數(shù)學(xué)總第六章 圓 第一節(jié) 圓的有關(guān)概念及性質(zhì)

第六章圓第一節(jié)圓的有關(guān)概念及性質(zhì)知識點一知識點一 圓的有關(guān)概念圓的有關(guān)概念 1 1圓：平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圓：平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓其中，定點稱為圖形叫做圓其中，定點稱為 _ _ ，定長稱為，定長稱為 _ _ 圓心圓心半徑半徑2 2與圓有關(guān)的概念與圓有關(guān)的概念(1)(1)?。簣A上任意弧：圓上任意 _的部分叫做圓弧，簡稱弧的部分叫做圓弧，簡稱弧(2)(2)弦：連接圓上任意兩點的弦：連接圓上任意兩點的 _叫做弦叫做弦(3)(3)直徑：經(jīng)過直徑：經(jīng)過 _ _ 的弦叫做直徑的弦叫做直徑(4)(4)等圓：能夠重合的兩個圓叫做等圓在同圓或等圓等圓：能夠重合的兩個圓叫做等圓在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧中，能夠互相重合的弧叫做等弧兩點間兩點間線段線段圓心圓心等弧只存在同圓或等圓中，大小不等的圓中不存在等弧等弧只存在同圓或等圓中，大小不等的圓中不存在等弧(5)(5)圓心角：頂點在圓心角：頂點在 _ _ 的角叫做圓心角的角叫做圓心角(6)(6)圓周角：頂點在圓周角：頂點在 _，兩邊分別與圓還有另一個，兩邊分別與圓還有另一個交點像這樣的角，叫做圓周角交點像這樣的角，叫做圓周角圓心圓心圓上圓上知識點二知識點二 圓的有關(guān)性質(zhì)圓的有關(guān)性質(zhì) 1 1圓的對稱性圓的對稱性(1)(1)圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條 _的直線，有的直線，有 _ _ 條對稱軸條對稱軸(2)(2)圓是中心對稱圖形，對稱中心為圓是中心對稱圖形，對稱中心為 _ _ 過圓心過圓心無數(shù)無數(shù)圓心圓心根據(jù)圓的對稱性可知，圓具有旋轉(zhuǎn)不變性，即圓圍繞它根據(jù)圓的對稱性可知，圓具有旋轉(zhuǎn)不變性，即圓圍繞它的圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得的圓與原圖重合的圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得的圓與原圖重合2 2圓心角、弧、弦之間的關(guān)系圓心角、弧、弦之間的關(guān)系(1)(1)在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧 _ _ ，所對的弦也所對的弦也 _ _ (2)(2)在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角的圓心角 _ _ ，所對的弦，所對的弦 _ _ 相等相等相等相等相等相等相等相等(3)(3)在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角的圓心角 _ _ ，所對的優(yōu)弧和劣弧分別，所對的優(yōu)弧和劣弧分別 _ _ 相等相等相等相等3 3垂徑定理及其推論垂徑定理及其推論(1)(1)垂徑定理：垂直于弦的直徑垂徑定理：垂直于弦的直徑 _ _ 弦，并且弦，并且 _ _ 弦所對的弧弦所對的弧(2)(2)推論：推論：平分弦平分弦( (不是直徑不是直徑) )的直徑的直徑 _ _ 于弦，于弦，并且并且 _弦所對的??；弦所對的??；弦的垂直平分線經(jīng)過弦的垂直平分線經(jīng)過 _ _ ，并且平分弦所對的兩，并且平分弦所對的兩條?。粭l?。黄椒窒宜鶎Φ囊粭l弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦，并且 _ _ 另一條弧另一條弧平分平分平分平分垂直垂直平分平分圓心圓心平分平分垂徑定理及其推論實質(zhì)上是指滿足下列結(jié)論的一條直線：垂徑定理及其推論實質(zhì)上是指滿足下列結(jié)論的一條直線：過圓心；過圓心；垂直于弦；垂直于弦；平分弦；平分弦；平分弦所對的優(yōu)平分弦所對的優(yōu)?。换。黄椒窒宜鶎Φ牧踊∪绻阎鍌€結(jié)論中的兩個平分弦所對的劣弧如果已知五個結(jié)論中的兩個結(jié)論，那么可以推出另外三個結(jié)論結(jié)論，那么可以推出另外三個結(jié)論4 4圓周角定理及其推論圓周角定理及其推論(1)(1)定理：圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度定理：圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的數(shù)的 _ _ (2)(2)推論：推論：同弧或等弧所對的圓周角同弧或等弧所對的圓周角 _ _ ；半圓半圓( (或直徑或直徑) )所對的圓周角是所對的圓周角是 _；9090的圓周的圓周角所對的弦是角所對的弦是 _ _ 一半一半相等相等直角直角直徑直徑5 5圓內(nèi)接多邊形圓內(nèi)接多邊形(1)(1)圓內(nèi)接多邊形：如果一個多邊形的所有頂點都在同圓內(nèi)接多邊形：如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個圓叫做一個圓上，這個多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓這個多邊形的外接圓(2)(2)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角 _ _ 互補(bǔ)互補(bǔ)知識點三知識點三 確定圓的條件確定圓的條件1 1不在同一條直線上的三個點確定一個圓不在同一條直線上的三個點確定一個圓2 2三角形的三個頂點確定一個圓，這個圓叫做三角形三角形的三個頂點確定一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓外接圓的圓心是三角形三邊的外接圓外接圓的圓心是三角形三邊 _ _ 的的交點，叫做三角形的外心交點，叫做三角形的外心 垂直平分線垂直平分線考點一考點一 弧、弦、圓心角的關(guān)系弧、弦、圓心角的關(guān)系 (5(5年年0 0考考) ) (2017 (2017宜昌宜昌) )如圖，四邊形如圖，四邊形ABCDABCD內(nèi)接于內(nèi)接于OO，ACAC平分平分BADBAD，則下列結(jié)論正確的是，則下列結(jié)論正確的是( )( ) 【分析】【分析】 根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系對各選項進(jìn)行根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系對各選項進(jìn)行逐一判斷即可逐一判斷即可圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個圓圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等，簡稱為應(yīng)的其余各組量都分別相等，簡稱為“知一推二知一推二”但但是在進(jìn)行弧、弦、圓心角之間的相互轉(zhuǎn)化時一定要注意，是在進(jìn)行弧、弦、圓心角之間的相互轉(zhuǎn)化時一定要注意，前提條件是前提條件是“在同圓或等圓中在同圓或等圓中”考點二考點二 垂徑定理垂徑定理 (5(5年年2 2考考) )【分析】【分析】 作作OHOHCDCD于于H H，連接，連接O OC C，根據(jù)垂徑定理得到，根據(jù)垂徑定理得到H HC CH HD D，再利用，再利用A AP P2 2，B BP P6 6求出求出OPOP. .在在RtRtOPHOPH中根據(jù)中根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出直角三角形的性質(zhì)求出OHOH，然后在，然后在RtRtOHOHC C中利用勾股定中利用勾股定理求出理求出C CH H，繼而求出，繼而求出CD.CD.利用垂徑定理解題時應(yīng)注意：利用垂徑定理解題時應(yīng)注意：(1)(1)過圓心作弦的垂線，連過圓心作弦的垂線，連接圓心和弦的一端接圓心和弦的一端( (即半徑即半徑) )和弦的一半構(gòu)建在一個直角三和弦的一半構(gòu)建在一個直角三角形中，這三個量角形中，這三個量“知二得一知二得一”，故往往作輔助線時看這，故往往作輔助線時看這三條線缺哪條作哪條，然后運(yùn)用勾股定理求解；三條線缺哪條作哪條，然后運(yùn)用勾股定理求解；(2)(2)在直在直接運(yùn)用垂徑定理求線段的長度時，在構(gòu)建出直角三角形后接運(yùn)用垂徑定理求線段的長度時，在構(gòu)建出直角三角形后常常設(shè)未知數(shù)，用方程思想求解常常設(shè)未知數(shù)，用方程思想求解3 3(2017(2017廣州廣州) )如圖，在如圖，在OO中，中，ABAB是直徑，是直徑，CDCD是弦，是弦，ABCDABCD，垂足為，垂足為E E，連接，連接COCO，ADAD，BADBAD2020，則下列，則下列說法中正確的是說法中正確的是( )( )A AADAD2 2O OB BB BC CE EEOEO C CO OC CE E4040 D DB BO OC C2BAD2BADD D考點三考點三 圓周角定理圓周角定理 (5(5年年1 1考考) ) 如圖，如圖， ABCDABCD的頂點的頂點A A，B B，D D在在OO上，頂點上，頂點C C在在O O的直徑的直徑BEBE上，連接上，連接AEAE，EE3636，則，則ADCADC的度數(shù)是的度數(shù)是( () )A A4444 B B5454 C C7272 D D5353 【分析】【分析】 首先根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到首先根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到BAEBAE，然后利用四邊形然后利用四邊形ABCDABCD是平行四邊形，是平行四邊形，EE3636，得到，得到BADBAD，進(jìn)而求得，進(jìn)而求得ADC.ADC.【自主解答】【自主解答】 BEBE是直徑，是直徑，BAEBAE9090. .四邊形四邊形ABCDABCD是平行四邊形，是平行四邊形，BEABEADAEDAE3636，BADBAD126126，ADCADC5454. .故選故選B.B.講：與圓周角有關(guān)的多解問題講：與圓周角有關(guān)的多解問題在求解與圓周角有關(guān)的問題時，注意其中的多解問題，在求解與圓周角有關(guān)的問題時，注意其中的多解問題，常常會因為漏解而導(dǎo)致錯誤常常會因為漏解而導(dǎo)致錯誤練：鏈接變式訓(xùn)練練：鏈接變式訓(xùn)練6 65 5(2017(2017石家莊二模石家莊二模) )如圖，點如圖，點A A是量角器直徑的一個是量角器直徑的一個端點，點端點，點B B在半圓周上，點在半圓周上，點P P在上，點在上，點Q Q在在ABAB上，且上，且PBPBPQ.PQ.若點若點P P對應(yīng)對應(yīng)140140(40(40) )，則，則PQBPQB的度數(shù)為的度數(shù)為( )( )A A6565 B B7070 C C7575 D D8080B B6 6如圖，如圖，OO的半徑為的半徑為1 1，ABAB是是OO的一條弦，且的一條弦，且ABAB1 1，則弦則弦ABAB所對的圓周角的度數(shù)為所對的圓周角的度數(shù)為 _3030或或150150考點四考點四 圓內(nèi)接四邊形圓內(nèi)接四邊形 (5(5年年0 0考考) ) (2017 (2017廣東廣東) )如圖，四邊形如圖，四邊形ABCDABCD內(nèi)接于內(nèi)接于OO，DADADCDC，CBECBE5050，則，則DACDAC的大小為的大小為( )( )A A130130 B B100100 C C6565 D D5050【分析】【分析】 先根據(jù)補(bǔ)角的性質(zhì)求出先根據(jù)補(bǔ)角的性質(zhì)求出ABCABC的度數(shù)，再由圓的度數(shù)，再由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出ADCADC的度數(shù)，由等腰三角形的性的度數(shù)，由等腰三角形的性質(zhì)求得質(zhì)求得DACDAC的度數(shù)的度數(shù)求解圓內(nèi)接四邊形的角度問題，常將圓外的角轉(zhuǎn)移到圓求解圓內(nèi)接四邊形的角度問題，常將圓外的角轉(zhuǎn)移到圓內(nèi)去，再利用圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)的性質(zhì)求解內(nèi)去，再利用圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)的性質(zhì)求解8 8(2017(2017牡丹江牡丹江) )如圖，四邊形如圖，四邊形ABCDABCD內(nèi)接于內(nèi)接于OO，ABAB經(jīng)經(jīng)過圓心，過圓心，BB3BAC3BAC，則，則ADCADC等于等于( )( )A A100100 B B112.5112.5C C120120 D D135135B B