不定積分的概念與性質.ppt

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第一節(jié)不定積分的概念與性質,原函數與不定積分的概念基本積分表不定積分的性質,,1/22,第四章不定積分,加法和乘法有逆運算——減法和除法，,微分法的逆運算——積分法。,微分法：,已知一個函數，求其導數或微分。,積分法：,求一個函數，使其導數是一個已知函數。,背景：,已知速度求路程、已知加速度求速度、已知切線斜率求曲線等。,微分法:,積分法:,互逆運算,,例,一、原函數與不定積分的概念,定義若在I上恒有F?(x)=f(x)（即dF(x)=f(x)dx），稱F(x)為f(x)在I上的一個原函數。,,,問題：,(1)滿足什么條件的函數有原函數？若有，是否唯一？,(2)若不唯一它們之間有什么聯系？,(3)若原函數存在，如何求出？,,,==,定理1(原函數存在定理)：,簡言之：連續(xù)函數一定有原函數.,——這個定理下一章證明。,,,定理2(關于原函數的說明)：,（1）若，則對于任意常數，,（2）若和都是的原函數，,則,（為任意常數）,證,（為任意常數）,簡言之：同一函數的任意兩個原函數必相差一個常數。,,,不定積分的定義：,函數f在區(qū)間I上的全體原函數稱為f在I上的不定積分，,不定積分與原函數是總體與個體的關系。,設F(x)是f(x)的一個原函數，則f(x)的不定積分是一個函數族{F(x)+C},寫作：,,,前面幾例可寫作：,后兩個不易直接看出，需要依賴積分法。,,,例1求,解,解,例2求,,,例3設曲線通過點（1，2），且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標的兩倍，求此曲線方程.,解,設曲線方程為,根據題意知,由曲線通過點（1，2）,所求曲線方程為,,,不定積分的幾何意義:,的原函數的圖形稱為,的圖形,,的所有積分曲線組成,的平行曲線族.,,,,,,,,,,,,,的積分曲線.,每條積分曲線上，橫坐標相同的點處的切線是平行的。,,例3,微分運算與求不定積分的運算是互逆的:,=,=,由此可知：,+C,,+C.,,,實例,結論,既然積分運算和微分運算是互逆的，因此可以根據求導公式得出積分公式.,二、基本積分表,,,基本積分表?,是常數);,,,,,,,求不定積分的基本思想（仍然）是化繁為簡——將所求積分化為基本積分表中的積分。,解,根據冪函數的積分公式,,例4求,（恒等變形法）,,,三、不定積分的（線性）性質,例5,,,例7,例8,,,例9,例10,,,例11,例12,,,例14,例15,,,內容小結,1.不定積分的概念,?原函數與不定積分的定義,?不定積分的性質,?基本積分表(見P188),2.直接積分法:,利用恒等變形,,,及基本積分公式進行積分.,常用恒等變形方法,分項積分,加項減項,利用三角公式,代數公式,,積分性質,思考與練習,1.證明,2.若,提示:,3.若,是,的原函數,則,提示:已知,4.若,的導函數為,則,的一個原函數,是().,提示:已知,求,即,B,?,?,或由題意,其原函數為,5.求下列積分:,提示:,6.求不定積分,解：,7.已知,求A,B.,解:等式兩邊對x求導,得,,作業(yè),習題4-1,