數(shù)學(xué) 二次函數(shù)y=a(x-h)2的圖象與性質(zhì)

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1、二次函數(shù)y=a(x-h)2的圖象和性質(zhì)1.二次函數(shù)二次函數(shù)y=x2+c的圖象是什么？的圖象是什么？答：是拋物線答：是拋物線2.二次函數(shù)的性質(zhì)有哪些？請(qǐng)?zhí)顚?xiě)下表：二次函數(shù)的性質(zhì)有哪些？請(qǐng)?zhí)顚?xiě)下表：函數(shù)開(kāi)口方向開(kāi)口方向?qū)ΨQ(chēng)軸頂 點(diǎn)坐 標(biāo)y的最值 增減性在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)y=ax2a0a0y=ax2+ca0a0向上向上y軸軸（0，0）最小值最小值是是0y 隨隨 x 的 增的 增大 而 減 小大 而 減 小y隨隨x的增的增大而增大大而增大向下向下y軸軸（0，0）最大值最大值是是0y隨隨x的增的增大而增大大而增大y隨隨x的增的增大而減小大而減小向上向上y軸軸（0，c）最小值最小值是是cy隨隨x的增

2、的增大而減小大而減小y隨隨x的增的增大而增大大而增大向下向下y軸軸（0，c）最大值最大值是是cy隨隨x的增的增大而增大大而增大y隨隨x的增的增大而減小大而減小w在同一坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)在同一坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=3xy=3x2 2,y=3(x-1),y=3(x-1)2 2和和y=3(x+1)2的圖象的圖象w完成下表完成下表, ,并比較并比較3 3x2 2,3(,3(x-1)-1)2 2和和3(x+1)2的值的值, ,它們之間有什么關(guān)系它們之間有什么關(guān)系? ? 函數(shù)函數(shù)y=a(x-h)y=a(x-h)2 2(a0)(a0)的圖象和性質(zhì)的圖象和性質(zhì)x-4-3-2-101234271230312

3、2727123031227 27123031227 27 12 30312 27 圖象是軸對(duì)稱(chēng)圖形圖象是軸對(duì)稱(chēng)圖形.對(duì)稱(chēng)軸是平行于對(duì)稱(chēng)軸是平行于y軸的直線軸的直線:x= -1.頂點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo)是點(diǎn)是點(diǎn)(-1,0).二次函數(shù)二次函數(shù)y=3(x+1)y=3(x+1)2 2與與y=3x2的圖象形狀的圖象形狀相同相同,可以看作是拋可以看作是拋物線物線y=3x2整體沿整體沿x軸軸向左平移了向左平移了1 個(gè)單位個(gè)單位.w1.1.函數(shù)函數(shù)y=3(x+1)y=3(x+1)2 2的圖象的圖象與與y=3xy=3x2 2和和y=3(x-1)y=3(x-1)2 2的圖的圖象有什么關(guān)系象有什么關(guān)系? ?它是軸對(duì)稱(chēng)它是軸

4、對(duì)稱(chēng)圖形嗎圖形嗎? ?它的對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)它的對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么坐標(biāo)分別是什么? ? 二次項(xiàng)系數(shù)相同二次項(xiàng)系數(shù)相同a0,開(kāi)口都向上開(kāi)口都向上.w想一想想一想, ,二次函數(shù)二次函數(shù)y=3(x+1)y=3(x+1)2 2的圖象的增減性會(huì)怎樣的圖象的增減性會(huì)怎樣? ?213 xy213xy213xy在對(duì)稱(chēng)軸在對(duì)稱(chēng)軸(直線直線:x=-1)左側(cè)左側(cè)(即即x-1時(shí)時(shí)),函數(shù)函數(shù)y=3(x+1)2的值隨的值隨x的增大而增大的增大而增大,.w猜一猜猜一猜, ,函數(shù)函數(shù)y=-3(x-1)y=-3(x-1)2 2, ,y=-3(x+1)y=-3(x+1)2 2和和y=-3xy=-3x2 2的圖象的位置和形狀的

5、圖象的位置和形狀. .w請(qǐng)你總結(jié)二次函數(shù)請(qǐng)你總結(jié)二次函數(shù)y=a(x-h)y=a(x-h)2 2的圖象和性質(zhì)的圖象和性質(zhì). . 213xy2.拋物線拋物線y=-3(x-1)y=-3(x-1)2 2和和y=-3(x+1)y=-3(x+1)2 2在在x軸軸的下方的下方(除頂點(diǎn)外除頂點(diǎn)外),它的開(kāi)口向下它的開(kāi)口向下,并且并且向下無(wú)限伸展向下無(wú)限伸展.213 xy213 xyy3.拋物線拋物線y=-3(x-1)y=-3(x-1)2 2在對(duì)稱(chēng)在對(duì)稱(chēng)軸軸(x=1)的左側(cè)的左側(cè),當(dāng)當(dāng)x1時(shí)時(shí), y隨著隨著x的增大而減小的增大而減小.當(dāng)當(dāng)x=1時(shí)時(shí),函數(shù)函數(shù)y的值最大的值最大(是是0);拋物線拋物線y=-3(x

6、+1)y=-3(x+1)2 2在對(duì)稱(chēng)軸在對(duì)稱(chēng)軸(x=-1)的左側(cè)的左側(cè),當(dāng)當(dāng)x-1時(shí)時(shí), y隨著隨著x的增大而減小的增大而減小.當(dāng)當(dāng)x=-1時(shí)時(shí),函函數(shù)數(shù)y的值最大的值最大(是是0).二次函數(shù)函數(shù)y=-3(x-1)y=-3(x-1)2 2, ,y=-3(x+1)y=-3(x+1)2 2和和y=-3xy=-3x2 2的圖象的圖象4.拋物線拋物線y=-3(x-1)y=-3(x-1)2 2可以看作是可以看作是拋物線拋物線y=-3xy=-3x2 2沿沿x軸向右平移了軸向右平移了1個(gè)單位個(gè)單位;拋物線拋物線y=-3(x+1)y=-3(x+1)2 2可以看可以看作是拋物線作是拋物線y=-3xy=-3x2

7、2沿沿x軸向左平移軸向左平移了了1個(gè)單位個(gè)單位.X=-1X=11.拋物線拋物線y=-3(x-1)y=-3(x-1)2 2的頂點(diǎn)是的頂點(diǎn)是(1,0);對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng)軸是直線軸是直線:x=1;拋物拋物線線y=-3(x+1)y=-3(x+1)2 2的頂?shù)捻旤c(diǎn)是點(diǎn)是(-1,0);對(duì)稱(chēng)軸是對(duì)稱(chēng)軸是直線直線:x=-1. 在同一個(gè)直角坐標(biāo)系里在同一個(gè)直角坐標(biāo)系里畫(huà)出函數(shù)畫(huà)出函數(shù) 與與 的的圖象圖象. .xy0 0-8-6-4-2246820161284-2描點(diǎn)描點(diǎn), ,連線連線212yx1012-10-122觀察這兩個(gè)函數(shù)的圖象觀察這兩個(gè)函數(shù)的圖象, ,它們有什么關(guān)系它們有什么關(guān)系? ?xy0 0-8-6-4-2

8、246820161284-2描點(diǎn)描點(diǎn), ,連線連線212yx1012-10-1222xyO函數(shù)函數(shù)y= (x-2)y= (x-2)2 2的圖象與的圖象與y= xy= x2 2的的圖象有什么關(guān)系圖象有什么關(guān)系? ?它是軸對(duì)稱(chēng)圖它是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎形嗎? ?它的對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分它的對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么別是什么? ? 1212二次項(xiàng)系數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)相同相同 a0,開(kāi)口都向上開(kāi)口都向上,兩個(gè)二次函數(shù)的圖象兩個(gè)二次函數(shù)的圖象形狀相同形狀相同,可以看作是可以看作是拋物線拋物線y= x2整體整體沿沿x軸向右平移了軸向右平移了2 個(gè)單位個(gè)單位122xyO函數(shù)函數(shù)y= (x-2)y= (x-2)2 2的圖象與

9、的圖象與y= xy= x2 2的圖象的圖象有什么關(guān)系有什么關(guān)系? ?它是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎它是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎? ?它它的對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么的對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么? ? 1212頂點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo)是點(diǎn)是點(diǎn)(2,0).圖象是軸對(duì)稱(chēng)圖形圖象是軸對(duì)稱(chēng)圖形對(duì)稱(chēng)軸是平行于對(duì)稱(chēng)軸是平行于y軸的直線軸的直線:x=2.直線直線x=22xyOx取哪些值時(shí)取哪些值時(shí),函數(shù)函數(shù)y= (x-1)2的值的值隨隨x值的增大而減小值的增大而減小?x取哪些值取哪些值時(shí)時(shí),函數(shù)函數(shù)y= (x-1)2的值隨的值隨x的增大的增大而增大？而增大？ 1212在對(duì)稱(chēng)軸在對(duì)稱(chēng)軸(直線直線:x=2)左側(cè)左側(cè)(即即x2時(shí)時(shí)), y的值的值隨

10、隨x的增大而增大的增大而增大,.頂點(diǎn)是最低點(diǎn)頂點(diǎn)是最低點(diǎn),函數(shù)函數(shù)有最小值有最小值.當(dāng)當(dāng)x=2時(shí)時(shí),最小值是最小值是0.212yx函數(shù)函數(shù) 的圖象可以看成由的圖象可以看成由 的圖象向的圖象向_平移平移_個(gè)單個(gè)單位得到位得到, ,它們的形狀和開(kāi)口大小相同它們的形狀和開(kāi)口大小相同函數(shù)函數(shù) 的圖象可以看成由的圖象可以看成由 的圖象向的圖象向_平移平移_個(gè)單位個(gè)單位得到得到, ,它們的形狀和開(kāi)口大小相同它們的形狀和開(kāi)口大小相同212yx這里的平移方向有什么規(guī)律這里的平移方向有什么規(guī)律?右右左左221.拋物線拋物線y=a(x-y=a(x-h)h)2 2的頂點(diǎn)是的頂點(diǎn)是(h,0),對(duì)稱(chēng)軸是平行于對(duì)稱(chēng)軸是平

11、行于y軸的直線軸的直線x=h.3.當(dāng)當(dāng)a0時(shí)時(shí),在對(duì)稱(chēng)軸在對(duì)稱(chēng)軸(x=h)的左側(cè)的左側(cè),y隨著隨著x的的增大而減小增大而減小;在對(duì)稱(chēng)軸在對(duì)稱(chēng)軸(x=h)右側(cè)右側(cè),y隨著隨著x的增的增大而增大大而增大;當(dāng)當(dāng)x=h時(shí)函數(shù)時(shí)函數(shù)y的值最小的值最小(是是0).當(dāng)當(dāng)a0時(shí)時(shí),拋拋物線物線y=a(x-h)2在在x軸的上方軸的上方(除頂點(diǎn)外除頂點(diǎn)外),它它的開(kāi)口向上的開(kāi)口向上,并并且向上無(wú)限伸且向上無(wú)限伸展展;當(dāng)當(dāng)a0時(shí)時(shí),向右移向右移 個(gè)單個(gè)單位位;當(dāng)當(dāng)h0 時(shí)時(shí),向向_平移平移_個(gè)單位個(gè)單位當(dāng)當(dāng)h0a0時(shí)時(shí), ,拋物線在拋物線在x x軸的上方軸的上方( (除頂點(diǎn)外除頂點(diǎn)外),),它的開(kāi)口向上它的開(kāi)口向上

12、, ,并并且向上無(wú)限伸展；且向上無(wú)限伸展； 當(dāng)當(dāng)a0a0a0時(shí)時(shí), ,在對(duì)稱(chēng)軸在對(duì)稱(chēng)軸(x=h)(x=h)的左側(cè)的左側(cè),y,y隨著隨著x x的增大而減小的增大而減小; ;在對(duì)稱(chēng)軸在對(duì)稱(chēng)軸(x=h)(x=h)右側(cè)右側(cè),y,y隨著隨著x x的增大而增大的增大而增大; ;當(dāng)當(dāng)x=hx=h時(shí)時(shí)函數(shù)函數(shù)y y的值最小的值最小( (是是0).0).當(dāng)當(dāng)a0a0)y=a(x-h)2 (a0)（h，0）（h，0）直線直線x=h直線直線x=h在在x軸的上方軸的上方(除頂點(diǎn)外除頂點(diǎn)外)在在x軸的下方軸的下方( 除頂點(diǎn)外除頂點(diǎn)外)向上向上向下向下當(dāng)當(dāng)x=h時(shí)時(shí),最小值為最小值為0.當(dāng)當(dāng)x=h時(shí)時(shí),最大值為最大值為0

13、.在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè),y隨著隨著x的增大而減小的增大而減小. 在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè), y隨著隨著x的增大而增大的增大而增大. 在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè),y隨著隨著x的增大而增大的增大而增大. 在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè), y隨著隨著x的增大而減小的增大而減小. 根據(jù)圖形填表：根據(jù)圖形填表： 越小越小,開(kāi)口越大開(kāi)口越大. 越大越大,開(kāi)口越小開(kāi)口越小.aa2hxay函數(shù)函數(shù)開(kāi)口方向開(kāi)口方向?qū)?duì)稱(chēng)稱(chēng)軸軸頂頂 點(diǎn)點(diǎn)坐坐 標(biāo)標(biāo)Y的的最最值值 增減性增減性在對(duì)稱(chēng)在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)軸左側(cè)在對(duì)稱(chēng)軸在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)右側(cè)y=ax2a0a0y=ax2+ca0a0y=a（x-h）2a0a0向上向上Y軸軸

14、（0，0）最小值最小值是是0Y隨隨x的增的增大而減小大而減小Y隨隨x的增的增大而增大大而增大向下向下Y軸軸（0，0）最大值最大值是是0Y隨隨x的增的增大而增大大而增大Y隨隨x的增的增大而減小大而減小向上向上Y軸軸（0，c）最小值最小值是是CY隨隨x的增的增大而減小大而減小Y隨隨x的增的增大而增大大而增大向下向下Y軸軸（0，c）最大值最大值是是CY隨隨x的增的增大而增大大而增大Y隨隨x的增的增大而減小大而減小向上向上直線直線x=h（h，0）Y隨隨x的增的增大而減小大而減小最小值最小值是是0Y隨隨x的增的增大而增大大而增大向下向下直線直線x=h（h，0）最大值最大值是是0Y隨隨x的增的增大而增大大

15、而增大Y隨隨x的增的增大而減小大而減小例例1. 填空題填空題（1）二次函數(shù)）二次函數(shù)y=2（x+5）2的圖像是的圖像是 ，開(kāi)，開(kāi) 口口 ，對(duì)稱(chēng)軸是，對(duì)稱(chēng)軸是 ，當(dāng)，當(dāng)x= 時(shí)，時(shí)，y有最有最 值，值，是是 .（2）二次函數(shù)）二次函數(shù)y=-3（x-4）2的圖像是由拋物線的圖像是由拋物線y= -3x2 向向 平移平移 個(gè)單位得到的；開(kāi)口個(gè)單位得到的；開(kāi)口 ，對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)軸是是 ，當(dāng)，當(dāng)x= 時(shí)，時(shí)，y有最有最 值，是值，是 .拋物線拋物線向上向上直線直線x= -5-5小小0右右4向下向下直線直線x= 44大大0（3）將二次函數(shù)）將二次函數(shù)y=2x2的圖像向右平移的圖像向右平移3個(gè)單位后得到函個(gè)單位

16、后得到函數(shù)數(shù) 的圖像，其對(duì)稱(chēng)軸是的圖像，其對(duì)稱(chēng)軸是 ，頂點(diǎn)，頂點(diǎn)是是 ，當(dāng)，當(dāng)x 時(shí)，時(shí)，y隨隨x的增大而增大；當(dāng)?shù)脑龃蠖龃螅划?dāng)x 時(shí)，時(shí)，y隨隨x的增大而減小的增大而減小. （4）將二次函數(shù)）將二次函數(shù)y= -3（x-2）2的圖像向左平移的圖像向左平移3個(gè)單位后個(gè)單位后得到函數(shù)得到函數(shù) 的圖像，其頂點(diǎn)坐標(biāo)是的圖像，其頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ，對(duì)稱(chēng)軸是對(duì)稱(chēng)軸是 ，當(dāng)，當(dāng)x= 時(shí)，時(shí)，y有最有最 值，值，是是 .y=2（x-3）2直線直線x=3（3，0）33y= -3（x+1）2（-1，0）直線直線x=-1-1大大0（5）將函數(shù)）將函數(shù)y=3（x4）2的圖象沿的圖象沿x軸對(duì)折后得到的函軸對(duì)折后得到的函數(shù)解

17、析式是數(shù)解析式是 ；將函數(shù)；將函數(shù)y=3（x4）2的的圖象沿圖象沿y軸對(duì)折后得到的函數(shù)解析式是軸對(duì)折后得到的函數(shù)解析式是 ；y=3（x4）2y=3（x+4）2（6）把拋物線）把拋物線y=a（x-4）2向左平移向左平移6個(gè)單位后得到拋個(gè)單位后得到拋物線物線y=- 3（x-h）2的圖象，則的圖象，則 a= ，h= .若若拋物線拋物線y= a（x-4）2的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)A，且與，且與y軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)B，拋，拋物線物線y= - 3（x-h）2的頂點(diǎn)是的頂點(diǎn)是M，則，則SMAB= .-3-2144（7）將拋物線）將拋物線y=2x23先向上平移先向上平移3單位，就得到函單位，就得到函數(shù)數(shù) 的圖象，在向的圖象，在向 平移平移 個(gè)單個(gè)單位得到函數(shù)位得到函數(shù)y= 2（x-3）2的圖象的圖象.y=2x2右右3