2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二講 證明不等式的基本方法 三 反證法與放縮法練習(xí) 新人教A版選修4-5

三 反證法與放縮法,學(xué)生用書P34)A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1應(yīng)用反證法推出矛盾的推導(dǎo)過程中，要把下列哪些作為條件使用()與結(jié)論相反的判斷，即假設(shè)；原命題的條件；公理、定理、定義等；原結(jié)論ABC D解析：選C.由反證法的推理原理可知，反證法必須把結(jié)論的相反判斷作為條件應(yīng)用于推理，同時還可應(yīng)用原條件以及公理、定理、定義等2已知a，b，c是互不相等的非零實數(shù)若用反證法證明三個方程ax22bxc0，bx22cxa0，cx22axb0至少有一個方程有兩個相異實根，應(yīng)假設(shè)成()A三個方程都沒有兩個相異實根B一個方程沒有兩個相異實根C至多兩個方程沒有兩個相異實根D三個方程不都沒有兩個相異實根解析：選A.命題“三個方程ax22bxc0，bx22cxa0，cx22axb0至少有一個方程有兩個相異實根”的否定為“三個方程都沒有兩個相異實根”，故選A.3實數(shù)a，b，c滿足a2bc2，則()Aa，b，c都是正數(shù)Ba，b，c都大于1Ca，b，c都小于2Da，b，c中至少有一個不小于解析：選D.假設(shè)a，b，c均小于，則a2bc<1，與已知矛盾，所以假設(shè)不成立，故a，b，c中至少有一個不小于.4已知ABC中，C90°，則的取值范圍是()A(0，2) B(0，C(1， D1，解析：選C.因為C90°，所以c2a2b2，即c.又有ab>c，所以1<.5設(shè)a>b>0，則a的最小值為()A B3C D4解析：選D.因為a>b>0，所以ab>0，所以a(ab)b44，當(dāng)且僅當(dāng)abb，即a2且b1時取等號，所以a的最小值為4.故選D.6用反證法證明命題：“一個三角形中不能有兩個直角”的過程歸納為以下三個步驟：ABC90°90°C>180°，這與三角形內(nèi)角和為180°相矛盾，則AB90°不成立；所以一個三角形中不能有兩個直角；假設(shè)A，B，C中有兩個角是直角，不妨設(shè)AB90°.正確順序的序號排列為_解析：由反證法證明的步驟知，先反設(shè)即，再推出矛盾即，最后作出判斷，肯定結(jié)論即，即順序應(yīng)為.答案：7若f(x)，a，b都為正數(shù)，Af，Gf()，Hf，則A、G、H的大小關(guān)系是_解析：因為a，b為正數(shù)，所以，且f(x)為單調(diào)減函數(shù)，所以ff()f，所以AGH.答案：AGH8某同學(xué)準(zhǔn)備用反證法證明如下一個問題：函數(shù)f(x)在0，1上有意義，且f(0)f(1)如果對于不同的x1，x20，1都有|f(x1)f(x2)|<|x1x2|.求證：|f(x1)f(x2)|<，那么他的反設(shè)應(yīng)該是_解析：對任意x1，x20，1(x1x2)都有|f(x1)f(x2)|<的反面是存在x1，x20，1且x1x2有|f(x1)f(x2)|.答案：存在x1，x20，1且x1x2使|f(x1)f(x2)|9若n是大于1的自然數(shù)，求證：<2.證明：因為<，k2，3，n(nN)，所以<2<2，所以<2.10設(shè)f(x)x2x13，a，b0，1，求證：|f(a)f(b)|ab|.證明：|f(a)f(b)|a2ab2b|(ab)(ab1)|ab|ab1|因為0a1，0b1，所以0ab2，1ab11，|ab1|1.所以|f(a)f(b)|ab|.B能力提升1若a，bR，且a2b210，則ab的取值范圍是()A0， B2，2 C， D2，2 解析：選D.令acos ，bsin ，則abcos sin 22cos.因為cos1，1，所以ab2，22A1與(nN)的大小關(guān)系是_解析：A1 .答案：A3已知二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a>0)的圖象與x軸有兩個不同的交點(diǎn)，若f(c)0，且當(dāng)0<x<c時，f(x)>0.(1)證明：是函數(shù)f(x)的一個零點(diǎn)；(2)試用反證法證明：>c.證明：(1)因為f(x)的圖象與x軸有兩個不同的交點(diǎn)，所以f(x)0有兩個不等實根，不妨設(shè)為x1，x2，因為f(c)0，所以x1c是f(x)0的一個根又x1x2，所以x2.故x2是f(x)0的一個根，即是函數(shù)f(x)的一個零點(diǎn)(2)假設(shè)<c.由>0，且當(dāng)0<x<c時，f(x)>0，知f>0，與f0矛盾，所以假設(shè)不成立故c.又c，所以>c.4已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足anSn2.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)求證：數(shù)列an中不存在三項按原來順序成等差數(shù)列解：(1)當(dāng)n1時，a1S12a12，則a11.又anSn2，所以an1Sn12.兩式相減得an1an.所以an是首項為1，公比為的等比數(shù)列所以an.(2)證明：假設(shè)存在三項按原來順序成等差數(shù)列，記為ap1，aq1，ar1(p<q<r，且p，q，rN)，則2·，所以2·2rq2rp1.又因為p<q<r，所以rq，rpN，所以式等號左邊是偶數(shù)，右邊是奇數(shù)，等式不成立所以假設(shè)不成立，原命題得證6