2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 二 推理與證明練習(xí) 新人教A版選修2-2

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1、二 推理與證明 [A　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)] 1.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為（　?。? A.2 B.－ C. D.－ 解析：選A.因?yàn)椋剑绞羌兲摂?shù)，所以a＝2. 2.已知復(fù)數(shù)z1＝＋i，z2＝－＋i，則z＝在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（　?。? A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：選D.因?yàn)閦1＝＋i，z2＝－＋i，所以z＝＝＝＝－i，所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限.故選D. 3.對(duì)于數(shù)25，規(guī)定第1次操作為23＋53＝133，第2次操作為13＋33＋33＝55，第3次操作為53＋53＝250，如此反復(fù)操作，則第2 018次操作后得到的

2、數(shù)是（　?。? A.25 B.250 C.55 D.133 解析：選C.由規(guī)定：第1次操作為23＋53＝133，第2次操作為13＋33＋33＝55，第3次操作為53＋53＝250，第4次操作為23＋53＋03＝133，……，故操作得到的數(shù)值周期出現(xiàn)，且周期為3.又2 018＝3×672＋2，故第2 018次操作后得到的數(shù)等于第2次操作后得到的數(shù)，即55，故選C. 4.已知命題1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1（n∈N*）及其證明： （1）當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝21－1＝1，所以等式成立； （2）假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，則當(dāng)n＝k

3、＋1時(shí)，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1，所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)等式也成立. 由（1）（2），知對(duì)任意的正整數(shù)n等式都成立. 則以下說(shuō)法正確的是（　?。? A.命題、推理都正確 B.命題正確、推理不正確 C.命題不正確、推理正確 D.命題、推理都不正確 解析：選B.命題正確，但證明n＝k＋1時(shí)沒(méi)有用到假設(shè)的結(jié)論，故推理不正確. 5.對(duì)“a，b，c是不全相等的正數(shù)”，給出下列判斷： ①（a－b）2＋（b－c）2＋（c－a）2≠0； ②a＝b與b＝c及a＝c中至少有一個(gè)成立； ③a≠c，b≠c，a≠b不能同時(shí)成立. 其中判斷正確的個(gè)數(shù)為（　?。? A.0 B.

4、1 C.2 D.3 解析：選B.若（a－b）2＋（b－c）2＋（c－a）2＝0，則a＝b＝c，與“a，b，c是不全相等的正數(shù)”矛盾，故①正確.a＝b與b＝c及a＝c中最多只能有一個(gè)成立，故②不正確.由于“a，b，c是不全相等的正數(shù)”，有兩種情形：至多有兩個(gè)數(shù)相等或三個(gè)數(shù)都互不相等，故③不正確. 6.已知m∈R，復(fù)數(shù)－的實(shí)部和虛部相等，則m＝　　　　. 解析：由－＝－＝－＝，由已知得＝，則m＝. 答案： 7.在平面幾何中：△ABC中∠C的內(nèi)角平分線(xiàn)CE分AB所成線(xiàn)段的比為＝.把這個(gè)結(jié)論類(lèi)比到空間：在三棱錐A-BCD中（如圖），DEC平分二面角A-CD-B且與AB相交于E，則得到類(lèi)

5、比的結(jié)論是　　　?。? 解析：由平面中線(xiàn)段的比轉(zhuǎn)化為空間中面積的比可得＝. 答案：＝ 8.觀(guān)察下列等式： S1＝n2＋n， S2＝n3＋n2＋n， S3＝n4＋n3＋n2， S4＝n5＋n4＋n3－n， S5＝An6＋n5＋n4＋Bn2， … 可以推測(cè)，A－B＝　　　　. 解析：由S1，S2，S3，S4，S5的特征，推測(cè)A＝.又Sk的各項(xiàng)系數(shù)的和為1，所以A＋＋＋B＝1，所以B＝－.故A－B＝＋＝. 答案： 9.已知|x|≤1，|y|≤1，用分析法證明：|x＋y|≤|1＋xy|. 證明：要證|x＋y|≤|1＋xy|， 即證（x＋y）2≤（1＋xy）2， 即證

6、x2＋y2≤1＋x2y2， 即證（x2－1）（1－y2）≤0， 因?yàn)閨x|≤1，|y|≤1， 所以x2－1≤0，1－y2≥0， 所以（x2－1）（1－y2）≤0，不等式得證. 10.設(shè)f（x）＝，g（x）＝（其中a>0，且a≠1）. （1）5＝2＋3，請(qǐng)你推測(cè)g（5）能否用f（2），f（3），g（2），g（3）來(lái)表示； （2）如果（1）中獲得了一個(gè)結(jié)論，請(qǐng)你推測(cè)能否將其推廣. 解：（1）由f（3）g（2）＋g（3）f（2）＝·＋·＝， 又g（5）＝， 因此g（5）＝f（3）g（2）＋g（3）f（2）. （2）由g（5）＝f（3）g（2）＋g（3）f（2）， 即g（2＋3

7、）＝f（3）g（2）＋g（3）f（2）， 于是推測(cè)g（x＋y）＝f（x）g（y）＋g（x）f（y）. 證明：因?yàn)閒（x）＝， g（x）＝（大前提）. 所以g（x＋y）＝， g（y）＝，f（y）＝， （小前提及結(jié)論） 所以f（x）g（y）＋g（x）f（y） ＝·＋· ＝ ＝g（x＋y）.故推測(cè)正確. [B　能力提升] 11.定義：如果函數(shù)y＝f（x）在定義域內(nèi)的給定區(qū)間[a，b]上存在x0（a

8、＝x3＋mx是[－1，1]上的平均值函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是　　　　. 解析：由f（x）＝x3＋mx是[－1，1]上的平均值函數(shù)，知關(guān)于x的方程x3＋mx＝在區(qū)間（－1，1）上有解，即方程x3＋mx－m－1＝0在區(qū)間（－1，1）上有解，就是方程m＝－x2－x－1在區(qū)間（－1，1）上有解.因?yàn)楫?dāng)x∈（－1，1）時(shí)，－x2－x－1＝－－∈，所以m的取值范圍是. 答案： 12.傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上畫(huà)點(diǎn)或用小石子表示數(shù).他們研究過(guò)如圖所示的三角形數(shù)： 將三角形數(shù)1，3，6，10，…記為數(shù)列{an}，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列{bn}.可以

9、推測(cè)： （1）b2 016是數(shù)列{an}中的第　　　　項(xiàng)； （2）b2k－1＝　　　?。ㄓ胟表示）. 解析：觀(guān)察知這些三角形數(shù)滿(mǎn)足an＝，n∈N*，當(dāng)n＝5k－1或n＝5k，k∈N*時(shí)，對(duì)應(yīng)的三角形數(shù)是5的倍數(shù)，為數(shù)列{bn}中的項(xiàng)，將5k－1和5k列為一組，所以b2 016是第1 008組的后面一項(xiàng)，即b2 016是數(shù)列{an}中的第5×1 008＝5 040項(xiàng)；b2k－1是第k組的前面一項(xiàng)，是數(shù)列{an}中的第5k－1項(xiàng)，即b2k－1＝a5k－1＝. 答案：（1）5 040?。?） 13.設(shè)直線(xiàn)l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中實(shí)數(shù)k1，k2滿(mǎn)足k1k2＋2＝0.

10、 （1）證明：l1與l2相交； （2）證明：l1與l2的交點(diǎn)在橢圓2x2＋y2＝1上. 證明：（1）假設(shè)直線(xiàn)l1與l2不相交，則l1與l2平行， 由直線(xiàn)l1與l2的方程可知實(shí)數(shù)k1，k2分別為兩直線(xiàn)的斜率，則有k1＝k2， 代入k1k2＋2＝0，消去k1，得k＋2＝0，k2無(wú)實(shí)數(shù)解，這與已知k2為實(shí)數(shù)矛盾， 所以k1≠k2，即l1與l2相交. （2）法一：由方程組，解得 故l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為. 而2＋ ＝ ＝＝1. 此即表明l1與l2的交點(diǎn)在橢圓2x2＋y2＝1上. 法二：l1與l2的交點(diǎn)P的坐標(biāo)（x，y）滿(mǎn)足故知x≠0. 從而 代入k1k2＋2＝0， 得·＋

11、2＝0， 整理后，得2x2＋y2＝1， 所以交點(diǎn)P在橢圓2x2＋y2＝1上. 14.（選做題）觀(guān)察下列各不等式： 1＋<， 1＋＋<， 1＋＋＋<， 1＋＋＋＋<， … （1）由上述不等式，歸納出一個(gè)與正整數(shù)n（n≥2）有關(guān)的一般性結(jié)論； （2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你得到的結(jié)論. 解：（1）觀(guān)察上述各不等式，得到與正整數(shù)n有關(guān)的一般不等式為1＋＋＋＋…＋<（n∈N*，且n≥2）. （2）證明：①當(dāng)n＝2時(shí)，由題設(shè)可知，不等式顯然成立. ②假設(shè)當(dāng)n＝k（k≥2，k∈N*）時(shí)，不等式成立，即 1＋＋＋＋…＋<， 那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，有 1＋＋＋＋…＋＋<＋<＋＝＋＝2－＝. 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式也成立. 根據(jù)①和②，可知不等式對(duì)任何n∈N*且n≥2都成立. 7