2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四講 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 一 數(shù)學(xué)歸納法練習(xí) 新人教A版選修4-5

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1、一 數(shù)學(xué)歸納法 ,　　　　　　　　[學(xué)生用書(shū)P56]) [A　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)] 1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法證明中，在驗(yàn)證了n＝1時(shí)命題正確，假定n＝k時(shí)命題正確，此時(shí)k的取值范圍是(　　) A．k∈N　　 B．k>1，k∈N＋ C．k≥1，k∈N＋ D．k>2，k∈N＋ 解析：選C.數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法，所以k是正整數(shù)，又第一步是遞推的基礎(chǔ)，所以k大于等于1. 2．設(shè)f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，則f(n＋1)－f(n)等于(　　) A． B．＋ C．＋ D．＋＋ 解析：選D.因?yàn)閒(n)＝1＋＋＋…＋， 所以f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋，

2、 所以f(n＋1)－f(n)＝＋＋. 3．用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xn＋yn能被x＋y整除”，第二步歸納假設(shè)應(yīng)該寫(xiě)成(　　) A．假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋)時(shí)，xn＋yn能被x＋y整除 B．假設(shè)當(dāng)n＝2k(k∈N＋)時(shí)，xn＋yn能被x＋y整除 C．假設(shè)當(dāng)n＝2k＋1(k∈N＋)時(shí)，xn＋yn能被x＋y整除 D．假設(shè)當(dāng)n＝2k－1(k∈N＋)時(shí)，xn＋yn能被x＋y整除 答案：D 4．用數(shù)學(xué)歸納法證明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)(n∈N＋)”時(shí)，從n＝k到n＝k＋1，等式左邊需要增乘的代數(shù)式是(　　) A．2k＋1 B．

3、 C．2(2k＋1) D． 解析：選C.當(dāng)n＝k時(shí)，等式左邊為(k＋1)(k＋2)…(k＋k)； 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式左邊為 (k＋2)(k＋3)…(k＋1＋k＋1) ＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2) ＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)·， 即增乘了＝2(2k＋1)． 5．在用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1＋2＋3＋…＋2n＝2n2＋n(n∈N*)的第(ii)步中，假設(shè)n＝k時(shí)原等式成立，那么在n＝k＋1時(shí)需要證明的等式為(　　) A．1＋2＋3＋…＋2k＋2(k＋1)＝2k2＋k＋2(k＋1)2＋(k＋1) B．1＋2＋3＋…＋2k＋2(k＋1)＝2(k

4、＋1)2＋(k＋1) C．1＋2＋3＋…＋2k＋2k＋1＋2(k＋1)＝2k2＋k＋2(k＋1)2＋(k＋1) D．1＋2＋3＋…＋2k＋2k＋1＋2(k＋1)＝2(k＋1)2＋(k＋1) 解析：選D.因?yàn)橛脭?shù)學(xué)歸納法證明等式1＋2＋3＋…＋2n＝2n2＋n時(shí)， 當(dāng)n＝1時(shí)左邊所得的項(xiàng)是1＋2； 假設(shè)n＝k時(shí)，命題成立，1＋2＋3＋…＋2k＝2k2＋k， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左端為1＋2＋3＋…＋2k＋2k＋1＋2(k＋1)， 所以1＋2＋3＋…＋2k＋2k＋1＋2(k＋1)＝2(k＋1)2＋(k＋1)．故選D. 6．用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，設(shè)f(k)＝1×4＋2×7＋…＋k(3k＋

5、1)＝k(k＋1)2，則f(k＋1)＝________． 解析：f(k＋1)＝1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋ (k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2. 答案：(k＋1)(k＋2)2 7．用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)”的過(guò)程中，第二步假設(shè)n＝k時(shí)等式成立，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)應(yīng)得到________． 解析：因?yàn)閚＝k時(shí)，命題為“1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1”， 所以n＝k＋1時(shí)，為使用歸納假設(shè)， 應(yīng)寫(xiě)成1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1. 答案：1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1 8．已知平面上有n

6、(n∈N＋，n≥3)個(gè)點(diǎn)，其中任何三點(diǎn)都不共線，過(guò)這些點(diǎn)中任意兩點(diǎn)作直線，設(shè)這樣的直線共有f(n)條，則f(3)＝________，f(4)＝________，f(5)＝________，f(n＋1)＝f(n)＋________． 解析：當(dāng)n＝k時(shí)，有f(k)條直線．當(dāng)n＝k＋1時(shí)，增加的第k＋1個(gè)點(diǎn)與原k個(gè)點(diǎn)共連成k條直線，即增加k條直線，所以f(k＋1)＝f(k)＋k. 又f(2)＝1， 所以f(3)＝3，f(4)＝6，f(5)＝10，f(n＋1)＝f(n)＋n. 答案：3　6　10　n 9．用數(shù)學(xué)歸納法證明：1×2×3＋2×3×4＋…＋n(n＋1)(n＋2)＝(n∈N＋)．

7、證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1×2×3＝6，右邊＝＝6，等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)等式成立，即 1×2×3＋2×3×4＋…＋k(k＋1)(k＋2) ＝， 那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1×2×3＋2×3×4＋…＋k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)(k＋2)(k＋3)＝＋(k＋1)(k＋2)(k＋3)＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)(k＋4)． 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)等式成立． 綜合上述(1)(2)得，對(duì)一切正整數(shù)n，等式都成立． 10．證明：凸n邊形的對(duì)角線的條數(shù)為f(n)＝n(n－3)(n≥4，n∈N＋)． 證明：(1)當(dāng)n＝4時(shí)，四邊形有兩條對(duì)角線，f(4)＝×

8、4×(4－3)＝2，命題成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥4，n∈N＋)時(shí)命題成立， 即f(k)＝k(k－3)，那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，增加一個(gè)頂點(diǎn)，凸多邊形的對(duì)角線增加k－1條，則f(k＋1)＝k(k－3)＋k－1＝(k2－k－2)＝(k＋1)(k－2)＝(k＋1)[(k＋1)－3]， 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立． 根據(jù)(1)(2)，可知命題對(duì)任意的n≥4，n∈N＋都成立． [B　能力提升] 1．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然數(shù)m，使得對(duì)任意n∈N＋，都能使m整除f(n)，則最大的m的值為(　　) A．30 B．26 C．36 D．6 解析：選C.因?yàn)閒

9、(1)＝36，f(2)＝108＝3×36，f(3)＝360＝10×36， 所以f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除． 證明如下：n＝1，2時(shí)，由上得證，設(shè)n＝k(k≥2，k∈N＋)時(shí)，f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除，則f(k＋1)－f(k)＝(2k＋9)·3k＋1－(2k＋7)·3k ＝(6k＋27)·3k－(2k＋7)·3k ＝(4k＋20)·3k＝36(k＋5)·3k－2， 故f(k＋1)能被36整除． 因?yàn)閒(1)不能被大于36的數(shù)整除， 所以所求最大的m值等于36. 2．用數(shù)學(xué)歸納法證明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n

10、－1)2＋…＋22＋12＝時(shí)，由n＝k的假設(shè)到證明n＝k＋1時(shí)，等式左邊應(yīng)添加的式子是________． 解析：n＝k時(shí)等式為12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12＝， n＝k＋1時(shí)等式為12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12＝. 所以n＝k＋1時(shí)等式左邊比n＝k時(shí)等式左邊增加了k2＋(k＋1)2. 答案：k2＋(k＋1)2(或2k2＋2k＋1) 3．已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，a2＝1，當(dāng)n∈N＋時(shí)，an＋2＝an＋1＋an，求證：數(shù)列{an}的第4m＋1項(xiàng)(m∈N＋)能被3整除． 證明：(1)當(dāng)m＝1時(shí)，

11、 a4m＋1＝a5＝a4＋a3＝(a3＋a2)＋(a2＋a1)＝(a2＋a1)＋2a2＋a1＝3a2＋2a1＝3＋0＝3. 即當(dāng)m＝1時(shí)，第4m＋1項(xiàng)能被3整除． (2)假設(shè)當(dāng)m＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)，a4k＋1能被3整除，則當(dāng)m＝k＋1時(shí)，a4(k＋1)＋1＝a4k＋5＝a4k＋4＋a4k＋3＝2a4k＋3＋a4k＋2＝2(a4k＋2＋a4k＋1)＋a4k＋2＝3a4k＋2＋2a4k＋1. 顯然，3a4k＋2能被3整除，又由假設(shè)知a4k＋1能被3整除． 所以3a4k＋2＋2a4k＋1能被3整除． 即當(dāng)m＝k＋1時(shí)，a4(k＋1)＋1也能被3整除． 由(1)和(2)知，對(duì)于n

12、∈N＋，數(shù)列{an}中的第4m＋1項(xiàng)能被3整除． 4．求證：tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(n－1)α·tan nα＝－n(n≥2，n∈N＋)． 證明：(1)當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝tan α·tan 2α， 右邊＝－2＝·－2＝－2 ＝＝＝tan α·tan 2α， 等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N＋)時(shí)等式成立，即有： tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(k－1)α·tan kα＝－k. 當(dāng)n＝k＋1時(shí)， tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(k－1)α·tan kα＋tan kα·tan(k＋1)α ＝－k＋tan kα·tan(k＋1)α ＝－k ＝[1＋tan(k＋1)α·tan α]－k ＝[tan(k＋1)α－tan α]－k ＝－(k＋1)． 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立． 6