電類高等數(shù)學電子教案第三章習題及解答

第三章 極限與連續(xù)練習題3.11觀察下列數(shù)列的變化趨勢若極限存在，求出該極限（1）； （2）； （3）解：（1）當時，（2）當時，沒有極限（3）當時，2判斷下列命題是否真命題如果不真，指出錯誤（1）若存在，則有意義；（2）若和都存在，則極限一定存在；（3）如果，那么；（4）如果，那么不存在解：（1）假命題。存在與無關(guān)；（2）假命題。若和都存在且相等，則極限存在；（3）假命題。如果，那么；（4）真命題。3求下列函數(shù)在處的左右極限，并指出當時，函數(shù)的極限是否存在（1）； （2）解：（1），故 （2），故 不存在練習題3.21判斷下列各命題是否為真命題如果不是，指出錯在哪里（1）無窮大必須是正數(shù)； （2）是無窮??；（3）任意多個無窮小的和仍是無窮小； （4）無窮小的倒數(shù)是無窮大解：都是假命題2利用無窮小的性質(zhì)求下列極限（1）； （2）；（3）； （4）解：（1），因為當時，為無窮小量，而，所以（2）因為當時，為無窮小量，而，所以（3）因為當時，為無窮小量，而，所以 （4）因為當時，為無窮小量，也為無窮小量，所以3下列函數(shù)在什么條件下是無窮小?在什么條件下是無窮大?為什么?（1）； （2）解：（1），故當時，為無窮大量；當時，為無窮小量（2），故當時，為無窮大量；當時，為無窮小量練習題3.3求下列函數(shù)的極限:1； 2；3； 4；5； 6；7； 8；9； 10；11； 12；13； 14解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）練習題3.4計算下列極限:（1）； （2），；（3）； （4）；（5）； （6）(為正整數(shù))解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）（為正整數(shù)）練習題3.51當時，無窮小和(1)，2 是否同階?是否等價?解：（1），故當時，與是同階無窮小，但不等價；（2），故當時，與是等價無窮小2利用等價無窮小的性質(zhì)求下列極限:（1）； （2）；（3）； （4）解：（1），則；（2），則；（3），則；（4），則練習題3.61 討論函數(shù)，在處的連續(xù)性解：，故在點連續(xù)2求下列函數(shù)的間斷點，并判斷其類型:（1）； （2）解：（1）的定義域為，在處，故 是的第二類間斷點；（2），故是的跳躍間斷點3設(shè)，試問為何值時函數(shù)在處連續(xù)?解：，當時，函數(shù)在處連續(xù)練習題3.71求下列極限:（1）； （2）；（3）； （4）解：（1）；（2）；（3）；（4）2 證明：方程至少有一個小于的正根解：令，在上連續(xù)，且，由根的存在定理，至少存在一點，使，即方程至少有一個小于的正根習題三1判斷正誤：（1）若函數(shù)在處極限存在，則在處連續(xù)（2）分段函數(shù)必有間斷點（3）與是時的等價無窮?。?）無界函數(shù)不一定是無窮大量解：（1）錯（2）錯（3）對（4）對2設(shè) 求，解：；，故；3求下列極限（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （7）；（9）； （10）；（11）； （12）；（13）； （14） 解：（1）因為當時，為無窮小量，為有界變量，故；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）因為 ，所以 ；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）4試證:當時，與均為無窮小，并對這兩個無窮小進行比較解：因為，故當時，與均為無窮小量又，所以當時，與是同階無窮小5討論下列函數(shù)的連續(xù)性如有間斷點，指出其類型（1）； （2） ；解：（1）函數(shù) 在上連續(xù)，在點無定義，故是函數(shù)的間斷點因為，所以是函數(shù)的可去間斷點不存在，所以是函數(shù)的無窮間斷點（2）函數(shù)在上連續(xù)，在處，因為，并且，所以，從而是函數(shù)的可去間斷點6設(shè)求的間斷點，并說明間斷點所屬類型解：因為 ，故是函數(shù)的第一類間斷點，是跳躍間斷點又，故 是函數(shù)的第二類間斷點7設(shè)要使在內(nèi)連續(xù)，應(yīng)當怎樣選擇數(shù)?解：，當時，,所以在處連續(xù)，從而在內(nèi)連續(xù)10