2019-2020年九年級數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座 第十二講 方程與函數(shù)

2019-2020年九年級數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座第十二講方程與函數(shù)方程思想是指在解決問題時，通過等量關(guān)系將已知與未知聯(lián)系起來，建立方程或方程組，然后運用方程的知識使問題得以解決的方法；函數(shù)描述了自然界中量與量之間的依存關(guān)系，函數(shù)思想的實質(zhì)是剔除問題的非本質(zhì)特征，用聯(lián)系和變化的觀點研究問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系去解決方程與函數(shù)聯(lián)系密切，我們可以用方程思想解決函數(shù)問題，也可以用函數(shù)思想討論方程問題，在確定函數(shù)解析式中的待定系數(shù)、函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點、函數(shù)圖象的交點等問題時，常將問題轉(zhuǎn)化為解方程或方程組；而在討論方程、方程組的解的個數(shù)、解的分布情況等問題時，借助函數(shù)圖象能獲得直觀簡捷的解答【例題求解】【例1】若關(guān)于的方程有解，則實數(shù)m的取值范圍.思路點撥可以利用絕對值知識討論，也可以用函數(shù)思想探討：作函數(shù)，函數(shù)圖象，原方程有解，即兩函數(shù)圖象有交點，依此確定m的取值范圍.【例2】設(shè)關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，且1，那么取值范圍是()ABCD思路點撥因根的表達式復(fù)雜，故把原問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題來解決，即求對應(yīng)的二次函數(shù)與軸的交點滿足1的的值，注意判別式的隱含制約【例3】已知拋物線()與軸交于兩點A(,0),B(,0)(工).(1) 求的取值范圍，并證明A、B兩點都在原點0的左側(cè)；(2) 若拋物線與軸交于點C,且0A+0B=0C一2,求的值.思路點撥、是方程的兩個不等實根，于是二次函數(shù)問題就可以轉(zhuǎn)化為二次方程問題加以解決，利用判別式，根與系數(shù)的關(guān)系是解題的切入點【例4】拋物線y=1x2-2(m+5)x+2(m+1)與軸的正半軸交于點C,與軸交于A、B兩點,并且點B在A的右邊，AABC的面積是A0AC面積的3倍.(1) 求這條拋物線的解析式；(2) 判斷0BC與厶0CA是否相似，并說明理由.思路點撥綜合運用判別式、根與系數(shù)關(guān)系等知識,可判定對應(yīng)方程根的符號特征、兩實根的關(guān)系，這是解本例的關(guān)鍵對于(1),建立關(guān)于m的等式，求出m的值；對于(2)依m(xù)的值分類討論【例5】已知拋物線上有一點M(,)位于軸下方.(1) 求證：此拋物線與軸交于兩點；(2) 設(shè)此拋物線與軸的交點為A(,0),B(,0),且，求證：.思路點撥對于(1),即要證；對于(2),即要證注：(1)拋物線與軸交點問題常轉(zhuǎn)化為二次方程根的個數(shù)、根的符號特征、根的關(guān)系來探討需綜合運用判別式、韋達定理等知識(2) 對較復(fù)雜的二次方程實根分布問題,常轉(zhuǎn)化為用函數(shù)的觀點來討論,基本步驟是：在直角坐標(biāo)系中作出對應(yīng)函數(shù)圖象,由確定函數(shù)圖象大致位置的約束條件建立不等式組(3) 一個關(guān)于二次函數(shù)圖象的命題：已知二次函數(shù)()的圖象與軸交于A(，0)，B(，0)兩點，頂點為C. AABC是直角三角形的充要條件是：=. 厶ABC是等邊三角形的充要條件是：=學(xué)歷訓(xùn)練1.已知關(guān)于的函數(shù)y=(m+6)x2+2(m-1)x+m+1的圖象與軸有交點，則m的取值范圍是.2. 已知拋物線與軸交于A(，0)，B(，0)兩點，且，則.3. 已知二次函數(shù)y=kx2+(2kl)x1與x軸交點的橫坐標(biāo)為x'xjxj，則對于下列結(jié)論：當(dāng)x=2時，y=l；當(dāng)x>x，時，y0；方程kx2+l(2kl)x1=0有兩個不相等的實數(shù)根X、xjX一1,x/1；X2X二，其中所有正確的結(jié)論(只需填寫序號).1212214. 設(shè)函數(shù)的圖象如圖所示，它與軸交于A、B兩點，且線段0A與0B的長的比為1：4,則=().A.8B.4C.1lD.4或115. 已知：二次函數(shù)y=x2+bx+c與x軸相交于A(X,O)、Bg0)兩點，其頂點坐標(biāo)為P(,),AB=|xx|,若=1,則b與c的關(guān)系式是()12APBA.b24c+1=0B.b24c1=0C.b24c+4=0D.b24c4=06. 已知方程有一個負(fù)根而且沒有正根，那么的取值范圍是()A.>-1B.=1C.21D.非上述答案7. 已知在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，0為坐標(biāo)原點，A、B是x軸正半軸上的兩點，點A在點B的左側(cè)，如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aMO)的圖象經(jīng)過點A、B,與y軸相交于點C.(1) a、c的符號之間有何關(guān)系？(2) 如果線段OC的長度是線段OA、OB長度的比例中項，試證a、c互為倒數(shù)；(3) 在(2)的條件下，如果b=4，AB=4，求a、c的值.八g(第7題)8. 已知：拋物線過點A(一1，4)，其頂點的橫坐標(biāo)為，與軸分別交于B(X,O)、C(x2，0)兩點(其中且<)，且.(1) 求此拋物線的解析式及頂點E的坐標(biāo)；(2) 設(shè)此拋物線與軸交于D點，點M是拋物線上的點，若厶MBO的面積DOC面積的倍，求點M的坐標(biāo).9. 已知拋物線交x軸于A(，0)、B(，0)，交y軸于C點，且V0V.，(1)求拋物線的解析式；(2)在x軸的下方是否存在著拋物線上的點P,使ZAPB為銳角，若存在，求出P點的橫坐標(biāo)的范圍；若不存在，請說明理由.10. 設(shè)是整數(shù)，且方程的兩根都大于而小于，貝匸.11. 函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點個數(shù).12. 已知、為拋物線與軸交點的橫坐標(biāo),，則的值為.13. 是否存在這樣的實數(shù)，使得二次方程有兩個實數(shù)根，且兩根都在2與4之間?如果有，試確定的取值范圍；如果沒有，試述理由14設(shè)拋物線的圖象與軸只有一個交點(1)求的值；(2)求的值15已知以為自變量的二次函數(shù)，該二次函數(shù)圖象與軸的兩個交點的橫坐標(biāo)的差的平方等于關(guān)于的方程x2-(7n+6)x+2(n+1)(n+4)=0的一整數(shù)根，求的值.16. 已知二次函數(shù)的圖象開口向上且不過原點0,頂點坐標(biāo)為(1,一2),與軸交于點A,B,與y軸交于點C,且滿足關(guān)系式.(1) 求二次函數(shù)的解析式；(2) 求厶ABC的面積.17. 設(shè)是實數(shù)，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個不同的交點A(,0)、B(,0).(1)求證：；若A、B兩點之間的距離不超過，求P的最大值.參考答案圜方程與函數(shù)【例題求解】與y=mx圖象，原方程有解.即兩圖象冇交點，由圖象知巾20或<一1.選DaHO,記丿=+(1+手&+9,則這個拋物線開口向上，因X!<1<x2.故當(dāng)x=l時QV0,92即l+(l+y)+9<0,解得一jY<a<0.(1)由aMO及21(12d)24az>0,得a<-且aHO；21VaO,Aj-jj2=a2>0»而寸十形=_(1_2a)=2a_V才_1=_丁<0,*.X1,X2必同為負(fù)數(shù)，即點A(T|«O),B(XZ,0都在原點的左側(cè)(2)由OA+OB=OC2,得一XiX2=a22,即a2+2a3=0,解得a=3.例4(1)設(shè)Ad,0),8(_12,0)山=4(加十尋>0,(?(0,2加+2)是，軸正半軸上的點，則2皿+2>0,即m>l,又>0,Xjt2=4(w+l)>0,Aj72>Xi>0,由Sabc=3SAcmc得SaobcuASmhc，工2=4q,由根與系數(shù)關(guān)系可得/嚴(yán)0,加2=|，對應(yīng)的拋物線的解析式為嚴(yán)寺宀尋工+彳曠寺嚴(yán)一尋工+石,當(dāng)m=0時AOCsACOB；當(dāng)耐=一|時，AOC與COB不相似例5必=擰+皿+9=(口+號)2_牛<。,則¥>仏+號)亠0,有卄佃>0,即拋物線"軸交于応(2)r+上2=P5曲=g代入心'+pin+g=y<>Vo有：乂肆一(廠+乜MoV0,(竝zi)(工?；?V0,故t【學(xué)力訓(xùn)練】1.一2.23.4.C5.D6.C7.(l)a>0,c>0或a<0,c<0；(2)設(shè)A(g,0)BQ?，0),則0Vg<業(yè).，.OA=x1，OB=x2,OC=id.由OAOBOC2,得ac=l；&b2,aJL丄P(2)設(shè)A(xi,0).8(衛(wèi)，0)口1乜=疔"=_1<0,.j1<0,X2>0,OA=-Ti,OB=x2,OC=|c|=|a|，由麗+面二疋仔64>莊'即a?臣一4X(-1)=16,解得a=±5/T,c=干“,故嚴(yán)箱卡2/-苗或y=品去2jt4-5/3"1若存在滿足條件的拋物線，則OA=OB,即一Q=x2,x,+x2=0,-y=0,即6=0與6=2矛盾，故不存在滿足條件的拋物線.(Dm=l,y=yxz-j2,(2)存在這樣的P點其橫坐為使ZAPB為銳角,AC-1,0),5(4,0),C(0,2),AB2+BCAC.ABC為直角三角形，過A、B、C三點作OO】.則AB為的直徑，C點關(guān)于直線_r=今對稱點M是©與拋物線的另一交點,M(3,-2),O<Xo<3.3X(半)2+賦_¥)_2>010由題索，得亠“亠，耳3oQ1Q3X(-)2+mX弓2>0>12a+b當(dāng)x=c時，=<?<(),則aVcVk