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2019-2020年九年級數(shù)學競賽輔導講座 第六講 轉(zhuǎn)化—可化為一元二次方程的方程

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2019-2020年九年級數(shù)學競賽輔導講座 第六講 轉(zhuǎn)化—可化為一元二次方程的方程

2019-2020年九年級數(shù)學競賽輔導講座第六講轉(zhuǎn)化一可化為一元二次方程的方程數(shù)學(家)特有的思維方式是什么?若從量的方面考慮,通常運用符號進行形式化抽象,在一個概念和公理體系內(nèi)實施推理計算,若從“轉(zhuǎn)化”這個側(cè)面又該如何回答?匈牙利女數(shù)學家路莎彼得在無窮的玩藝一書中寫道:“作為數(shù)學家的思維來說是很典型的,他們往往不對問題進行正面攻擊,而是不斷地將它變形,直至把它轉(zhuǎn)化為已經(jīng)能夠解決的問題”轉(zhuǎn)化與化歸是解分式方程和高次方程(次數(shù)高于二次的整式方程)的基本思想解分式方程,通過去分母和換元;解高次方程,利用因式分解和換元,轉(zhuǎn)化為一元二次方程或一元一次方程去求解【例題求解】【例1】若2x2-5x+-5=0,貝y的值為.2x25x+1思路點撥視為整體,令,用換元法求出即可【例2】若方程有兩個不相等的實數(shù)根,貝實數(shù)的取值范圍是()ABCD思路點撥通過平方有理化,將無理方程根的個數(shù)討論轉(zhuǎn)化為一元二次方程實根個數(shù)的討論,但需注意注的隱含制約注:轉(zhuǎn)化與化歸是一種重要的數(shù)學思想,在數(shù)學學習與解數(shù)學題中,我們常常用到下列不同途徑的轉(zhuǎn)化:實際問題轉(zhuǎn)化大為數(shù)學問題,數(shù)與形的轉(zhuǎn)化,常量與變量的轉(zhuǎn)化,一般與特殊的轉(zhuǎn)化等解下列方程:(1)x2+3x+蘭土4=耳;2x2+2x83x2+9x12(2) ;(3)按照常規(guī)思路求解繁難,應恰當轉(zhuǎn)化,對于(1),利用倒數(shù)關(guān)系換元;對于(2),從受到啟示;對于(3),設(shè),貝可導出、的結(jié)果注:換元是建立在觀察基礎(chǔ)上的,換元不拘泥于一元代換,可根據(jù)問題的特點,進行多元代換【例4】若關(guān)于的方程只有一個解(相等的解也算作一個),試求的值與方程的解思路點撥先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程,把分式方程解的討論轉(zhuǎn)化為整式方程的解的討論,“只有一個解”內(nèi)涵豐富,在全面分析的基礎(chǔ)上求出的值注:分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程不一定是等價轉(zhuǎn)化,有可能產(chǎn)生增根,分式方程只有一個解可能足轉(zhuǎn)化后所得的整式方程只有一個解,也可能是轉(zhuǎn)化后的整式方程有兩個解,而其中一個是原方程的增根,故分式方程的解的討論,要運用判別式、增根等知識全面分析【例5】已知關(guān)于的方程有兩個根相等,求的值思路點撥通過換元可得到兩個關(guān)于的含參數(shù)的一元二次方程,利用判別式求出的值注:運用根的判別式延伸到分式方程、高次方程根的情況的探討,是近年中考、競賽中一類新題型,盡管這種探討仍以一元二次方程的根為基礎(chǔ),但對轉(zhuǎn)換能力、思維周密提出了較高要求學歷訓練1若關(guān)于的方程有增根,則的值為;若關(guān)于的方程曾=一1的解為正數(shù),則的取值范圍是2. 解方程+=得.x(x一1)x(x+1)(x+1)(x+2)(x+9)(x+10)123. 已知方程有一個根是2,貝4.4. 方程的全體實數(shù)根的積為()A.60B.一60C.10D.105解關(guān)于的方程不會產(chǎn)生增根,則是的值是()A.2B.1C.不為2或一2D.無法確定6已知實數(shù)滿足,那么的值為()A.1或一2B.一1或2C.1D.一27.(1)如表,方程1、方程2、方程3、,是按照一定規(guī)律排列的一列方程,解方程1,并將它的解填在表中的空格處;(2)若方程()的解是=6,=10,求、的值該方程是不是(1)中所給的一列方程中的一個方程?如果是,它是第幾個方程?(3) 請寫出這列方程中的第個方程和它的解,并驗證所寫出的解適合第個方程序號方程方程的解1=2=4=63=5=88解下列方程(1);(2)111cx2+11x8x2+2x8x213x8(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=120;(4) 9.已知關(guān)于的方程,其中為實數(shù),當m為何值時,方程恰有三個互不相等的實數(shù)根?求出這三個實數(shù)根10.方程的解是.11.解方程+=得.x2+xx2+3x+2x2+5x+6x2+7x+122112.方程的解是.13.若關(guān)于的方程恰有兩個不同的實數(shù)解,則實數(shù)的取值范圍.14解下列方程:(1);(2) (x2+3x-4)2+(2x2-7x+6)2=(3x2-4x+2)2;(3) ;(4)15當取何值時,方程有負數(shù)解?16已知,求的值17.已知:如圖,四邊形ABCD為菱形,AF丄上AD交BD于E點,交BC于點F.求證:AD2=DEXDB;(2)過點E作EG丄AE交AB于點G,若線段BE、DE(BEDE)的長為方程(m>0)的兩個根,且菱形ABCD的面積為,求EG的長.參考答案轉(zhuǎn)化一可化為一元二次方程的方程【例題求解】例10或2設(shè)2+5乂=$,則)+占丁_5=o.解得y=l,y=3.例2選C40且也+孔0、4比0(2)(工$十3才一4F+(2丁27;t+6)2=(工?+3«r4)+(2卡一7z+6)了,解得X)=*-4x2=1x3=2,x4=-例3(1)設(shè)壬壬=則原方程化為=解得4=_1,工2=_4,松4=§士才+4oy1ZL(2)設(shè)1999一工=a,工一1998=5,1999丁+文一1998=1,則原方程疋+夕=(q+方尸,得肋=0,即(1999一工)(工一1998)=0°孫=1999,吐=1998(3)設(shè),=¥看,則心(工+丿)=42又心+(丁+,)=牢芋+¥¥=13乙八工+y是方程T13r+42=0的兩(z+y=7(工+y=6,根解得"=6,®=7,即或,進而可得:孫二1,工2=6,及=3+血5=3施xy6xy=l例4原方程化為滋2_3力+2文一1=0(海)(1)當怡=0時原方程有惟一解2=寺、(2)當&H0時,方程(丿厶=5段+441)2>0,總冇兩個不同的實數(shù)根,山題意知必有一個根是原方程的增根,從原方程知增根只能是0或1,顯然0不是(丿的根,故工=1,得忑=*例5設(shè)欠+予=則'一5+6=0,解得,1=2,加=3x22.r+a=0°jr23j-+a=0若有兩個相等的實根,則】=4一也=0,得4=1;若有兩個相等的實根則A,-9-4a=0,得a2=y,若、冇q公共根,則,一27+“=一3工+4,得工=0.不合題意,舍去,故a=l或才.【學力訓練】解得工嚴二9專/化嚴-土遊'1.l;a<2且2方程中每個分式可分拆變形,得占一#=吉3.加=一14.A5.C6.A7.(1)4=3山2=4$(2)°=6+2血"=62血,原方程為吐蟲+_=1,不是表列的系列方程中的一個;x工一(62J2)(3)第n個方程為25土藝=1(并為自然數(shù)),解得孫=刃+2口2=25+1).JTJC(Wr1)c八、才?+工+1.(工?+幺+1)+云+1_19I2+jr+11、l*+1一191一一3士島8-(1)PT7T1=石,”+十1+卡+二+=石'4=1'去,3=j;(2)設(shè)jt2+2x8>,解得j»=9jt或,=一5工,進而得初=8,工2=1,=8,g=1(3)<r)=6,工2=】;(4)孫=*,j*2=2.9.設(shè)分+2才=$,則原方程可化為刁一2加+加2i=o,解得刃=加+1,乂=加一1.:.x2+2xw1=0,工?+2工一刃+1=0從而】=4加+8仏2=4加中應有一個等于零,一個大于零.經(jīng)討論當A,=0即加=0時,$>0,此時方程有兩個相等實根工=一1,方程有兩個不等實根,工=一1士妊10號血11.4=3???=712.工=#13“工0或口=一尋注意(目嚴,原方程有兩相等實根或兩負數(shù)實根.9514(1)(6匸十7),(6乂+8)(6/十6)=72,解得4=一韋薛J+2*壬=3,即(召)'+2.壬=3.解得叫=呼.(4)勸=*,j;z=#.15.原方程去分母整理"得2-6x+3-«=O(1)當方程的兩個解j;i,可都是負數(shù)時,.勸十蒼=3,.'.方程不存在兩個負數(shù)解.(2)方程的兩個解心,比中有一個解是負數(shù)時,可得,即|12+80,0解得Ijcxi<03a<0,TQ2)(_r+l)HO,.:zM:2R£工一1,即ciH1且a云11.故當a>3且aHll時,原方程有一個負數(shù)解,16方程中各項系數(shù)關(guān)于中間項對稱,工H0,在方程兩邊同除以尹得(分十寺)一5G+手)十8=0,即G+W一5(工+片)+6=0解得x+=2或z十=3.17.(1)連AC,交ED于Hd正明EADmAAHD.(2)DE=27n,BE=zM,BD=3加BE_1BDT=又DH=4-BD斗加9AD=7Tw,3mz=+?n2”=2,EG=哼加=馬m匕厶nr433

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