2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 課時素養(yǎng)評價十三 基本不等式的應(yīng)用 新人教A版必修第一冊

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1、課時素養(yǎng)評價 十三 　基本不等式的應(yīng)用 (25分鐘·50分) 一、選擇題(每小題4分,共16分,多項選擇題全選對的得4分,選對但不全的得2分,有選錯的得0分) 1.(多選題)已知a>0,b>0,a+b=2,則對于+ (　　) A.取得最值時a=　　　　 B.最大值是5 C. 取得最值時b= D.最小值是 【解析】選A、D.因為a+b=2,令y=+=+=+++2≥+ 2=,當(dāng)且僅當(dāng)=且a+b=2,即a=,b=時,取“=”. 2.某工廠第一年產(chǎn)量為A,第二年的增長率為a,第三年的增長率為b,這兩年的平均增長率為x,則 (　　) A.x= B.x≤ C.x>

2、 D.x≥ 【解析】選B.由條件知A(1+a)(1+b)=A(1+x)2,所以(1+x)2=(1+a)(1+b)≤, 所以1+x≤1+,故x≤. 3.已知正數(shù)x,y滿足x+2y-xy=0,則x+2y的最小值為 (　　) A.8　　　　 B.4　　　 　C.2　 　　　D.0 【解析】選A.由x+2y-xy=0,得+=1,且x>0,y>0.所以x+2y=(x+2y)×=++4≥4+4=8. 4.若對任意x>0,≤a恒成立,則a的取值范圍是 (　　) A. B.　 C. D. 【解析】選A.因為對任意x>0,≤a恒成立,所以對x∈(0,+∞),a≥,

3、 又因為x∈(0,+∞),所以=≤=, 當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立,所以a≥. 二、填空題(每小題4分,共8分) 5.已知一次函數(shù)y=-x+1的圖象分別與x軸、y軸相交于A,B兩點,若動點P(a,b)在線段AB上,則ab的最大值是________,取得最大值時a的值為________.? 【解析】因為A(2,0),B(0,1),所以0≤b≤1,由題意得a=2-2b,ab=(2-2b)b= 2(1-b)·b≤2·=. 當(dāng)且僅當(dāng)1-b=b,即b=時等號成立,此時a=1,因此當(dāng)b=,a=1時,ab的最大值為. 答案:　1 6.某公司一年需購買某種貨物200噸,平均分成若干次進行購買,每次

4、購買的運費為2萬元,一年的總存儲費用數(shù)值(單位:萬元)恰好為每次的購買噸數(shù)數(shù)值,要使一年的總運費與總存儲費用之和最小,則每次購買該種貨物的噸數(shù)是________.? 【解析】設(shè)每次購買該種貨物x噸,則需要購買次,則一年的總運費為×2=(萬元),一年的總存儲費用為x萬元,所以一年的總運費與總存儲費用為+x≥2=40(萬元),當(dāng)且僅當(dāng)=x,即x=20時等號成立,故要使一年的總運費與總存儲費用之和最小,每次應(yīng)購買該種貨物20噸. 答案:20 三、解答題(共26分) 7.(12分)已知a>0,b>0,a+b=1,求證: (1)++≥8. (2)≥9. 【證明】(1)因為a+b=1,a>0

5、,b>0, 所以++=2. 所以+=+=2++≥2+2=4, 所以++≥8(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時等號成立). (2)方法一:因為a>0,b>0,a+b=1, 所以1+=1+=2+, 同理1+=2+, 所以= =5+2≥5+4=9. 所以≥9(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時等號成立). 方法二:=1+++, 由(1)知,++≥8, 故=1+++≥9.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時取等號 . 8.(14分)如圖,某村計劃建造一個室內(nèi)面積為 800 平方米的矩形蔬菜溫室,溫室內(nèi)沿左右兩側(cè)與后墻內(nèi)側(cè)各保留1米寬的通道,沿前側(cè)內(nèi)墻保留3米寬的空地,當(dāng)矩形溫室的邊長各為多少時,蔬菜的種植面積最大?最大種植

6、面積是多少? 【解析】設(shè)矩形的一邊長為 x米,則另一邊長為米,因此種植蔬菜的區(qū)域?qū)挒?x-4)米,長為米. 由得4

7、放于左盤使之平衡后又給顧客,則顧客實際所得黃金 (　　) A.大于10 g B.小于10 g C.大于等于10 g D.小于等于10 g 【解析】選A.設(shè)兩臂長分別為a,b,兩次放入的黃金數(shù)是x,y,依題意有ax=5b, by=5a,所以xy=25.因為≥,所以x+y≥10,又a≠b,所以x≠y.所以x+y>10.即兩次所得黃金數(shù)大于10 g. 2.(4分)已知正實數(shù)m,n滿足m+n=1,且使+取得最小值.若x=,y=是方程y=xα的解,則α= (　　) A.-1 B. C.2 D.3 【解析】選B.+=(m+n)=1+++16=17++≥17+2 =25

8、當(dāng)且僅當(dāng)=,且m+n=1,即m=,n=時,上式取等號,即+取得最小值時,m=,n=,所以=,得α=. 3.(4分)如圖,有一張單欄的豎向張貼的海報,它的印刷面積為72 dm2(圖中陰影部分),上下空白各寬2 dm,左右空白各寬1 dm,則四周空白部分面積的最小值是________dm2. ? 【解析】設(shè)陰影部分的高為x dm,則寬為 dm,四周空白部分的面積是y dm2. 由題意,得y=(x+4)-72=8+ 2≥8+2×2=56(dm2). 當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=12 dm時等號成立. 答案:56 4.(4分)設(shè)a+b=2,b>0,則+取最小值時,a的值為________.

9、? 【解析】因為a+b=2,所以+=+=+=++≥+ 2=+1,當(dāng)且僅當(dāng)=時等號成立.又a+b=2,b>0,所以當(dāng)b=-2a,a=-2或b=2a,a=時,+取得最小值. 答案:-2或 5. (14分)已知正數(shù)a,b,x,y滿足a+b=10,+=1,x+y的最小值為18,求a,b的值. 【解析】x+y=(x+y)=a+++b=10++.因為x,y>0,a,b>0,所以x+y≥10+2=18,即=4.又a+b=10,所以或 1.若a>0,b>0,且a+b=1,則的最小值是 (　　) A.9 B.8 C.7 D.6 【解析】選A.=+1 =+1=+1≥+1=9.

10、 所以當(dāng)a=b=時,原式取最小值9. 2.某種商品原來每件售價為25元,年銷售量8萬件. (1)據(jù)市場調(diào)查,若價格每提高1元,銷售量將相應(yīng)減少2 000件,要使銷售的總收入不低于原收入,該商品每件定價最多為多少元? (2)為了擴大該商品的影響力,提高年銷售量.公司決定明年對該商品進行全面技術(shù)革新和營銷策略改革,并提高定價到x元.公司擬投入(x2-600)萬元作為技改費用,投入50萬元作為固定宣傳費用,投入x萬元作為浮動宣傳費用.試問:當(dāng)該商品明年的銷售量a至少應(yīng)達(dá)到多少萬件時,才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和?并求出此時商品的每件定價. 【解析】(1)設(shè)每件定價為x元,依題意得 x≥25×8, 整理得x2-65x+1 000≤0,解得25≤x≤40. 所以要使銷售的總收入不低于原收入,每件定價最多為40元. (2)依題意不等式ax≥25×8+50+(x2-600)+x有解,等價于x>25時,a≥+x+有解,因為+x≥2=10(當(dāng)且僅當(dāng)x=30時,等號成立),所以a≥10.2. 所以當(dāng)該商品明年的銷售量a至少應(yīng)達(dá)到10.2萬件時,才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和,此時該商品的每件定價為30元. 8