2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二講 證明不等式的基本方法 三 反證法與放縮法練習(xí) 新人教A版選修4-5
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2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二講 證明不等式的基本方法 三 反證法與放縮法練習(xí) 新人教A版選修4-5
三 反證法與放縮法,學(xué)生用書P34)A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1應(yīng)用反證法推出矛盾的推導(dǎo)過程中,要把下列哪些作為條件使用()與結(jié)論相反的判斷,即假設(shè);原命題的條件;公理、定理、定義等;原結(jié)論ABC D解析:選C.由反證法的推理原理可知,反證法必須把結(jié)論的相反判斷作為條件應(yīng)用于推理,同時還可應(yīng)用原條件以及公理、定理、定義等2已知a,b,c是互不相等的非零實數(shù)若用反證法證明三個方程ax22bxc0,bx22cxa0,cx22axb0至少有一個方程有兩個相異實根,應(yīng)假設(shè)成()A三個方程都沒有兩個相異實根B一個方程沒有兩個相異實根C至多兩個方程沒有兩個相異實根D三個方程不都沒有兩個相異實根解析:選A.命題“三個方程ax22bxc0,bx22cxa0,cx22axb0至少有一個方程有兩個相異實根”的否定為“三個方程都沒有兩個相異實根”,故選A.3實數(shù)a,b,c滿足a2bc2,則()Aa,b,c都是正數(shù)Ba,b,c都大于1Ca,b,c都小于2Da,b,c中至少有一個不小于解析:選D.假設(shè)a,b,c均小于,則a2bc<1,與已知矛盾,所以假設(shè)不成立,故a,b,c中至少有一個不小于.4已知ABC中,C90°,則的取值范圍是()A(0,2) B(0,C(1, D1,解析:選C.因為C90°,所以c2a2b2,即c.又有ab>c,所以1<.5設(shè)a>b>0,則a的最小值為()A B3C D4解析:選D.因為a>b>0,所以ab>0,所以a(ab)b44,當(dāng)且僅當(dāng)abb,即a2且b1時取等號,所以a的最小值為4.故選D.6用反證法證明命題:“一個三角形中不能有兩個直角”的過程歸納為以下三個步驟:ABC90°90°C>180°,這與三角形內(nèi)角和為180°相矛盾,則AB90°不成立;所以一個三角形中不能有兩個直角;假設(shè)A,B,C中有兩個角是直角,不妨設(shè)AB90°.正確順序的序號排列為_解析:由反證法證明的步驟知,先反設(shè)即,再推出矛盾即,最后作出判斷,肯定結(jié)論即,即順序應(yīng)為.答案:7若f(x),a,b都為正數(shù),Af,Gf(),Hf,則A、G、H的大小關(guān)系是_解析:因為a,b為正數(shù),所以,且f(x)為單調(diào)減函數(shù),所以ff()f,所以AGH.答案:AGH8某同學(xué)準(zhǔn)備用反證法證明如下一個問題:函數(shù)f(x)在0,1上有意義,且f(0)f(1)如果對于不同的x1,x20,1都有|f(x1)f(x2)|<|x1x2|.求證:|f(x1)f(x2)|<,那么他的反設(shè)應(yīng)該是_解析:對任意x1,x20,1(x1x2)都有|f(x1)f(x2)|<的反面是存在x1,x20,1且x1x2有|f(x1)f(x2)|.答案:存在x1,x20,1且x1x2使|f(x1)f(x2)|9若n是大于1的自然數(shù),求證:<2.證明:因為<,k2,3,n(nN),所以<2<2,所以<2.10設(shè)f(x)x2x13,a,b0,1,求證:|f(a)f(b)|ab|.證明:|f(a)f(b)|a2ab2b|(ab)(ab1)|ab|ab1|因為0a1,0b1,所以0ab2,1ab11,|ab1|1.所以|f(a)f(b)|ab|.B能力提升1若a,bR,且a2b210,則ab的取值范圍是()A0, B2,2 C, D2,2 解析:選D.令acos ,bsin ,則abcos sin 22cos.因為cos1,1,所以ab2,22A1與(nN)的大小關(guān)系是_解析:A1 .答案:A3已知二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a>0)的圖象與x軸有兩個不同的交點(diǎn),若f(c)0,且當(dāng)0<x<c時,f(x)>0.(1)證明:是函數(shù)f(x)的一個零點(diǎn);(2)試用反證法證明:>c.證明:(1)因為f(x)的圖象與x軸有兩個不同的交點(diǎn),所以f(x)0有兩個不等實根,不妨設(shè)為x1,x2,因為f(c)0,所以x1c是f(x)0的一個根又x1x2,所以x2.故x2是f(x)0的一個根,即是函數(shù)f(x)的一個零點(diǎn)(2)假設(shè)<c.由>0,且當(dāng)0<x<c時,f(x)>0,知f>0,與f0矛盾,所以假設(shè)不成立故c.又c,所以>c.4已知數(shù)列an的前n項和為Sn,且滿足anSn2.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)求證:數(shù)列an中不存在三項按原來順序成等差數(shù)列解:(1)當(dāng)n1時,a1S12a12,則a11.又anSn2,所以an1Sn12.兩式相減得an1an.所以an是首項為1,公比為的等比數(shù)列所以an.(2)證明:假設(shè)存在三項按原來順序成等差數(shù)列,記為ap1,aq1,ar1(p<q<r,且p,q,rN),則2·,所以2·2rq2rp1.又因為p<q<r,所以rq,rpN,所以式等號左邊是偶數(shù),右邊是奇數(shù),等式不成立所以假設(shè)不成立,原命題得證6