2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座 第二十一講 從三角形的內(nèi)切圓談起

2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座第二十一講從三角形的內(nèi)切圓談起和多邊形的各邊都相切的圓叫做多邊形的內(nèi)切圓，這個(gè)多邊形叫做圓的外切多邊形三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做這個(gè)三角形的內(nèi)心，圓外切三角形、圓外切四邊形有下列重要性質(zhì)：1三角形的內(nèi)心是三角形的三內(nèi)角平分線交點(diǎn)，它到三角形的三邊距離相等；2圓外切四邊形的兩組對(duì)邊之和相等，其逆亦真，是判定四邊形是否有外切圓的主要方法注：設(shè)RtAABC的各邊長(zhǎng)分別為a、b、c(斜邊)，運(yùn)用切線長(zhǎng)定理、面積等知識(shí)可得到其內(nèi)切圓半徑的不同表示式：(1) ；(2) 請(qǐng)讀者給出證【例題求解】【例1】如圖，在RtAABC中，ZC=90°°,BC=5,O0與RtAABC的三邊AB、BC、AC分相切于點(diǎn)D、E、F,若00的半徑r=2，則RtAABC的周長(zhǎng)為.思路點(diǎn)撥AF=AD，BE=BD，連0E、OF，則OECF為正方形，只需求出AF(或AD)即可.【例2】如圖，以定線段AB為直徑作半圓0,P為半圓上任意一點(diǎn)(異于A、B),過點(diǎn)P作半圓0的切線分別交過A、B兩點(diǎn)的切線于D、C,AC、BD相交于N點(diǎn)，連結(jié)ON,NP，下列結(jié)論：四邊形ANPD是梯形；0N=NP:DPPC為定值；FA為ZNPD的平分線，其中一定成立的是()A.B.C.D.思路點(diǎn)撥本例綜合了切線的性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理、相似三角形，判定性質(zhì)等重要幾何知識(shí)注意基本輔助線的添出、基本圖形識(shí)別、等線段代換，推導(dǎo)出NPADBC是解本例的關(guān)鍵.【例3】如圖，已知ZACP=ZCDE=90°，點(diǎn)B在CE上，CA=CB=CD,過A、C、D三點(diǎn)的圓交AB于F,求證：F為ACDE的內(nèi)心.思路點(diǎn)撥連CF、DF,即需證FCDE角平分線的交點(diǎn)，充分利用與圓有關(guān)的角，將問題轉(zhuǎn)化為角相等問題的證明.【例4】如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC,AB丄BC，AB=BC=1，以AB為直徑作半圓0切CD于E,連結(jié)0E,并延長(zhǎng)交AD的延長(zhǎng)線于F.(1) 問ZBOZ能否為120°，并簡(jiǎn)要說明理由；(2) 證明AOFsEDF,且；(3) 求DF的長(zhǎng).思路點(diǎn)撥分解出基本圖形，作出基本輔助線.(1)若ZB0Z=120°，看能否推出矛盾；把計(jì)算與推理融合；(3)把相應(yīng)線段用DF的代數(shù)式表示，利用勾股定理建立關(guān)于DF的一元次方程.注：如圖，在直角梯形ABCD中，若AD+BC=CD，則可得到應(yīng)用廣泛的兩個(gè)性質(zhì)：(1) 以邊AB為直徑的圓與邊CD相切；(2) 以邊CD為直徑的圓與邊AB相切.類似地，三角形三條中線的交點(diǎn)叫三角形的重心，三角形三邊高所在的直線的交點(diǎn)叫三角形的垂心.外心、內(nèi)心、垂心、重心統(tǒng)稱三角形的四心，它們處在三角而中的特殊位置上，有著豐富的性質(zhì)，在解題中有廣泛的應(yīng)用.【例5】如圖，已知RtAABC中，CD是斜邊AB上的高，0、0、0分別是ABC；AACD、12BCD的角平分線的交點(diǎn)，求證：(1)0卩丄C02；(2)0C=0102.思路點(diǎn)撥在直角三角形中，斜邊上的高將它分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似，得對(duì)應(yīng)角相等，所以通過證交角為90°的方法得兩線垂直，又利用全等三角形證明兩線段相等.學(xué)力訓(xùn)練1. 如圖，已知圓外切等腰梯形ABCD的中位線EF=15cm，那么等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)等于=cm2. 如圖，在直角，坐標(biāo)系中A、B的坐標(biāo)分別為(3,0)、(0,4),則RtAABO內(nèi)心的坐標(biāo)是.3. 如圖，梯形ABCD中，ADBC,DC丄BC，AB=8，BC=5，若以AB為直徑的00與DC相切于E，則DC=.4. 如圖，00為AABC的內(nèi)切圓，ZC=90°,A0的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)D，AC=4,CD=1，則00的半徑等于()ACD5. 如圖，在梯形ABCD中，ADBC,ZBCD=90°，以CD為直徑的半圓0切AB于點(diǎn)E,這個(gè)梯形的面積為21cm2，周長(zhǎng)為20cm，那么半圓0的半徑為()A3cmB7cmC3cm或7cmD2cm6. 如圖，ABC中，內(nèi)切圓0和邊B、CA、AB分別相切于點(diǎn)D、EF,則以下四個(gè)結(jié)論中，錯(cuò)誤的結(jié)論是()A.點(diǎn)0是ADEF的外心B.ZAFE=(ZB+ZC)C.ZB0C=90°+ZAD.ZDFE=90°一ZB7. 如圖，BC是00的直徑，AB、AD是00的切線，切點(diǎn)分別為B、P,過C點(diǎn)的切線與AD交于點(diǎn)D,連結(jié)AO、D0.(1) 求證：ABOsOCD；(2) 若AB、CD是關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且Sa+SABO=20，求m的值.AfPD8. 如圖，已知AB是00(的施，BC是00的線,0C與0BC相交于點(diǎn)E.CEB(1) 若BC=,CD=1，求00的半徑;(2) 取BE的中點(diǎn)F,連結(jié)DF,求證：DF是00的切線；(3) 過D點(diǎn)作DG丄BC于G,0G與DG相交于點(diǎn)M,求證：BQC相交于點(diǎn)D,連結(jié)AD并延長(zhǎng),(第9題)DM=GM.9. 如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC,ZB=90°,AD=13cm,BC=16cm,CD=5cm,AB為00的直徑，動(dòng)點(diǎn)P沿AD方向從點(diǎn)A開始向點(diǎn)D以1cm/秒的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q沿CB方向從點(diǎn)C開始向點(diǎn)B以2cm/秒的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)停止時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)(1) 求00的直徑；(2) 求四邊形PQCD的面積y關(guān)于P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)四邊形PQCD為等腰梯形時(shí)，四邊形PQCP的面積；(3) 是否存在某時(shí)刻t,使直線PQ與00相切，若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由10. 已知在ABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,CD為AB上的高，0、0分別為ACD.BCDl2的內(nèi)心，則00=.l211. 如圖，在ABC中，ZC=90°,ZA和ZB的平分線相交于P點(diǎn)，又PE丄AB于點(diǎn)E,若BC=2，AC=3，則AEEB=.12. 如果一個(gè)三角形的面積和周長(zhǎng)都被一直線所平分，那么該直線必通過這個(gè)三角形的()A.內(nèi)心B.外心C.圓心D.重心13. 如圖，AD是AABC的角平分線，00過點(diǎn)AB和BC相切于點(diǎn)P,和AB、AC分別交于點(diǎn)E,F,若BD=AE，且BE=a,CF=b，則AF的長(zhǎng)為()ABCD（第11(第13題)第14題)14. 如圖，在矩形ABCD中，連結(jié)AC，如果0ABC的內(nèi)心，過0作0E丄AD于E,作0F丄CD于F,則矩形OFDE的面積與矩形ABCD的面積的比值為()A.B.C.D.不能確定15. 如圖，AB是半圓的直徑，AC為半圓的切線，AC=AB.在半圓上任取一點(diǎn)D,作DE丄CD,交直線AB于點(diǎn)F,BF丄AB，交線段AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.(1) 設(shè)心是x°的弧，并要使點(diǎn)E在線段BA的延長(zhǎng)線上，則x的取值范圍是；(2) 不論D點(diǎn)取在半圓什么位置，圖中除AB=AC外，還有兩條線段一定相等，指出這兩條相等的線段，并予證明16. 如圖，AABC的三邊滿足關(guān)系BC=(AB+AC),0、I分別為ABC的外心、內(nèi)心，ZBAC的外角平分線交00于E,AI的延長(zhǎng)線交00于D,DE交BC于H.求證：（1）AI=BD；（2）0I=AE.17. 如圖，已知AB是00的直徑，BC是00的切線，OC平行于弦AD,過點(diǎn)D作DE丄AB于點(diǎn)E,連結(jié)AC,與DE交于點(diǎn)F,問EP與PD是否相等?證明你的結(jié)論.18. 如圖，已知點(diǎn)P在半徑為6,圓心角為90°的扇形0AB的AB(不含端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng)，PHI0A于H,0PH的重心為G.(1)當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段GO、GP、GH中有無長(zhǎng)度保持不變的線段?如果有，請(qǐng)指出并求出其相應(yīng)的長(zhǎng)度；(2) 設(shè)PH=x,GP=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出自變量x的取值范圍；(3) 如果APGR為等腰三角形，試求出線段PH的長(zhǎng).參考答案El從三角形的內(nèi)切11談起例例例3例4例PlAOC(3)在RtAAOF中，OF2=AQ+AF2,由AO=寺,AD=DE=*,DF=*OF得(2DFF=(寺尸+(*+df)z,解得DF=9.(l)AB=4cm；(2)PD=(13t),CQ=2“y=#AB(PD+CQ).y=2t+26(0QM8),當(dāng)四邊形PQCD為等腰梯形時(shí)，CQ-【例題求解】ZDCF=180o-ZCFD-ZCDF=180o-ZCFB-ZCBF=ZBCF.(2)RtAAOFcRtAEDF,連OD,則RtAADORtAEDO，ZDCX?=90°,又OE丄DC,:.OE2=DEEC.TCE=BC=1,OE=y,DE=*,：.茅=焉=舟1.602.(1,1)3.27154.A5.D6.D7.(1)略；(2)m=5(2連結(jié)OF,OFAE，ZBOD=2ZA，Z1=Z2,AOBF£/ODF,.；ZODF=ZOBF=90°,FD是®O的切線；(3)DGAB,.錯(cuò)=器=需，AO=BO,.DM=GM.30設(shè)AD=h,貝【JAF=AD=j,CF=CE=2,BE=BD=3,(t+3)2=(t4-2)2+52,得z=10選c器=俵=跟npadbc.連結(jié)AD、CF、DF、EF,ZEDF=ZCDF=45°,ZCFD=180°-ZCAD=180°-ZCDA=180°-ZCFA=ZCFB,(1)ZBOE工120°,連OC,若ZBOE=120°,則OC=1,于是BCV1,這與已知BC=1矛盾;ZEAC+ACE=ZOzCB+zACE=90°,即ZAEC=90°,:.O】O丄CO?;(2)由于點(diǎn)O、Q分別在ZACD和ZDCB的平分線上,:.ZO|CQ=45°,由(1)有ZO|EC=90°，:.CE=O】E.同理可證QF丄CF.Z0(2E=45°,O?E=EO，又ZCEO=ZO?EO,ACEOAOiEQ,CO=OiQ.【學(xué)力訓(xùn)練】(1)./!=ZDCB,.*.ZEAC=ZO2CB16CDPD=2CE,.*.2t-(13-f)=6,r=y，這時(shí)$=乎(曲)；(3)存在.若PQ與圓相切，切點(diǎn)為G,作PH丄BC于H,則PG=AP=t,QG=QB=16-2t,又QH=QB-BH=(162"-£=163/,PQ=BQ+AP=16“由PQ2=PH2-hQH2得(16Q?=16+(163以，解得t=4±/J.10.2參見例500=0,0211.3r=*(5-/U+1),BE=*(VTJ-I.14.A連OH,OH=CF，ZOGH=ZFGC,RtAOHGRtAGFC，同理RtAOHPRtAPEA.則=SOKFDE+SOFC+SPEA=SPAC'D=SqaBCD，故'a<1FDE.JQ口ABCD乙15.可利用特殊位置及對(duì)運(yùn)動(dòng)變化趨勢(shì)的觀察，從反面將不可能的情況排除，或從正面得到BE=BF的猜想.(1)0<r<90；(2):Z!BD=Z/BH+ZHBD=ZABI+ZBA/=ZBJD,.BDDI,由中位線定理得O/=yAE.17.由RtAAEPcoRtAABC,得話=£f，又AD/OC,DAE=COB，則Rt/AEDsRtZOBC,得器=第tab縉，由、得ED=2EP,故DP=PE.A借助面積證明.13.C連ED,EF/7BC,=|=|g,XBD2=BE-AB(2)連結(jié)BD,可證BDFs/ADB,得翳=黑，：DBEDAC,：.ZEDE=ZADC(=90°-ZADE),/.BDEs/XADC,得器=器,；.=卷：BE=BF.ABC的內(nèi)心,BD=DC,且DE為GO的直徑，得DE丄BC,BH=yBC,AG=BH,易證RtAAGJRtABHD,故AI=BD,(1)作IG丄AB,連結(jié)BZ,有AG-f.AB+AC-BC'),VBC=-CAB+AC),：.AG=-BC，由I為18.(1)延長(zhǎng)HG交OP于E,延長(zhǎng)PG交AO于D,VG是AOPH的重心，且ZPHO=90°,.°.GH=#HE=#X*XOP=yX6=2,故在線段GO、GP、GH中有長(zhǎng)度保持不變的線段，就是GH.(2) OH=yOPPH，=736-r?.DH=*OH=寺36#,DP=y/DH2+PH2=>(36-F)+F=y736+3x2Ay=GP=yDP=y/36+3x2(0<x<6);(3) APGH是等腰三角形，有三種可能情況： GP=GH,即寺丿36+3,=,解得工=晶、經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的根且符合題意； GP=GH.即*/36+3F=2,解得工=0,經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的根，但不符合題意； PH=GH,即PH=2,綜上所述，如果PGH是等腰三角形，那么，線段PH的長(zhǎng)等于后或2.