【福建省質(zhì)檢】福建省高三普通高中畢業(yè)班4月質(zhì)檢數(shù)學(xué)理試題 Word版含答案

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1、2014年福建省普通高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查 理 科 數(shù) 學(xué) 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1．下列函數(shù)中，值域?yàn)榈暮瘮?shù)是 A． B． C． D． 2．執(zhí)行右圖所示的程序框圖．若輸入的的值為3，則輸出的的值為 A． B． C． D． 3．“”是“關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根”的 A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 4．向圓內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，此點(diǎn)落在該圓的內(nèi)接正邊形內(nèi)的概率為，下列論斷正確的是 A．隨著的增大，增大

2、 B．隨著的增大，減小 C．隨著的增大，先增大后減小 D．隨著的增大，先減小后增大 5．已知滿足則的取值范圍是 A． B． C． D． 6．如圖，AB是⊙O的直徑，VA垂直⊙O所在的平面，點(diǎn)C是圓周上不同于A，B的任意一點(diǎn)，M，N分別為VA，VC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是 A．MN//AB B．MN與BC所成的角為45° C．OC⊥平面VAC D．平面VAC⊥平面VBC 7．若直線過(guò)曲線的對(duì)稱中心，則的最小值為 A． B． C． D．6 的

3、離心率為，一條漸近線為，拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為直線與拋物線異于原點(diǎn)的交點(diǎn)，則 A． B． C． D． 9．若曲線與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 A． B． C． D． 10.在平面直角坐標(biāo)系中，是一個(gè)平面點(diǎn)集，如果存在非零平面向量，對(duì)于任意，均有，使得，則稱為平面點(diǎn)集的一個(gè)向量周期．現(xiàn)有以下四個(gè)命題： ①若平面點(diǎn)集存在向量周期，則也是的向量周期； ②若平面點(diǎn)集形成的平面圖形的面積是一個(gè)非零常數(shù)，則不存在向量周期； ③若平面點(diǎn)集，則為的一個(gè)向量周期； ④若平面點(diǎn)集，則為的一個(gè)向量周期． 其中正確的命題個(gè)數(shù)是 A．1

4、 B．2 C．3 D．4 第Ⅱ卷（非選擇題 共100分） 二、填空題:本大題共5小題，每小題4分，共20分．把答案填在答題卡相應(yīng)位置． 11．復(fù)數(shù)等于 ． 12．的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)等于 ． 13．已知△的角，，所對(duì)的邊分別為，，，，，，則__________. 14．對(duì)于數(shù)列，如果存在各項(xiàng)均為正整數(shù)的等差數(shù)列和各項(xiàng)均為正整數(shù)的等比數(shù)列，使得，則稱數(shù)列為“DQ數(shù)列”．已知數(shù)列是“DQ數(shù)列”，其前5項(xiàng)分別是：3,6,11,20,37，則 ． 15．設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且．現(xiàn)給出以下四個(gè)命題： ①若是奇

5、函數(shù)，則必是偶函數(shù)； ②若是偶函數(shù)，則必是奇函數(shù)； ③若是周期函數(shù)，則必是周期函數(shù)；④若是單調(diào)函數(shù)，則必是單調(diào)函數(shù)． 其中正確的命題是 ．（寫出所有正確命題的序號(hào)） 三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟. 16. (本小題滿分13分) 已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（，0）. （I）求實(shí)數(shù)的值以及函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間； （II）設(shè)的圖象與軸、軸及直線（）所圍成的曲邊四邊形面積為，求關(guān)于的函數(shù)的解析式. 17. (本小題滿分13分) 某地區(qū)共有100萬(wàn)人，現(xiàn)從中隨機(jī)抽查800人，發(fā)現(xiàn)有700人不吸煙，100人吸煙．這100位吸煙者年均

6、煙草消費(fèi)支出情況的頻率分布直方圖如圖．將頻率視為概率，回答下列問(wèn)題： （Ⅰ）在該地區(qū)隨機(jī)抽取3個(gè)人，求其中至少1人吸煙的概率； （Ⅱ）據(jù)統(tǒng)計(jì)，煙草消費(fèi)稅大約為煙草消費(fèi)支出的40%，該地區(qū)為居民支付因吸煙導(dǎo)致的疾病治療等各種費(fèi)用年均約為18800萬(wàn)元．問(wèn)：當(dāng)?shù)責(zé)煵菹M(fèi)稅是否足以支付當(dāng)?shù)鼐用褚蛭鼰煂?dǎo)致的疾病治療等各種費(fèi)用？說(shuō)明理由． 18．(本小題滿分13分) 如圖，三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為4正三角形，AA1⊥平面ABC，AA1=，為的中點(diǎn)． （I）求證：MC⊥AB； （II）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在， 確定點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由． （Ⅲ）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求二面角的余弦值

7、． 19. (本小題滿分13分) 如圖，設(shè)是圓上的點(diǎn)，過(guò)作直線垂直軸于點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)的軌跡為曲線． （Ⅰ）求曲線的方程； （Ⅱ）某同學(xué)研究發(fā)現(xiàn)：若把三角板的直角頂點(diǎn)放置在圓的圓周上，使其一條直角邊過(guò)點(diǎn)，則三角板的另一條直角邊所在直線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．你認(rèn)為該同學(xué)的結(jié)論是否正確？若正確，請(qǐng)證明；若不正確，說(shuō)明理由． （Ⅲ）設(shè)直線是圓所在平面內(nèi)的一條直線，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，連接，請(qǐng)根據(jù)“線段的長(zhǎng)度”討論“直線與曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)”．（直接寫出結(jié)論，不必證明） 20．(本小題滿分14分) 已知函數(shù),. (Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間； (Ⅱ)若的最

8、小值為0，回答下列問(wèn)題： （ⅰ）求實(shí)數(shù)的值； （ⅱ）已知數(shù)列滿足,，記[]表示不大于的最大整數(shù)，求，求. 21．本題有（1）、（2）、（3）三個(gè)選答題，每題7分，請(qǐng)考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題記分．作答時(shí)，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑，并將所選題號(hào)填入括號(hào)中． （1）（本小題滿分7分）選修4－2：矩陣與變換 已知，若矩陣所對(duì)應(yīng)的變換把直線變換為自身. （Ⅰ）求實(shí)數(shù)； （Ⅱ）若向量，，試判斷和是否為M的特征向量，并證明之. （2）（本小題滿分7分) 選修4—4：極坐標(biāo)與參數(shù)方程 已知在平面直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角為；在極坐

9、標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸）中，圓的方程為． （Ⅰ）寫出直線的參數(shù)方程和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）設(shè)直線與圓相交于兩點(diǎn)，求弦的長(zhǎng)． （3）（本小題滿分7分)選修4—5：不等式選講 若，且滿足. （Ⅰ）求的最大值； （Ⅱ）證明：. 2014年福建省普通高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查 理科數(shù)學(xué)試題參考解答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 一、選擇題：本大題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算．每小題5分，滿分50分． 1．A； 2．B； 3．A； 4．A；5．A；6．D；7．C；8．D；9．C；10．A． 二、填空題：本大題考查基礎(chǔ)知識(shí)

10、和基本運(yùn)算．每小題4分，滿分20分． 11．1+； 12．20； 13．8； 14．； 15．①． 三、解答題：本大題共6小題，共80分,解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟． 16．本小題主要考查二倍角公式、兩角和與差的三角函數(shù)公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)及定積分等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想．滿分13分． 解法一：（I） ． ……………………3分 因?yàn)榈膱D象過(guò)點(diǎn)（，0），所以，解得. ………5分 所以，由，得，. 故的單調(diào)遞增區(qū)間是，.

11、 ……………7分 （Ⅱ）由（I）得，. 所以 ……………9分 ． ……………12分 所以（）. ……………13分 解法二： (Ⅰ)因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（，0），所以. 又 . ………………3分 所以，解得. ………………5分 以下同解法一. （II）由（I）得. 所以 ……………9分 . ………………12分 所

12、以（）. ………………13分 17．本題主要考查頻率分布直方圖、樣本平均數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力以及應(yīng)用用意識(shí)，考查必然與或然思想等．滿分13分． 解：（Ⅰ）依題意可知，該地區(qū)吸煙者人數(shù)占總?cè)藬?shù)的． ……………..2分 所以抽取的3個(gè)人中至少1人吸煙的概率為 ……………..5分 ． ……………..6分ks5u （Ⅱ）由頻率分布直方圖可知，吸煙者煙草消費(fèi)支出的平均數(shù)為 （萬(wàn)元）．

13、 ……………..8分 又該地區(qū)吸煙者人數(shù)為萬(wàn)， ……………..10分 所以該地區(qū)年均煙草消費(fèi)稅為（萬(wàn)元）．……………..12分 又由于該地區(qū)因吸煙導(dǎo)致的疾病治療等各種費(fèi)用約為18800萬(wàn)元，它超過(guò)了當(dāng)?shù)責(zé)煵菹M(fèi)稅， 所以當(dāng)?shù)氐臒煵菹M(fèi)稅不足以支付當(dāng)?shù)鼐用褚蛭鼰煂?dǎo)致的疾病治療等各種費(fèi)用．……………..13分 18.本小題主要考查空間直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系、簡(jiǎn)單幾何體的體積、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想．滿分13

14、分． 解：（I）取AB中點(diǎn)O，連接OM，OC. ks5u ∵M(jìn)為A1B1中點(diǎn)，∴MO∥A1A，又A1A⊥平面ABC，∴MO⊥平面ABC，∴MO⊥AB…………….2分 ∵△ABC為正三角形，∴AB⊥CO 又MO∩CO=O，∴AB⊥平面OMC 又∵M(jìn)C平面OMC ∴AB⊥MC……………5分 （II）以O(shè)為原點(diǎn)，以，，的方向分別為軸，軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．如圖.依題意 ． …………….6分 設(shè)， 則．………….7分 要使直線平面，只要 即，解得． …………….8分 ∴的坐標(biāo)為． ∴當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，平面．…………….10

15、分 （Ⅲ）取線段的中點(diǎn)，則，易知平面， 故為平面的一個(gè)法向量．……….11分 又由（II）知為平面的一個(gè)法向量． …………….12分 設(shè)二面角的平面角為，則 ． ∴二面角 的余弦值為． …………….13分 19．本小題主要考查圓的方程與性質(zhì)、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、特殊與一般思想等．滿分13分． 解：（Ⅰ）設(shè)，， 因?yàn)榇怪陛S于點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，且， 所以，，…………….2分 因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以 即，整理得．

16、 故曲線的方程為．…………….4分 （Ⅱ）設(shè)三角板的直角頂點(diǎn)放置在圓的圓周上的點(diǎn)處，則， 又設(shè)三角板的另一條直角邊所在直線為． （?。┊?dāng)時(shí)，直線軸，， 顯然與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)． ……………5分 （ⅱ）當(dāng)時(shí)，則. 若時(shí)，則直線：，顯然與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；………6分 若時(shí)，則直線的斜率， 所以，即 ，……………7分 由得， 即． （*） 又， ……………8分 所以方程（*）可化為， 所以， ……………9分 所以直線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)． 綜上述，該同學(xué)的結(jié)論正確。

17、 ……………10分 （Ⅲ）當(dāng)時(shí)，直線與橢圓沒(méi)有公共點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)． ………….13分 20．本小題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新意識(shí)等，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、有限與無(wú)限思想等．滿分14分． 解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)?，且．…………?分 當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；…………………2分 當(dāng)時(shí)，由，解得；由，解得． 所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．……………………3分

18、 綜上述：時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是； 時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是．…………………4分 （Ⅱ）（?。┯桑á瘢┲?，當(dāng)時(shí)，無(wú)最小值，不合題意；……………………………5分 當(dāng)時(shí)，…………………………………6分 令，則， 由，解得；由，解得． 所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為． 故，即當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，=0. 因此，．………………………………………8分 （ⅱ）因?yàn)椋? 由得于是．因?yàn)?，所? 猜想當(dāng)，時(shí)，．……………………………………10分 下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明． ①當(dāng)時(shí)，，故成立．………………………………11分 ②假設(shè)當(dāng)n=k(，)時(shí)，不

19、等式成立. ks5u 則當(dāng)n=k+1時(shí)，， 由（Ⅰ）知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增， 所以，又因?yàn)椋? ． 故成立，即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立． 根據(jù)①②可知，當(dāng)，時(shí)，不等式成立．…………………………13分 因此，=…………………………………14分 21．（1）（本小題滿分7分）選修4-2：矩陣與變換 本小題主要考查矩陣的特征值與特征向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．滿分7分． （Ⅰ）解法一：解：在直線上任取兩點(diǎn)（1，0）和（0，1）， 由和，　………….2分 知點(diǎn)和點(diǎn)均在直線上， 所以 解得 所以矩陣 ．　 經(jīng)檢驗(yàn)，所求矩陣M符合要求．………….4分

20、 （Ⅱ）因?yàn)?，? 所以不是M的特征向量，是M的特征向量．　　　………….7分 解法二：（Ⅰ）設(shè)為直線上任意一點(diǎn)，其在M的作用下變?yōu)镼． 則 ………….2分 依題意，點(diǎn)Q在直線上，所以， 即．依題意，直線與直線重合， 所以解得故矩陣．　　　　　………….4分 （Ⅱ）同解法一　　　………….7分 （2）（本小題滿分7分）選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 本小題主要考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想．滿分 7分． 解：（Ⅰ）依題意知，直線的參數(shù)方程為．　　　　　………….2分 由，得， 所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．　　　　　………….4分 （Ⅱ）設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，將代入，得，即，所以，，所以， 由參數(shù)的幾何意義知．　　　　………….7分 （3）(本小題滿分7分)選修4－5：不等式選講 本小題主要考查平均值不等式、柯西不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力, 考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．滿分7分． 解：（Ⅰ）因?yàn)?，所以，?．………….3分 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為.　　　　　　　………….4分 （Ⅱ）證明：因?yàn)?，且，所以根?jù)柯西不等式， 可得=（） ………….5分 = =． 所以. 　　………….7分 ks5u