八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊 第13章 軸對稱 13.4《課題學(xué)習(xí) 最短路徑問題（2）》課件 新人教版.ppt

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13.4最短路徑問題,第二課時(shí),,,（1）在平面內(nèi)，一個(gè)圖形沿一定方向、移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形變換稱為平移變換（簡稱平移）.平移不改變圖形的形狀和大小.（2）三角形三邊的數(shù)量關(guān)系：三角形兩邊的差小于第三邊.,上節(jié)課我們認(rèn)識(shí)了精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的學(xué)者海倫，解決了數(shù)學(xué)史中的經(jīng)典問題——“將軍飲馬問題”，但善于觀察與思考的海倫在解決“兩點(diǎn)（直線同側(cè)）一線”的最短路徑問題時(shí)他從另一角度發(fā)現(xiàn)了“最大值”的情況，今天我們一起來探究下.,探究一：運(yùn)用軸對稱解決距離之差最大問題,活動(dòng)1,回顧舊知，引入新知,探究一：運(yùn)用軸對稱解決距離之差最大問題,活動(dòng)2,整合舊知，探究新知,例1.如圖，A、B兩點(diǎn)在直線l的異側(cè)，在直線l上求作一點(diǎn)C，使｜AC－BC｜的值最大．,怎么作圖呢？,【思路點(diǎn)撥】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)、利用三角形三邊的關(guān)系，通過比較來說明最值問題是常用的一種方法.此題的突破點(diǎn)是作點(diǎn)A(或點(diǎn)B)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′(或B′)，利用三角形任意兩邊之差小于第三邊，再作直線A′B(AB′)與直線l交于點(diǎn)C.,解：如圖1所示，以直線l為對稱軸，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′，A′B的延長線交l于點(diǎn)C，則點(diǎn)C即為所求．,探究一：運(yùn)用軸對稱解決距離之差最大問題,回憶我們是怎么利用軸對稱的知識(shí)證明“兩點(diǎn)（直線同側(cè)）一線型”時(shí)AC+BC最小的嗎？試類比證明“｜AC－BC｜最大”的作法是否正確性？,探究一：運(yùn)用軸對稱解決距離之差最大問題,活動(dòng)3,類比建模，證明新知,理由：在直線l上任找一點(diǎn)C′(異于點(diǎn)C)，連接CA，C′A，C′A′，C′B.因?yàn)辄c(diǎn)A，A′關(guān)于直線l對稱，所以l為線段AA′的垂直平分線，則有CA＝CA′，所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因?yàn)辄c(diǎn)C′在l上，所以C′A＝C′A′.又在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A′－C′B＜CA－CB.,練習(xí)點(diǎn)A、B均在由面積為1的相同小矩形組成的網(wǎng)格的格點(diǎn)上，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示.若P是x軸上使得|PA－PB|的值最大的點(diǎn)，Q是y軸上使得QA+QB的值最小的點(diǎn)，請?jiān)趫D中畫出點(diǎn)P與點(diǎn)Q.,【思路點(diǎn)撥】當(dāng)點(diǎn)P與A、B共線時(shí)，即在線段AB的延長線上，點(diǎn)P為直線AB與x軸的交點(diǎn)，則此時(shí)P是x軸上使得|PA－PB|的值最大的點(diǎn)，即｜PA－PB｜=AB.將點(diǎn)A、B看成y軸同側(cè)有兩點(diǎn)：在y軸上求一點(diǎn)Q，使得QA+QB最小,探究一：運(yùn)用軸對稱解決距離之差最大問題,如圖，點(diǎn)P與點(diǎn)Q即為所求.,解：⑴延長線段AB，AB與x軸交于點(diǎn)P，則此時(shí)P是x軸上使得|PA－PB|的值最大的點(diǎn)，即｜PA－PB｜=AB；⑵作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A′，A′B的連線交y軸于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q是y軸上使得QA+QB的值最小的點(diǎn).,探究一：運(yùn)用軸對稱解決距離之差最大問題,常說“遇山開路，遇水搭橋”，生活中的建橋問題與我們所學(xué)習(xí)的軸對稱有什么關(guān)系呢？如圖，在筆直河岸CD上的點(diǎn)A處需建一座橋，連接河岸EF，且CD∥EF.顯然當(dāng)橋AB垂直于河岸時(shí)，所建的橋長最短.,探究二：利用平移解決造橋選址問題,活動(dòng)1,結(jié)合實(shí)際，難點(diǎn)分解,重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲,例2.如圖，A、B兩地位于一條河的兩岸，現(xiàn)需要在河上建一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假設(shè)河的兩岸是平行的直線，橋要與河岸垂直）,探究二：利用平移解決造橋選址問題,活動(dòng)2,生活中的實(shí)際問題,重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲,【思路點(diǎn)撥】需將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題：從點(diǎn)A到點(diǎn)B要走的路線是A→M→N→B，如圖所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可．如圖1，此時(shí)兩線段AM、BN應(yīng)在同一平行方向上，平移MN到AA′，則AA′=MN，AM+NB=A′N+NB，這樣問題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)N在直線b的什么位置時(shí)，A′N+NB最??？,圖1,探究二：利用平移解決造橋選址問題,重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲,如圖2，連接A′，B兩點(diǎn)的線中，線段A′B最短，因此，線段A′B與直線b的交點(diǎn)N的位置即為所求，即在點(diǎn)N處造橋MN，所得路徑A→M→N→B是最短的.,圖2,作法：⑴如圖2，平移MN到AA′（或者過點(diǎn)A作AA′垂直于河岸），且使AA′等于河寬．⑵連接BA′與河岸的一邊b交于點(diǎn)N.⑶過點(diǎn)N作河岸的垂線交另一條河岸a于點(diǎn)M.如圖所示，則MN為所建的橋的位置．,探究二：利用平移解決造橋選址問題,重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲,上述作圖為什么是最短的？請你想想.,探究二：利用平移解決造橋選址問題,活動(dòng)3,幾何證明,重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲,證明：由平移的性質(zhì)，得MN∥AA′，且MN=AA′，AM=A′N，AM∥A′N，所以A、B兩地的距離：AM+MN+BN=AA′+A′N+BN=AA′+A′B.如圖2，不妨在直線b上另外任意取一點(diǎn)N′，若橋的位置建在N′M′處，過點(diǎn)N′作N′M′⊥a，垂足為M′，連接AM′，A′N′，N′B.由平行知：AM′=A′N′，AA′=N′M′，則建橋后AB兩地的距離為：AM′+M′N′+N′B=A′N′+AA′+N′B=AA′+A′N′+N′B.在△A′N′B中，∵A′N′+N′B＞A′B，∴AA′+A′N′+N′B＞AA′+A′B，即AM′+M′N′+N′B＞AM+MN+BN.所以橋建在MN處，AB兩地的路程最短.,圖2,練習(xí)如圖1，江岸兩側(cè)有A、B兩個(gè)城市，為方便人們從A城經(jīng)過一條大江到B城的出行，今欲在江上建一座與兩岸垂直的大橋，且筆直的江岸互相平行.應(yīng)如何選擇建橋的位置，才能使從A地到B地的路程最短？,解：(1)如圖2，過點(diǎn)A作AC垂直于河岸，且使AC等于河寬；(2)連接BC與河岸的一邊交于點(diǎn)N；(3)過點(diǎn)N作河岸的垂線交另一條河岸于點(diǎn)M.如圖2所示，則MN為所建的橋的位置．,探究二：利用平移解決造橋選址問題,重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲,知識(shí)梳理,,本堂課主要知識(shí)為兩個(gè)最值問題：（1）利用軸對稱知識(shí)解決“線段距離之差最大”問題；（2）利用平移、兩點(diǎn)間線段最短解決“造橋選址”問題．,重難點(diǎn)歸納,,解決線段最值問題時(shí)，我們通常利用軸對稱、平移等變換把不在一條直線上的兩條線段轉(zhuǎn)化到一條直線上，從而作出最短路徑的方法來解決問題．,（1）“距離之差最大”問題的兩種模型：①如果兩點(diǎn)在一條直線的同側(cè)時(shí)，過兩點(diǎn)的直線與原直線的交點(diǎn)處構(gòu)成線段的差最大；②如果兩點(diǎn)在一條直線的異側(cè)時(shí)，先作其中一點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為①即可.通常求最大值或最小值的情況，常取其中一個(gè)點(diǎn)的對稱點(diǎn)來解決，而用三角形三邊的關(guān)系來推證說明其作法的正確性．,重難點(diǎn)歸納,,（2）“造橋選址”問題的關(guān)鍵是把各條線段轉(zhuǎn)化到一條線段上．解決連接河兩岸的兩個(gè)點(diǎn)的最短路徑問題時(shí)，可以通過平移河岸的方法使河的寬度變?yōu)榱?，轉(zhuǎn)化為求直線異側(cè)的兩點(diǎn)到直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問題．,