數(shù)學(xué)第七章 不等式 第三節(jié) 二元一次不等式(組)及簡單的線性規(guī)劃問題 文

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1、第三節(jié)二元一次不等式(組)及簡單的線性規(guī)劃問題總綱目錄教材研讀1.二元一次不等式表示的平面區(qū)域考點突破2.線性規(guī)劃的有關(guān)概念考點二目標(biāo)函數(shù)的最值與范圍問題考點二目標(biāo)函數(shù)的最值與范圍問題考點一二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域考點三線性規(guī)劃的實際應(yīng)用考點三線性規(guī)劃的實際應(yīng)用1.二元一次不等式表示的平面區(qū)域二元一次不等式表示的平面區(qū)域一般地,二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域.我們把直線畫成虛線以表示區(qū)域不包括邊界直線.當(dāng)我們在坐標(biāo)系中畫不等式Ax+By+C0所表示的平面區(qū)域時,此區(qū)域應(yīng)包括邊界直線,則把邊界直線畫成實線.對于直線A

2、x+By+C=0同一側(cè)的所有點,把其坐標(biāo)(x,y)代入Ax+By+C,所得教材研讀教材研讀到實數(shù)的符號都相同,所以只需在此直線的某一側(cè)取一個特殊點(x0,y0),由Ax0+By0+C的正負(fù)即可判斷Ax+By+C0(或0,對于A,當(dāng)x=-3,y=4時,-9+8+50,故滿足題意.同理,B、C、D均不滿足題意,故選A.A2.(2016北京,7,5分)已知A(2,5),B(4,1).若點P(x,y)在線段AB上,則2x-y的最大值為()A.-1B.3C.7D.8C答案答案C點P(x,y)在線段AB上且A(2,5),B(4,1),如圖:設(shè)z=2x-y,則y=2x-z,當(dāng)直線y=2x-z經(jīng)過點B(4,1

3、)時,z取得最大值,最大值為24-1=7.3.(2017北京東城二模)在平面直角坐標(biāo)系中,不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為()A.1B.2C.4D.80,2,xxyxyA答案A作出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖中陰影部分.由得A(1,1).故所求面積S=21=1.故選A.,2yxxy124.(2016北京海淀一模)若x,y滿足則z=x+y的最大值為( )A.B.3C.D.420,40,0,xyxyy125272C答案答案C畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示.將目標(biāo)函數(shù)z=x+y變形為y=-x+z.先畫出l0:y=-x.將l0向上平移至經(jīng)過點A時z有最大值,聯(lián)立得A(1,3).故zmax=1+3=

4、.12121220,40,xyxy12725.(2016北京海淀期末)若點(2,-3)不在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi),則實數(shù)a的取值范圍是()A.(-,0)B.(-1,+)C.(0,+)D.(-,-1)0,20,10 xyxyaxy B答案答案B畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示.因為點(2,-3)不在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi),則點(2,-3)在直線ax-y-1=0的下方,故-3-1.0,20,10 xyxyaxy 典例典例1(1)(2017北京西城二模)在平面直角坐標(biāo)系中,不等式組表示的平面區(qū)域的面積是()A.B.C.2D.2(2)(2016北京朝陽二模)已知關(guān)于x,y的不等式組所表示的平面區(qū)

5、域D為三角形,則實數(shù)k的取值范圍是.30,320,0 xyxyy32330,2,2xyxxyxyk考點一二元一次不等式考點一二元一次不等式(組組)表示的平面區(qū)域表示的平面區(qū)域考點突破考點突破答案答案(1)B(2)(-,-20,1)解析解析(1)作出可行域,如圖所示.易知B(-2,0),由得故A(1,).SAOB=2=.30,320 xyxy1,3,xy31233故選B.(2)不等式組所表示的平面區(qū)域為圖中AOB及其內(nèi)部.2x-y=k可化為y=2x-k.當(dāng)k=0時,區(qū)域D為三角形,符合題意.0,2xyxxy當(dāng)k0時,將y=2x向下平移,直到經(jīng)過點B(1,1)時,區(qū)域D由三角形縮為一個點B,將B(

6、1,1)代入y=2x-k得k=1.若要滿足題意,則0k1.當(dāng)k或時,邊界應(yīng)畫為虛線,特殊點常取原點.1-1(2016北京順義一模)在平面直角坐標(biāo)系中,若不等式組(a為常數(shù))表示的區(qū)域面積為3,則a的值為()A.-5B.-2C.2D.510,10,10 xyxaxy D答案答案D不等式組(a為常數(shù))表示的區(qū)域如圖所示.由題意知陰影部分的面積等于3,AC=6.點C的坐標(biāo)為(1,6).代入ax-y+1=0得a-6+1=0,解得a=5.故選D.10,10,10 xyxaxy 1-2(2018北京西城高三期末)已知點M(x,y)的坐標(biāo)滿足條件設(shè)O為原點,則|OM|的最小值是.10,10,10.xxyxy

7、 答案答案22解析解析作出不等式組所表示的平面區(qū)域,如圖,由題意知,原點到直線x+y-1=0的距離就是|OM|的最小值,由點到直線的距離公式,得|OM|min=.122222典例典例2(1)(2016北京西城二模)設(shè)x,y滿足約束條件則z=x+3y的最大值是()A.B.C.-D.1(2)(2015北京豐臺一模)若變量x,y滿足約束條件則z=x+2y的最大值是.2 ,1,10,yxxyy 43731320,20,40,xxyxy考點二目標(biāo)函數(shù)的最值與范圍問題考點二目標(biāo)函數(shù)的最值與范圍問題命題角度一轉(zhuǎn)化為截距命題角度一轉(zhuǎn)化為截距答案答案(1)B(2)6解析解析(1)不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰

8、影部分所示.畫出l0:x+3y=0.將l0向上平移至經(jīng)過點A時z最大.由解得A.zmax=+3=.(2)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出題中的不等式組表示的平面區(qū)域(圖略),易知當(dāng)z=x+2y經(jīng)過平面區(qū)域內(nèi)的點(2,2)時,z取得最大值,即zmax=2+22=6.1,2 ,xyyx1,32,3xy1 2,3 3132373典例典例3(2017北京海淀一模)若x,y滿足則的最大值是.240,20,1,xyxyxyx命題角度二轉(zhuǎn)化為斜率命題角度二轉(zhuǎn)化為斜率答案答案3232解析解析作出可行域,如圖中陰影部分所示.表示可行域內(nèi)的點(x,y)與點(0,0)的連線的斜率,易得直線AO斜率最大,由解得A.=.yx1,

9、240,xxy31,2maxyx32典例典例4(2017北京西城一模)實數(shù)x,y滿足則x2+y2的最大值是,最小值是.1,2,220,xyxy命題角度三轉(zhuǎn)化為距離命題角度三轉(zhuǎn)化為距離答案答案5;45解析解析作出可行域,如圖中陰影部分所示.x2+y2的幾何意義是可行域內(nèi)的點(x,y)到原點距離的平方.連接OC.易得線段CO最長,C(1,2),CO=,(x2+y2)max=5.過點O作直線2x+y-2=0的垂線,垂足為D,易得線段OD最短,由SOAB=12=ODOD=.(x2+y2)min=.5121252 5522 5545典例典例5(2016北京西城期末)設(shè)x,y滿足約束條件若z=x+3y的最

10、大值與最小值的差為7,則實數(shù)m=()A.B.-C.D.-1,3,yxxyym32321414命題角度四含參問題命題角度四含參問題答案答案CC解析解析由約束條件作出可行域如圖中陰影部分所示,聯(lián)立解得A(1,2),聯(lián)立解得B(m-1,m),化z=x+3y,得y=-+.由圖可知,當(dāng)直線y=-+過點A時,z有最大值,為7,當(dāng)直線y=-+過點B時,z有最小值,為4m-1,由題意得7-(4m-1)=7,解得m=.1,3,yxxyym1,3,yxxy,1,ymyx3x3z3x3z3x3z14故選C. 1.線性規(guī)劃問題的解題步驟(1)作圖畫出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標(biāo)函數(shù)所表示的平行直線系中過原點的那一條

11、直線;(2)平移將直線平行移動,以確定最優(yōu)解的對應(yīng)點的位置;(3)求值解方程組求出對應(yīng)點坐標(biāo)(即最優(yōu)解),代入目標(biāo)函數(shù),即可求出最值.方法技巧方法技巧2.常見代數(shù)式的幾何意義(1)表示點(x,y)與原點(0,0)的距離;(2)表示點(x,y)與點(a,b)之間的距離;(3)表示點(x,y)與原點(0,0)連線的斜率;(4)表示點(x,y)與點(a,b)連線的斜率.22xy22()()xaybyxybxa2-1(2015北京西城二模)已知x,y滿足若z=x+my的最大值為,則實數(shù)m=.,2 ,1,yxyxxy53答案答案22解析解析在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出不等式組表示的平面區(qū)域,可知該區(qū)域是以點(

12、0,0),為頂點的三角形區(qū)域(包含邊界),顯然m0,1,當(dāng)-1,即0m1,不符合題意;當(dāng)-1-1時,目標(biāo)函數(shù)z=x+my在點處取得最大值,則有=+m,解得m=2,符合題意;當(dāng)-1,即-1m0,不符合題意;當(dāng)0-1,即m-1時,目標(biāo)函數(shù)z=x+my在點(0,0)處取得最大值,且zmax=0,不符合題意.綜上所述,實數(shù)m的值為2.1 1,2 21 2,3 31m1 1,2 2531212731m1 2,3 35313231m1 1,2 2531212731m典例典例6(2016北京西城一模)在某校冬季長跑活動中,學(xué)校要給獲得一、二等獎的學(xué)生購買獎品,要求花費總額不得超過200元.已知一等獎和二等獎

13、獎品的單價分別為20元、10元,一等獎人數(shù)與二等獎人數(shù)的比值不得高于,且獲得一等獎的人數(shù)不能少于2人,那么下列說法中錯誤的是()A.最多可以購買4份一等獎獎品B.最多可以購買16份二等獎獎品C.購買獎品至少要花費100元D.共有20種不同的購買獎品方案13考點三線性規(guī)劃的實際應(yīng)用考點三線性規(guī)劃的實際應(yīng)用D答案答案D解析設(shè)一等獎人數(shù)為x,二等獎人數(shù)為y,由題意有即如圖,陰影部分中的整數(shù)點即為可行解.2010200,x1,y32,N,N,xyxxy220,x1,y32,N,N,xyxxy易得A(4,12),B(2,6),C(2,16),由平面區(qū)域知2x4,6y16.故最多可以購買4份一等獎獎品,最

14、多可以購買16份二等獎獎品.設(shè)目標(biāo)函數(shù)為z=20 x+10y,經(jīng)過點B(2,6)時z有最小值,zmin=202+610=100,故購買獎品至少花費100元.綜上A,B,C正確.而該平面區(qū)域內(nèi)有整數(shù)點18個:(2,6),(2,7),(2,8),(2,9),(2,10),(2,11),(2,12),(2,13),(2,14),(2,15),(2,16),(3,9),(3,10),(3,11),(3,12),(3,13),(3,14),(4,12),故共有18種不同的購買獎品方案.D錯誤.方法技巧方法技巧解線性規(guī)劃應(yīng)用問題的一般步驟(1)分析題意,設(shè)出未知量;(2)列出線性約束條件和目標(biāo)函數(shù);(3)

15、作出可行域并利用數(shù)形結(jié)合求解;(4)作答.3-1(2015北京西城一模)某賽事組委會要為獲獎?wù)哂嗁從彻に嚻纷鳛楠勂?其中一等獎獎品3件,二等獎獎品6件,制作一等獎和二等獎獎品所用原料完全相同,但工藝不同,故價格有所差異,現(xiàn)有甲、乙兩個工廠可以制作獎品(一等獎、二等獎獎品均符合要求),甲廠收費便宜,但原料有限,最多只能制作4件獎品,乙廠原料充足,但收費較貴,甲、乙兩廠的具體收費情況如下表:獎品工廠收費(元/件)一等獎二等獎甲500400乙800600則組委會定購該工藝品的費用總和最低為元.4900解析解析設(shè)向甲廠訂購一等獎獎品x件,二等獎獎品y件,其中x,yN,則向乙廠訂購一等獎獎品(3-x)件,二等獎獎品(6-y)件,則x,y滿足設(shè)費用總和為z元,則z=500 x+400y+800(3-x)+600(6-y),即z=-300 x-200y+6000,作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示.由圖可知直線z=-300 x-200y+6000過點A時,z取最小值.由得即A(3,1),4,30,60,N,xyxyx y3,4xxy3,1,xy答案答案4900所以zmin=-3003-2001+6000=4900,所以組委會訂購該工藝品的費用總和最低為4900元.