèi)通過的路程一定等于振幅的兩倍.物體在T內(nèi)的路程可能等于一個振幅，可能大于一個振幅，還可能小于一個振幅.只有當T的初時刻，振動物體在平衡位置或最大位移處，T內(nèi)的路程才等于振幅. 2.固有周期和固有頻率的含義 “固

6、有”的含義是“僅由振動系統(tǒng)本身的性質(zhì)”決定，跟外部因素無關(guān).如彈簧振子的周期只取決于振子的質(zhì)量和彈簧的勁度系數(shù)，與振動的振幅無關(guān)，并不是振幅越大，周期越大.而振幅的大小，除跟彈簧振子有關(guān)之外，還跟使它起振時外力對振子做功的多少有關(guān).因此，振幅不是“固有”的.同一個彈簧振子，無論是在地球上，還是在其他星球上，在不是完全失重的人造衛(wèi)星中，無論是水平放置，還是豎直懸掛，T和f均不變. 名師解惑 1.怎樣理解簡諧運動的相位？ 剖析：簡諧運動的表達式x=Asin(ωt+φ0)中，φ=ωt+φ0表示簡諧運動的相位，當t=0時的φ0稱為初相位，它代表了做簡諧運動的質(zhì)點此時正處于一個運動周期中的哪個狀態(tài)

7、. 例如：圖1-2-3中實線和虛線分別表示兩個簡諧運動的圖象，縱坐標的最大值是振動的振幅，橫坐標軸上方標出時間，下方標出相位，相位的數(shù)值就是角度，與三角函數(shù)相同.由圖可知兩個振動的振幅相同，周期相同，但初相位不同.初相位是t=0時刻的相位，虛線是正弦函數(shù)曲線，t=0時刻的相位為0.實線與虛線在橫坐標上相差一段距離，t=0時刻的相位為.實線所表示的振動比虛線所表示的振動落后T/4，相位上落后. 圖1-2-3 又如：兩個簡諧運動公式：x1=3asin(4πbt+)和x2=9asin(8πbt+)，其中它們的初相位分別是φ1=,φ2=,則t=0時的相位差Δφ=φ2-φ1=,這說明第二個振動

8、比第一個振動提前. 2.如何利用簡諧運動圖象確定振子某一時刻的位移？ 剖析：簡諧運動的圖象是正弦曲線，在圖1-2-4中，t=時，位移x是多大呢？由正弦曲線的特點可知，對應,A對應函數(shù)值，對應,則x對應函數(shù)值A(chǔ)，即x=0.707A.若振子的位移x=,它又對應哪些時刻呢？由圖象可知，t=、T、T等時刻，x均等于. 圖1-2-4 3.關(guān)于如何利用簡諧運動圖象確定速度方向，并比較不同時刻的速度大?。? 剖析：如圖1-2-5所示，例如欲確定質(zhì)點t1時刻的速度方向，取大于t1一小段時間的另一時刻t1′，并使t1′-t1極小，考查質(zhì)點t1′時刻的位置P1′（t1′,x1′），可知x1′＜x1,即

9、P1′位于P1的下方，也就是經(jīng)過很短的時間，質(zhì)點的位移將減小，說明t1時刻質(zhì)點速度方向沿x軸的負方向.同理可判定t2時刻質(zhì)點沿x軸負方向運動，正在離開平衡位置向負最大位移處運動. 圖1-2-5 若x1＜x2,由簡諧運動的對稱特點，還可判斷t1和t2時刻對應的速度大小關(guān)系為v1＞v2. 由簡諧運動的圖象還可比較不同時刻加速度的大小，想一想，為什么？ 講練互動 【例題1】彈簧振子從距平衡位置5 cm處由靜止釋放，4 s 內(nèi)完成5次全振動，則這個彈簧振子的振幅為____________cm，振動周期為____________s，頻率為____________Hz，4s末振子的位移大小為

10、____________cm，4 s內(nèi)振子運動的路程為____________cm；若其他條件都不變，只是使振子改為在距平衡位置2.5 cm處由靜止釋放，則振子的周期為__________s. 解析：根據(jù)題意，振子從距平衡位置5 cm處由靜止開始釋放，說明彈簧振子在振動過程中離開平衡位置的最大距離是5 cm，即振幅為5 cm，由題設(shè)條件可知，振子在4 s內(nèi)完成5次全振動，則完成一次全振動的時間為0.8 s，即T=0.8 s；又因為f=，可得頻率為1.25 Hz.4 s內(nèi)完成5次全振動，也就是說振子又回到原來的初始點，因而振子的位移大小為5 cm，振子一次全振動的路程為20 cm，所以5次全振

11、動的路程為100 cm，由于彈簧振子的周期是由彈簧的勁度系數(shù)和振子質(zhì)量決定，其固有周期與振幅大小無關(guān)，所以從距平衡位置2.5 cm處由靜止釋放，不會改變周期的大小，周期仍為0.8 s. 答案：50.8 1.25 5 100 0.8 綠色通道 本題主要考查對描述振動的三個物理量的認識和理解以及位移和路程的區(qū)別.根據(jù)一次全振動確定周期，根據(jù)周期或單位時間內(nèi)完成全振動的次數(shù)確定頻率.簡諧運動中的位移是相對平衡位置而言的，本題中容易把釋放處當作位移起點. 求振動物體在一段時間內(nèi)通過路程的依據(jù)是： （1）振動物體在一個周期內(nèi)的路程一定為四個振幅，則在n個周期內(nèi)路程必為n·4A. （2

12、）振動物體在半個周期內(nèi)的路程一定為兩個振幅.（3）振動物體在T/4內(nèi)的路程可能等于一個振幅，還可能小于一個振幅.只有當T/4的初時刻，振動物體在平衡位置或最大位移處，T/4內(nèi)的路程才等于一個振幅. 計算路程的方法是：先判斷所求的時間內(nèi)有幾個周期，再依據(jù)上述規(guī)律求路程. 變式訓練 1．如圖1-2-6所示，彈簧振子在BC間振動，O為平衡位置，BO=OC=5 cm，若振子從B到C的運動時間是1 s，則下列說法正確的是（ ） 圖1-2-6 A.振子從B經(jīng)O到C完成一次全振動 B.振動周期是1 s，振幅是10 cm C.經(jīng)過兩次全振動，振子通過的路程是20 cm D.從B開始經(jīng)

13、過3 s，振子通過的路程是30 cm 解析：振子從B→O→C僅完成了半次全振動，所以周期T=2×1 s=2 s,振幅A=BO=5 cm. 振子在一次全振動中通過的路程為4A=20 cm，所以兩次全振動中通過的路程為40 cm,3 s的時間為1.5T，所以振子通過的路程為30 cm. 答案：D 2．周期為2 s的簡諧運動，在半分鐘內(nèi)通過的路程是60 cm，則在此時間內(nèi)振子經(jīng)過平衡位置的次數(shù)和振子的振幅分別為（ ） A.15次，2 cm B.30次，1 cm C.15次，1 cm D.60次，2 cm 解析：振子完成一次

14、全振動經(jīng)過軌跡上每點的位置兩次（除最大位移處），而每次全振動振子通過的路程為4個振幅，半分鐘共完成了15次全振動，所以經(jīng)平衡位置的次數(shù)為30次，振幅A=cm=1 cm,故選B. 答案：B 【例題2】圖1-2-7所示為質(zhì)點P在0~4 s內(nèi)的運動圖象，下列敘述正確的是（ ） 圖1-2-7 A.再過1 s，該質(zhì)點的位移是正的最大 B.再過1 s，該質(zhì)點的速度沿正方向 C.再過1 s，該質(zhì)點的加速度沿正方向 D.再過1 s，該質(zhì)點加速度最大 解析：振動圖象描述質(zhì)點在各個時刻離開平衡位置的位移的情況.依題意，再經(jīng)過1 s，將振動圖

15、象延伸到正x最大處.這時質(zhì)點的位移為正的最大，故A對.因為回復力與位移成正比且方向與位移方向相反，所以此時回復力最大且方向為負向，故振動物體的加速度最大且方向為負向.此時振動物體的速度為零，無方向可談，故B、C錯，D對. 答案：AD 綠色通道 理解簡諧運動的圖象是解決這類問題的關(guān)鍵，這種往復運動的位移圖象，就是以x軸上縱坐標的數(shù)值表示質(zhì)點對平衡位置的位移，以t軸橫坐標數(shù)值表示各個時刻，這樣在xt坐標系內(nèi)，可以找到各個時刻對應質(zhì)點位移坐標的點，即位移隨時間分布的情況——振動圖象.振動圖象隨時間的延續(xù)繼續(xù)向外延伸. 變式訓練 3．一個質(zhì)點經(jīng)過平衡位置O在A、B間做簡諧運動，如圖1-2-8

16、（a），它的振動圖象如圖（b）所示，設(shè)向右為正方向，則： 圖1-2-8 （1）OB=__________cm. （2）第0.2 s末質(zhì)點的速度方向是_____________. （3）第0.7 s時，質(zhì)點位置在_____________點與_____________點之間. （4）質(zhì)點從O運動到B再運動到A所需時間t=_____________s. （5）在4 s內(nèi)完成_____________次全振動. 解析：由圖題（b）的信息可知，在圖（a）中t=0時刻，質(zhì)點從B向O振動，且質(zhì)點的振幅OB=5 cm，周期是0.8 s.由此可知：0.2 s末質(zhì)點正處于平衡位置且正在向負方向

17、振動.0.7 s末質(zhì)點的位移是正值，所以正處于O點和B點之間.質(zhì)點從O運動到B再運動到A用的時間是T，為0.6 s,4 s內(nèi)完成的全振動的次數(shù)是5次. 答案：（1）5 (2)由O指向A （3）O B （4）0.6 （5）5 4．甲、乙兩人先后觀察同一彈簧振子在豎直方向上下振動情況. （1）甲開始觀察時，振子正好在平衡位置并向下運動，試在圖129（a）中畫出甲觀察到的彈簧振子的振動圖象.已知經(jīng)過1 s后，振子第一次回到平衡位置，振子振幅為5 cm（設(shè)平衡位置上方為正方向，時間軸上每格代表0.5 s）. （2）乙在甲觀察3.5 s后，開始觀察并記錄時間，試畫出乙觀察到的彈簧振子的

18、振動圖象.畫在圖1-2-9（b）上. 圖1-2-9 解析：由題意知，振子的振動周期T=2 s，振幅A=5 cm. 根據(jù)正方向的規(guī)定，甲觀察時，振子從平衡位置向-y方向運動，經(jīng)t=0.5 s，達負向最大位移. 因為t=3.5 s=1T，根據(jù)振動的重復性，這時振子的狀態(tài)跟經(jīng)過時間t′=T的狀態(tài)相同，所以乙開始觀察時，振子正好處于正向最大位移處. （1）畫出的甲觀察到的振子振動圖象如圖（a）所示. （2）畫出的乙觀察到的振子的振動圖象如圖（b）所示. 答案：見解析 【例題3】一彈簧振子在振動過程中，振子經(jīng)a、b兩點的速度相同，若它從a到b歷時0.2 s，從b再回到a的最短時間

19、為0.4 s，則振子的振動頻率為（ ） A.1 Hz B.1.25 Hz C.2 Hz D.2.5 Hz 解析：振子經(jīng)a、b兩點的速度相同，根據(jù)振子做周期性運動的特點可知，a、b兩點對平衡位置O（如圖1-2-10所示）是對稱的.又由從b回到a的最短時間為0.4 s知，振子振動到b點后是第一次回到a點，且仍不是振子的最大位移.設(shè)圖中c、d為最大位移處，則振子b→c→b歷時0.2 s，同理振子由a→d→a也應歷時0.2 s，故振子周期應為0.8 s，由周期和頻率關(guān)系不難確定頻率為1.25 Hz，故選B. 圖1-

20、2-10 答案：B 綠色通道 簡諧運動是以平衡位置為中心的對稱運動，在圖中ad段與bc段相對O點是對稱的，物體由a到d(或由d到a)通過ad段所用的時間與物體由b到c(或由c到b)通過bc段所用的時間相等.解決這類問題一定要抓住簡諧運動的對稱特點. 變式訓練 5．一個做簡諧運動的質(zhì)點，先后以同樣的速度通過相距10 cm的A、B兩點，歷時0.5 s，如圖1-2-11所示，過B點后再經(jīng)過t=0.5 s質(zhì)點以大小相等、方向相反的速度再次通過B點，則質(zhì)點振動的周期是（ ） 圖1-2-11 A.0.5 s B.1.0 s

21、 C.2.0 s D.4.0 s 解析：根據(jù)題意，由振動的對稱性可知，AB的中點O為平衡位置，如圖所示，質(zhì)點從平衡位置O向右運動到B的時間應為tOB=×0.5 s=0.25 s,從B到最右端D的時間tBD=×0.5 s=0.25 s，所以質(zhì)點的周期為T=4×(tOB+tBD)=2 s. 答案：C 6．一質(zhì)點在平衡位置O附近做簡諧運動，從它經(jīng)過平衡位置起開始計時，經(jīng)0.13 s質(zhì)點第一次通過M點，再經(jīng)0.1 s第二次通過M點，則質(zhì)點振動周期的可能值為多大？ 解析：如圖所示，設(shè)M為O右側(cè)的任一位置，A、B分別為最大位移處，若t=0時質(zhì)點向右通過M，則tOM

22、=0.13 s,tMB=×0.1 s=0.05 s，則T=4（tOM+tMB）=0.72 s;若t=0時，質(zhì)點向左運動，則tOA+tAM=0.13 s，tMB=×0.1 s=0.05 s，則tOA+tAM+tMB=T,T=0.24 s. 答案：0.72 s,0.24 s 【例題4】一物體沿x軸做簡諧運動，振幅為8 cm，頻率為0.5 Hz，在t=0時，位移是4 cm，且向x軸負方向運動，試寫出用正弦函數(shù)表示的振動方程. 解析：簡諧運動振動方程的一般式為x=Asin(ωt+φ). 根據(jù)題給條件有：A=0.08 m,ω=2πf=π.所以x=0.08sin(πt+φ)m.將t=0時x=0.0

23、4 m代入得0.04=0.08sinφ，解得初相φ=或φ=π.因為t=0時，速度方向沿x軸負方向，即位移在減小，所以取φ=π. 所求的振動方程為x=0.08sin(πt+π)m. 答案：x=0.08sin(πt+π)m 綠色通道 簡諧運動的表達式x=Asin(ωt+φ)中的每個物理量都要清楚，振動的初相φ跟起始時刻振子向正方向還是負方向運動有關(guān)，若題中t=0時物體向x軸正方向運動，則初相φ應取，表達形式應為x=0.08sin(πt+)m，所以對應不同的初相，同一質(zhì)點的振動圖象也不同. 注意：t=0時的位移不一定是最大位移，最大位移的大小應等于振動的振幅. 變式訓練 7．物體A做簡

24、諧運動的位移xA=3sin(100t+)m，物體B做簡諧運動的位移xB=5sin(100t+) m.比較A、B的運動（ ） A.振幅是矢量，A的振幅是6 cm,B的振幅是10 m B.周期是標量，A、B的周期相等為100 s C.A振動的頻率fA等于B振動的頻率fB D.A的相位始終超前B的相位 解析：振幅是標量，A、B的振動范圍分別是6 m、10 m，但振幅分別為3 m、5 m，故A錯.A、B的周期T==s=6.28×10-2 s，故B錯.因Ta=Tb，故fa=fb;故C對.Δφ=φA-φB=，故D對. 答案：CD 體驗探究 【問題1】在描繪簡諧運動的圖象這一實驗中，

25、勻速拖動紙帶和非勻速拖動紙帶有何不同？ 導思：從振動圖象的物理意義結(jié)合運動規(guī)律考慮. 探究：簡諧運動的圖象描述做簡諧運動的物體的位移隨時間的變化規(guī)律，若紙帶做勻速運動，則紙帶的位移與時間滿足s=v·t,v是恒量，則一定位移與一定時間對應，即相同時間內(nèi)位移相等，所以可用紙帶通過的位移表示時間.同樣，若紙帶做非勻變速運動，則s與t不再有以上關(guān)系，所以紙帶上描繪出的圖象不再是正（或余）弦曲線.也可嘗試讓紙帶做自由落體運動，看一下描繪出的圖象是怎樣的. 【問題2】彈簧振子對振動有何影響？ 導思：用實驗探究. 探究：用不同質(zhì)量的彈簧振子做簡諧運動的實驗，觀察振動快慢有何變化，結(jié)果會發(fā)現(xiàn)，質(zhì)量大

26、的振子振動得慢，質(zhì)量小的振子振動得快.再換用不同的彈簧，用相同質(zhì)量的振子做實驗，會發(fā)現(xiàn)振動快慢不一樣，勁度系數(shù)k大的彈簧振動得快，k小的振動得慢. 教材鏈接 【迷你實驗室】（課本第9頁） 毛筆和礦泉水瓶擺動所形成的圖象是簡諧運動的圖象.這是由于擺動的物體沿y軸擺動時做的是簡諧運動，在x軸方向上勻速拉動白紙，這樣就可以記錄每一時刻物體的位置了，因而可以說毛筆和水在白紙上留下的痕跡就是振動圖象. 由于毛筆在白紙上留下痕跡的同時受到了阻力，使毛筆的實際擺動并不是理想的簡諧運動，畫出的圖象有一定的誤差，而礦泉水由于水的流出也會給圖象的繪出帶來誤差，但這種誤差較小，所以礦泉水瓶擺動形成的圖象更接近簡諧運動圖象.