北師大新版八年級上冊《第1章勾股定理》單元測試卷2含答案解析

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1、北師大新版八年級上冊《第 1章 勾股定理》單元測試卷 一、填空：（每空4分，共計28分） 1.已知一個Rt邢J兩邊長分別為3和4,則第三邊長的平方為 2.求如圖中直角三角形中未知的長度： b= ，c= 3 .如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的 邊長為7cm,則正方形 A, B, C, D的面積之和為 cm2. 4 .小明把一根 70cm長的木棒放到一個長、寬、高分別為40cm、30cm、50cm的木箱中, 他能放進去嗎？答： （填能"、或不能”） 5 .已知直角三角形兩直角邊的長分別為3cm, 4cm,第三

2、邊上的高為 . 6 .如圖，四邊形 ABCD 中，CD^AB , AD ^DC , DC=5 , CB=15 , AB=17 ,則四邊形 ABCD 的面積為. 7.如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為 個臺階上兩個相對的端點，點 A處有一只螞蟻，想到點 20dm、3dm、2dm. A 和 B 是這 B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著 臺階面爬行到點 B的最短路程為 dm. 二、選擇題（每題 4分，共28分） 8 . RtMBC兩直角邊的長分別為 6cm和8cm,則連接這兩條直角邊中點的線段長為（ A. 10cmB. 3cm C. 4cm D. 5cm 9

3、 .觀察下列幾組數(shù)據(jù)：(1) 8,15,17; (2) 7,12,15;(3)12,15, 20;(4)7, 24, 25. 中能作為直角三角形三邊長的有 ()組. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10.如圖，正方形 ABCD的邊長為 1 ,則正方形 ACEF的面積為（ A. 2 B, 3 C, 4 D, 5 11 .如果梯子的底端離建筑物5米，13米長的梯子可以達到建筑物的高度是（） A. 12 米 B. 13 米 C. 14 米 D. 15 米 12.滿足下列條件的 ABC中，不是直角三角形的是（） A. a： b: c=3: 4: 5 B. ZA:2：工=1 :

4、 2: 3 C. a2: b2: c2=1 ： 2： 3 D, a2: b2: c2=3： 4： 5 13 .若等腰三角形中相等的兩邊長為10cm,第三邊長為16cm,那么第三邊上的高為（ A . 12 cm B . 10 cm C. 8 cm D. 6 cm 14 .如圖，正方形網(wǎng)格中的 必BC,若小方格邊長為1,則"BC的形狀為（） 三、解答題：（每題11分，共計44分） A.直角三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.以上答案都不對 15 .一棵樹在離地面9米處斷裂，樹的頂部落在離樹根底部 12米處，求樹折斷之前的高度? （自己畫圖并解答） 16 .小東與哥哥同

5、時從家中出發(fā)，小東以6km/時的速度向正北方向的學校走去，哥哥則以 8km/時的速度向正東方向走去，半小時后，小東距哥哥多遠？ 17 .如圖所示，四邊形 ABCD 中，AB=3cm , AD=4cm , BC=13cm , CD=12cm , "=90 °; (1)求BD的長； (2)求四邊形ABCD的面積. 18 .如圖，有一個直角三角形紙片，兩直角邊AB=6cm , BC=8cm ,現(xiàn)將直角邊 BC沿直線 BD折疊，使點C落在點E處，求三角形BDF的面積是多少？ 四、附加題 19 .如圖所示的一塊地，AD=12m , CD=9m ,必DC=90 °, AB=

6、39m , BC=36m ,求這塊地的 D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB、AC 20.如圖，必BC是直角三角形， 出AC=90 邊上的點，且DE組F. (1)如圖 1,試說明 BE2+CF2=EF2; (2)如圖 2,若 AB=AC , BE=12 , CF=5 ,求綃EF 的面積. 北師大新版八年級上冊《第 1旗 勾股定理》單元測試卷 一、填空：（每空4分，共計28分） 1 .已知一個Rt邢J兩邊長分別為3和4,則第三邊長的平方為 7或25. 【考點】勾股定理. 【分析】已知的這兩條邊可以為直角邊，也可以是一條直角邊一條斜邊，從而分兩種情況進 行討論解答. 【解

7、答】 解：分兩種情況： 當3、4都為直角邊時，第三邊長的平方 =32+42=25; 當3為直角邊，4為斜邊時，第三邊長的平方 =42 - 32=7. 故答案為：7或25. 【點評】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和 一定等于斜邊長的平方是解答此題的關鍵. 【考點】勾股定理. 【分析】根據(jù)勾股定理進行計算即可. 【解答】解：b=Jl好一 52=12； c=j6%2=10, 故答案為：12; 10. 【點評】本題考查的是勾股定理的應用，在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之 和一定等于斜邊長的平方. 3 .如圖，所有的四

8、邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的 邊長為7cm,則正方形 A, B, C, D的面積之和為49cm2. 【考點】勾股定理. 【分析】根據(jù)正方形的面積公式，連續(xù)運用勾股定理，發(fā)現(xiàn)：四個小正方形的面積和等于最 大正方形的面積. 【解答】 解：由圖形可知四個小正方形的面積和等于最大正方形的面積， 故正方形A, B, C, D的面積之和二49cm2. 故答案為：49cm2. 【點評】熟練運用勾股定理進行面積的轉換. 4 .小明把一根70cm長的木棒放到一個長、寬、高分別為40cm、30cm、50cm的木箱中， 他能放進去嗎？答：能■填能”、或不能”)

9、 【考點】勾股定理的應用. 【分析】能，在長方體的盒子中，一角的頂點與斜對的不共面的頂點的距離最大，根據(jù)木箱 的長，寬，高可求出最大距離，然后和木棒的長度進行比較即可. 【解答】解：能，理由如下： 可設放入長方體盒子中的最大長度是xcm , 根據(jù)題意，得 x2=50 2+402+30 2=5000, 702=4900, 因為 4900V 5000, 所以能放進去. 故答案為能. 【點評】本題考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是求出木箱內木棒的最大長度. 5 .已知直角三角形兩直角邊的長分別為3cm, 4cm,第三邊上的高為 2.4cm . 【考點】勾股定理. 【專題】

10、計算題. 【分析】根據(jù)勾股定理可求出斜邊.然后由于同一三角形面積一定，可列方程直接解答. 【解答】 解：/直角三角形的兩條直角邊分別為3cm, 4cm, 硼邊為 - ： ' - - 1=5cm, 設斜邊上的高為h, 則直角三角形的面積為-i>^X4=ix5h, h=2.4cm , -M 這個直角三角形斜邊上的高為2.4cm. 故答案為：2.4cm. 【點評】本題考查了勾股定理的運用即直角三角形的面積的求法，屬中學階段常見的題目, 需同學們認真掌握. 6.如圖，四邊形 ABCD 中，CD^AB , AD ^DC , DC=5 , CB=15 , AB=17 ,則四邊形 ABC

11、D 的面積為99. 【考點】勾股定理；勾股定理的逆定理. 【分析】 作CEAB于E,則四邊形 AECD是矩形， 出EC=90°,得出AE=CD=5 , BE=AB -AE=12,由勾股定理求出 CE,即可求出四邊形 ABCD的面積. 【解答】 解：作CE^AB于E,如圖所示： 則四邊形AECD是矩形，也EC=90。， ME=CD=5 , z2BE=AB - AE=17 - 5=12, 由勾股定理得： CE=Jbc2_ BE_ [22=9， ZCD^AB , 小邊形 ABCD 的面積=弓(AB+CD ) XCE=J (17+5) >9=99； 故答案為：99.

12、 【點評】本題考查了梯形的性質、勾股定理、矩形的判定與性質，熟練掌握梯形的性質，由 勾股定理求出梯形的高是解決問題的關鍵. 7.如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為20dm、3dm、2dm. A和B是這 個臺階上兩個相對的端點，點A處有一只螞蟻，想到點 B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著 臺階面爬行到點 B的最短路程為25dm. 【考點】平面展開-最短路徑問題. 【專題】 計算題；壓軸題. 【分析】先將圖形平面展開，再用勾股定理根據(jù)兩點之間線段最短進行解答. 【解答】 解：三級臺階平面展開圖為長方形，長為 20dm,寬為(2+3) Mdm, 則螞蟻沿臺階面爬行到

13、B點最短路程是此長方形的對角線長. 可設螞蟻沿臺階面爬行到 B點最短路程為xdm , 由勾股定理得：x2=202+[ (2+3) >3]2=252, 解得x=25 . 故答案為25. 【點評】本題考查了平面展開-最短路徑問題, 出長方形的長和寬即可解答. 用到臺階的平面展開圖， 只要根據(jù)題意判斷 二、選擇題（每題 4分，共28分） 8. RtMBC兩直角邊的長分別為 6cm和8cm,則連接這兩條直角邊中點的線段長為（） A. 10cmB. 3cm C. 4cm D. 5cm 【考點】勾股定理；三角形中位線定理. 【分析】利用勾股定理列式求出斜邊，再根據(jù)三角形的中位線平行于

14、第三邊并且等于第三邊 的一半解答. 【解答】解：于t9BC兩直角邊的長分別為 6cm和8cm, 瀚邊=jN + gZ=10cm, 國 /連接這兩條直角邊中點的線段長為 5M0=5cm . -U 故選D. 【點評】本題考查了勾股定理，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，熟記 定理是解題的關鍵. 9.觀察下列幾組數(shù)據(jù)：（1） 8, 15, 17; （2） 7, 12, 15； （3） 12, 15, 20； （4） 7, 24, 25.其 中能作為直角三角形三邊長的有 （）組. A. 1 B, 2 C, 3 D, 4 【考點】勾股定理的逆定理. 【分析】根據(jù)勾股

15、定理的逆定理： 如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個 是直角三角形判定則可.如果有這種關系，這個就是直角三角形. 【解答】 解：①82+152=172,根據(jù)勾股定理的逆定理是直角三角形，故正確； ②72+122月52,根據(jù)勾股定理的逆定理不是直角三角形，故錯誤； ③122+152發(fā)02,根據(jù)勾股定理的逆定理不是直角三角形，故錯誤； ④72+242=252,根據(jù)勾股定理的逆定理是直角三角形，故正確. 故選B. 【點評】本題考查了勾股定理的逆定理，在應用勾股定理的逆定理時，應先認真分析所給邊 的大小關系，確定最大邊后，再驗證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關系，

16、進而 作出判斷. 10.如圖，正方形 ABCD的邊長為1,則正方形 ACEF的面積為（） ￡C A. 2 B. 3C. 4 D. 5 【考點】算術平方根. 【分析】根據(jù)勾股定理，可得 AC的長，再根據(jù)乘方運算，可得答案. 【解答】 解：由勾股定理，得 AC=, 乘方，得（IV2）2=2, 故選：A. 【點評】 本題考查了算術平方根，先求出 AC的長，再求出正方形的面積. 11 .如果梯子的底端離建筑物 5米，13米長的梯子可以達到建筑物的高度是（） A. 12 米 B. 13 米 C. 14 米 D. 15 米 【考點】勾股定理的應用. 【專題】應用題.

17、【分析】根據(jù)梯子、地面、墻正好構成直角三角形，再根據(jù)勾股定理解答即可. 【解答】解：如圖所示，AB=13米，BC=5米，根據(jù)勾股定理 AC=^AB2 - BC2=/132 - 5^ =12 米. 故選A . 【點評】 此題是勾股定理在實際生活中的運用，比較簡單. 12 .滿足下列條件的 ABC中，不是直角三角形的是（） A. a： b： c=3： 4： 5 B. ZA ：2：工=1 ： 2： 3 C. a2： b2： c2=1 : 2： 3 D. a2: b2: c2=3: 4： 5 【考點】勾股定理的逆定理；三角形內角和定理. 【分析】由勾股定理的逆定理得出 A、C是

18、直角三角形，D不是直角三角形；由三角形內角 和定理得出B是直角三角形；即可得出結果. 【解答】 解：&：b: c=3: 4: 5, 32+42=52, /這個三角形是直角三角形，A是直角三角形; △ A： B ZC=1： 2： 3, △ C=90°, B是直角三角形； 號：b2: c2=1 ： 2： 3, &2+b2=c2, /三角形是直角三角形， C是直角三角形； 號：b2： c2=3： 4： 5, Za2+b2/2, /三角形不是直角三角形； 故選：D 【點評】本題考查了勾股定理的逆定理、三角形內角和定理； 熟練掌握勾股定理的逆定理和 三角形內角和定理，通過計算得

19、出結果是解決問題的關鍵. 13.若等腰三角形中相等的兩邊長為10cm,第三邊長為16cm,那么第三邊上的高為（ A . 12 cm B . 10 cmC. 8 cm D. 6 cm 【考點】勾股定理；等腰三角形的性質. 【分析】根據(jù)等腰三角形的性質先求出BD,然后在RTAABD中，可根據(jù)勾股定理進行求解. 【解答】解：如圖: 由題意得：AB=AC=10cm , BC=16cm , 作AD旭C于點D ,則有DB= -BC=8cm 在 Rt^ABD 中，AD= ^曲-BM=6cm . 故選D. 【點評】本題考查了等腰三角形的性質及勾股定理的知識, 高平分底邊，及利用勾

20、股定理直角三角形的邊長. 關鍵是掌握等腰三角形底邊上的 14.如圖，正方形網(wǎng)格中的 必BC,若小方格邊長為1,則"BC的形狀為（ A.直角三角形B.銳角三角形 C.鈍角三角形D.以上答案都不對 【考點】勾股定理的逆定理；勾股定理. 【專題】網(wǎng)格型. 【分析】根據(jù)勾股定理求得 "BC各邊的長，再利用勾股定理的逆定理進行判定，從而不難 得到其形狀. 【解答】解：NE方形小方格邊長為1, z2BC=V42+62=2V13, AC=d22 + 3 2=VH ab=7T^T7M/^， 在9BC中， 旭C2+AC2=52+13=65 , AB 2=65 , 出C2+AC

21、2=AB 2, △ ABC是直角三角形. 故選：A. 【點評】考查了勾股定理的逆定理，解答此題要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC 的三邊滿足a2+b2=c2,則三角形ABC是直角三角形. 三、解答題：（每題11分，共計44分） 15 .一棵樹在離地面9米處斷裂，樹的頂部落在離樹根底部 12米處，求樹折斷之前的高度？ （自己畫圖并解答） 【考點】勾股定理的應用. 【分析】根據(jù)勾股定理，計算樹的折斷部分是15米，則折斷前機^勺高度是 15+9=24米. 【解答】解：如圖所示： 因為AB=9米，AC=12米， 根據(jù)勾股定理得 bc私b%c2=15米， 【點評】本

22、題考查正確運用勾股定理.善于觀察題目的信息是解題以及學好數(shù)學的關鍵. 16 .小東與哥哥同時從家中出發(fā)，小東以6km/時的速度向正北方向的學校走去，哥哥則以 8km/時的速度向正東方向走去，半小時后，小東距哥哥多遠？ 【考點】勾股定理的應用. 【分析】根據(jù)題意求出小東與哥哥各自行走的距離，根據(jù)勾股定理計算即可. 【解答】 解：由題意得，AC=6 >i=3km , BC=8 >i=4km , 必CB=90 °, 則 AB= Qhd+BC 'km - 【點評】本題考查的是勾股定理的應用，正確構造直角三角形、靈活運用勾股定理是解題的 關鍵. 17 .如圖所示，四邊形 ABCD

23、 中，AB=3cm , AD=4cm , BC=13cm , CD=12cm , "=90 °; (1)求BD的長； (2)求四邊形ABCD的面積. 【考點】勾股定理；勾股定理的逆定理. 【分析】(1)在RtZABD中，利用勾股定理可求出 BD的長度； (2)利用勾股定理的逆定理判斷出 出DC為直角三角形，根據(jù) S四邊形ABCD=S%BD+SZBDC, 即可得出答案. 【解答】解：(1) △A=90°, △ ABD為直角三角形， 則 BD2=AB2+AD 2=25, 解得：BD=5 . (2)旭C=13cm, CD=12cm, BD=5cm , 出D2+CD2=BC2,

24、 z2BD^CD, 故S四邊形 >AD+ BD >DC=6+30=36 . 【點評】本題考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，在求不規(guī)則圖形的面積時，我們可以利 用分解法，將不規(guī)則圖形的面積轉化為幾個規(guī)則圖形的面積之和. 18.如圖，有一個直角三角形紙片，兩直角邊AB=6cm , BC=8cm ,現(xiàn)將直角邊 BC沿直線 BD折疊，使點C落在點E處，求三角形BDF的面積是多少？ 廣—— 【考點】 【專題】 【分析】 角相等, c 翻折變換(折疊問題) 應用題；操作型. 由折疊的性質得到三角形 再由兩直線平行內錯角相等, BDC與三角形BDE全等，進而得到對

25、應邊相等，對應 等量代換及等角對等邊得到 FD=FB,設 FD=FB=, 在直角三角形 AFB中，利用勾股定理列出關于 x的方程，求出方程的解得到 x的值，確定 出FD的長，進而求出三角形 BDF面積. 【解答】 解：由折疊可得：/2BDCABDE, △ CBD=在BD, BC=BE=8cm , ED=DC=AB=6cm , MD ZBC, △ ADB= ZDBC, △ ADB= ZEBD, z2FD=FB , 設 FD=FB=, 在Rt9BF中，根據(jù)勾股定理得：x2= (8-x) 2+62, 則 S/bdf=，F(xiàn)D?AB= 解得：x=等，即FD=-^cm, -7c

26、m2- 【點評】此題考查了翻折變換(折疊問題)，涉及的知識有：折疊的性質，全等三角形的性 質，平行線的性質，等腰三角形的判定， 以及勾股定理，熟練掌握性質及定理是解本題的關 鍵. 四、附加題 19.如圖所示的一塊地， AD=12m , CD=9m, 面積. 必DC=90 °, AB=39m , BC=36m ,求這塊地的 【考點】勾股定理的應用；三角形的面積；勾股定理的逆定理. 【專題】應用題. 【分析】連接AC,運用勾股定理逆定理可證 ACD , "BC為直角三角形，可求出兩直角 三角形的面積，此塊地的面積為兩個直角三角形的面積差. 【解答】 解：連接AC,則在Rt

27、^ADC中， AC2=CD 2+AD 2=122+92=225, 必C=15,在叢BC 中，AB 2=1521 , AC2+BC2=152+362=1521 , 必B2=AC2+BC2, △ ACB=90 °, 任ZABC — SZACD M5X36 — >12x9=270— 54=216. 答：這塊地的面積是 216平方米. 【點評】解答此題的關鍵是通過作輔助線使圖形轉化成特殊的三角形，可使復雜的求解過程 變得簡單. 20.如圖，9BC是直角三角形， 加AC=90。，D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB、AC 邊上的點，且DE組F. (1

28、)如圖 1,試說明 BE2+CF2=EF2; (2)如圖 2,若 AB=AC , BE=12 , CF=5 ,求綃EF 的面積. 【考點】全等三角形的判定與性質；勾股定理；等腰直角三角形. 【分析】(1)延長ED至點G,使得EG=DE ,連接FG, CG,易證EF=FG和也DE^CDG, 可得BE=CG, ZDCG= ^DBE ,即可求得zTCG=90 °,根據(jù)勾股定理即可解題； (2)連接AD ,易證ZADE=ZCDF,即可證明^ADEACDF,可得 AE=CF , BE=AF , S四邊形 AEDF=7；SzABC ,再根據(jù) ^DEF 的面積=j^S&BC - S/AEF,即可解

29、題. 【解答】(1)證明：延長 ED至點G,使得DG=DE,連接FG, CG, z2DE=DG , DF^DE, z2DF垂直平分DE, z2EF=FG, ZD是BC中點， z2BD=CD , 在任DE和ZCDG中, [ BD=CD ZBDE=ZCDG， DXDG △ BDEACDG (SAS), z2BE=CG , ZDCG= zDBE , △ ACB+ 垣BE=90 °, △ ACB+ MG=90 °,即 z2FCG=90 °, zcg2+cf2=fg2, 加e2+cf2=ef2； (2)解：連接AD ,

30、MB=AC , D 是 BC 中點， △ BAD= C45°, AD=BD=CD , △ ADE+ MDF=90 °, ADF+ &DF=90 °, △ ADE= z2CDF, 在必DE和HDF中， [ ZBAD=ZC AD 二 CD, /ADE =/CDF △ ADE ACDF (ASA ), ME=CF, BE=AF , AB=AC=17 , 1 ￡S 四邊形 aedf=7；Szabc , 1-2 1 I >5M2=30, 1 △ DEF 的面積=-S；zabc 一 S^EF=^. 【點評】本題考查了全等三角形的判定, 考查了全等三角形對應邊相等的性質, 本題中求證 /2BDEACDG和 "DE4CDF是解題的關鍵.