2019-2020年九年級數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座 第五講 一元二次方程的整數(shù)整數(shù)解

2019-2020年九年級數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座第五講一元二次方程的整數(shù)整數(shù)解在數(shù)學(xué)課外活動中，在各類數(shù)學(xué)競賽中，一元二次方程的整數(shù)解問題一直是個熱點，它將古老的整數(shù)理論與傳統(tǒng)的一元二次方程知識相結(jié)合，涉及面廣，解法靈活，綜合性強，備受關(guān)注，解含參數(shù)的一元二次方程的整數(shù)解問題的基本策略有：從求根入手，求出根的有理表達(dá)式，利用整除求解；從判別式手，運用判別式求出參數(shù)或解的取值范圍，或引入?yún)?shù)(設(shè)=)，通過窮舉，逼近求解；從韋達(dá)定理入手，從根與系數(shù)的關(guān)系式中消去參數(shù)，得到關(guān)于兩根的不定方程，借助因數(shù)分解、因式分解求解；從變更主元入人，當(dāng)方程中參數(shù)次數(shù)較低時，可考慮以參數(shù)為主元求解注：一元二次方程的整數(shù)根問題，既涉及方程的解法、判別式、韋達(dá)定理等與方程相關(guān)的知識，又與整除、奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)等整數(shù)知識密切相關(guān)【例題求解】【例1】若關(guān)于的方程(6-k)(9-k)x2-(117-15k)x+54=0的解都是整數(shù)，則符合條件的整數(shù)是的值有個.思路點撥用因式分解法可得到根的簡單表達(dá)式，因方程的類型未指明，故須按一次方程、二次方程兩種情形討論，這樣確定是的值才能全面而準(zhǔn)確注：系數(shù)含參數(shù)的方程問題，在沒有指明是二次方程時，要注意有可能是一次方程，根據(jù)問題的題設(shè)條件，看是否要分類討論【例2】已知、為質(zhì)數(shù)且是方程的根，那么的值是()ABCD思路點撥由韋達(dá)定理、的關(guān)系式，結(jié)合整數(shù)性質(zhì)求出、的值【例3】試確定一切有理數(shù)，使得關(guān)于的方程有根且只有整數(shù)根思路點撥由于方程的類型未確定，所以應(yīng)分類討論當(dāng)時，由根與系數(shù)關(guān)系得到關(guān)于r的兩個等式，消去r利用因式(數(shù))分解先求出方程兩整數(shù)根.【例4】當(dāng)為整數(shù)時，關(guān)于的方程是否有有理根?如果有，求出的值；如果沒有，請說明理由思路點撥整系數(shù)方程有有理根的條件是為完全平方數(shù)設(shè)二(2m+1)2-4(2m-1)=4m2-4m+5=(2m-1)2+4=n2(為整數(shù))解不定方程，討論的存在性注：一元二次方程(aMO)而言，方程的根為整數(shù)必為有理數(shù)，而二為完全平方數(shù)是方程的根為有理數(shù)的充要條件【例5】若關(guān)于的方程至少有一個整數(shù)根，求非負(fù)整數(shù)的值思路點撥因根的表示式復(fù)雜，從韋達(dá)定理得出的的兩個關(guān)系式中消去也較困難，又因的次數(shù)低于的次數(shù)，故可將原方程變形為關(guān)于的一次方程學(xué)歷訓(xùn)練1已知關(guān)于的方程的根都是整數(shù)，那么符合條件的整數(shù)有2. 已知方程有兩個質(zhì)數(shù)解，則m=.3. 給出四個命題：整系數(shù)方程(aMO)中，若為一個完全平方數(shù)，則方程必有有理根；整系數(shù)方程(aMO)中，若方程有有理數(shù)根，則為完全平方數(shù)；無理數(shù)系數(shù)方程(aMO)的根只能是無理數(shù)；若、均為奇數(shù)，則方程沒有有理數(shù)根，其中真命題.4. 已知關(guān)于的一元二次方程(為整數(shù))的兩個實數(shù)根是、則=.5.設(shè)rn為整數(shù)，且4m40，方程x2-2(2m-3)x+4m2-14m+8=0有兩個整數(shù)根，求m的值及方程的根6.已知方程ax2-(3a28a)x+2a213a+15=0(aMO)至少有一個整數(shù)根，求的值.7求使關(guān)于的方程的根都是整數(shù)的值8. 當(dāng)為正整數(shù)時，關(guān)于的方程2x28nx+10xn2+35n76=0的兩根均為質(zhì)數(shù)，試解此方程9. 設(shè)關(guān)于的二次方程(k2-6k+8)x2+(2k2-6k-4)x+k2=4的兩根都是整數(shù)，試求滿足條件的所有實數(shù)的值10. 試求所有這樣的正整數(shù)，使得方程至少有一個整數(shù)解.11已知為質(zhì)數(shù)，使二次方程的兩根都是整數(shù)，求出的所有可能值12已知方程及分別各有兩個整數(shù)根、及、，且>O，>O(1) 求證：O,O，O,O；(2) 求證：；(3) 求、所有可能的值13如果直角三角形的兩條直角邊都是整數(shù)，且是方程的根（為整數(shù)），這樣的直角三角形是否存在?若存在，求出滿足條件的所有三角形的三邊長；若不存在，請說明理由參考答案一元二次方程的整數(shù)解【例題求解】例15當(dāng)A6時，得工=2；當(dāng)怡=9時，得±=3,當(dāng)AH6且"H9時，解得4=吉，乜=占，當(dāng)6T=士1,±3,±9時.xi是整數(shù)，這時人=7,5,3,15,3；當(dāng)9一怡=±1,土2,士3,士6時，為是整數(shù)，這時A=10,8,11,7,12,15,3.綜上所述=3,6,7,9,15時原方程的解為整數(shù).例2選Ba+6=13,則a,6為2,ll,c=a6=22.例3(1)當(dāng)r=O時，得x=y不是整數(shù)；(2)當(dāng)A工0時，設(shè)方程的兩根為Tt,(X1),則X1+X2='X2=于是，2±1工2(心+!>)=2(二9)+匚嚴(yán)=3,有(2q1)(2乜-1=7'：Xi,x2為整數(shù)，且X!<X2,解得:或一彳，則r=_+或”=1.故所求一切有理數(shù)r為一寺或1.例4若=n2(.n為整數(shù)，則(2加一1)2+4=n2(n+2wl)(n2加+1=4Vn+(2m1)與n(2ml)奇偶性相同，故只可能有P+(2w,“'或(“+"1)-解得2m-l=0In(2m1)=2In(2ni1)=2此與m為整數(shù)矛盾，故不可能為完全平方數(shù)，方程不可能有有理根.例50=鳥篇1=(：；箒羅1，解得；一2<6且工工一1山=一2,0,1,2,3,4,5,6分別代入，得a=1,13,(a的分?jǐn)?shù)值已舍去【學(xué)力訓(xùn)練】1.5當(dāng)a=l時,x=l,當(dāng)aHl時,Ti=1,x2=12.39943.4.±15.A=4(2m+1)為完全平方數(shù)，又m為4<m<40的整數(shù)，則m=12或24.當(dāng)m=2時，勸=16,曲=26;當(dāng)觀=24時，七=3c6.顯然=2,4=1從而可得a=l,3或5.7-當(dāng)人=0時.x=l,當(dāng)*工1時，設(shè)兩個整數(shù)根為©，工門則有pl+x2=1-7-一，得©+工2_工1氐=238,4=52.|XX21(x1-1)(x2-1)=3=1X3=(-1)X(-3)得工|+孔=6或勸+孔=一2即_1_+=6或_l-y=-2,解得h=-寺或4=1,故滿足要求的g值為&設(shè)兩質(zhì)數(shù)根為4、亞，則心+孔=4”一5為奇數(shù)，q、孔必一奇-偶，不妨設(shè)小=2,代入原方程得n2-19n+48=0.解得=16«2=3,當(dāng)”=16時，£2=57$當(dāng)72=3時，龍2=5.9-4=一1一總皿=一1一占，消去k得x1xj+3x1+2=0.即m(m+3)=-2.:（工】=_2Ix2+3=1nf仝a=（z+2）2，解得4£工£2,討論得“=1,3,6,10.Xi=1衛(wèi)+3=2工嚴(yán)2,從而得代=6,3,¥觀=一4.$u.A=4p2-4(，一5pl)=4(5p+l)為完全平方數(shù)，從而5p+l為完全平方數(shù)令5p+l=，注意到/>>2,故W>4,且»為整數(shù)，于是5p=(n+l)(n1).則“+1、”一1中至少有一個是5的倍數(shù)，即”=5點±1(點為整數(shù)).*.5p+l=25護±1M+l"=駅5丘土2).由P為質(zhì)數(shù)，5怡士2>1知A=l,p=3或7,當(dāng)0=3時，原方程變?yōu)椴乓?工一7=0,得工】=一1,比=7；當(dāng)p=7時，原方程變?yōu)閤2-14x+13=0,得工i=l,總=13.所以,/>=3或7.12. <1)假設(shè)Xi>0,由XT2>0知t2>0,Xi+2=h=.還與已知Xi2>0,/2>0矛盾，故©<0,業(yè)V0,同理jc1<0*衛(wèi)gV?0.(2) c(6l)=Xix2+工+忌+1=(工1+1)(工2+1)0,故cb1，對于方程x2十工+5=0進(jìn)行同樣討論，得bc1,綜上有6-lWcWb+l.(3) 當(dāng)c=b+l時x2=-x1-x2+l.從而(+1)(+1)=2=(-l)X(-2)=1X2.(工1+1=1匕1+1=2故,c或由此算出&=5"=6符合題意*IJ-2+12Ix2+11 當(dāng)c=b9有小勸=(工1+比，從而(4+l)(x2+1)=1,因此，4=孔=2+故b=w=4、符合題意. 當(dāng)c=bT時，&=c+l,對方程ri+cx+b=0作類似討論有方=6丄=5,綜上所述得三組值.(趴C=(6,5),(5,6),(4,4).13. 鞏2=片化廠皿+1，當(dāng)勿=1時，丄=2或0,這樣的直角三角形不存在，假設(shè)還存在不為0或1的整數(shù)加,使得方程有整數(shù)抿，則m2zw+1=A2(A為整數(shù))*即m2mk11,必有m(m1)=(1)(+1),而m(ml)是兩個連續(xù)的不為0的整數(shù)的乘積，但是U-1)和d+l)、l和(k2l)都不是連續(xù)整數(shù)，故mO且時，旳2砒+1不是某整數(shù)的平方.綜上所述，滿足條件的直角三角形不存在.