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六年級(jí)奧數(shù)圖形題2.doc

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六年級(jí)奧數(shù)圖形題2.doc

六年級(jí)奧數(shù)圖形題22、3、4、5、6、如果一個(gè)正方形的周長(zhǎng)和一個(gè)圓的周長(zhǎng)相等,那么正方形的面積是圓面積的()%解析:設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1,則正方形的周長(zhǎng)為4,圓形周長(zhǎng)也是4,那么圓形的半徑=4(2)=2/ 正方形的面積=1x1=1 圓形的面積=x(2/)=4/ 正方形的面積是圓面積的:1(4/)=/43.144=78.5% 答:正方形的面積大約是圓面積的78.5%。7、一、相加法:這種方法是將不規(guī)則圖形分解轉(zhuǎn)化成幾個(gè)基本規(guī)則圖形,分別計(jì)算它們的面積,然后相加求出整個(gè)圖形的面積.例如,右圖中,要求整個(gè)圖形的面積,只要先求出上面半圓的面積,再求出下面正方形的面積,然后把它們相加就可以了(如圖)。二、相減法:這種方法是將所求的不規(guī)則圖形的面積看成是若干個(gè)基本規(guī)則圖形的面積之差.例如,右圖,若求陰影部分的面積,只需先求出正方形面積再減去里面圓的面積即可(如圖)。三、直接求法:這種方法是根據(jù)已知條件,從整體出發(fā)直接求出不規(guī)則圖形面積.如下頁(yè)右上圖,欲求陰影部分的面積,通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)它是一個(gè)底2,高4的三角形,就可以直接求面積了(如圖)。四、重新組合法:這種方法是將不規(guī)則圖形拆開(kāi),根據(jù)具體情況和計(jì)算上的需要,重新組合成一個(gè)新的圖形,設(shè)法求出這個(gè)新圖形面積即可.例如,欲求右圖中陰影部分面積,可以把它拆開(kāi)使陰影部分分布在正方形的4個(gè)角處,這時(shí)采用相減法就可求出其面積了(如圖)。五、輔助線法:這種方法是根據(jù)具體情況在圖形中添一條或若干條輔助線,使不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成若干個(gè)基本規(guī)則圖形,然后再采用相加、相減法解決即可.如右圖,求兩個(gè)正方形中陰影部分的面積.此題雖然可以用相減法解決,但不如添加一條輔助線后用直接法作更簡(jiǎn)便(如圖)。六、割補(bǔ)法:這種方法是把原圖形的一部分切割下來(lái)補(bǔ)在圖形中的另一部分使之成為基本規(guī)則圖形,從而使問(wèn)題得到解決.例如,如右圖,欲求陰影部分的面積,只需把右邊弓形切割下來(lái)補(bǔ)在左邊,這樣整個(gè)陰影部分面積恰是正方形面積的一半(如圖).七、平移法:這種方法是將圖形中某一部分切割下來(lái)平行移動(dòng)到一恰當(dāng)位置,使之組合成一個(gè)新的基本規(guī)則圖形,便于求出面積.例如,如上頁(yè)最后一圖,欲求陰影部分面積,可先沿中間切開(kāi)把左邊正方形內(nèi)的陰影部分平行移到右邊正方形內(nèi),這樣整個(gè)陰影部分恰是一個(gè)正方形(如圖)。八、旋轉(zhuǎn)法:這種方法是將圖形中某一部分切割下來(lái)之后,使之沿某一點(diǎn)或某一軸旋轉(zhuǎn)一定角度貼補(bǔ)在另一圖形的一側(cè),從而組合成一個(gè)新的基本規(guī)則的圖形,便于求出面積.例如,欲求上圖(1)中陰影部分的面積,可將左半圖形繞B點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180,使A與C重合,從而構(gòu)成如右圖(2)的樣子,此時(shí)陰影部分的面積可以看成半圓面積減去中間等腰直角三角形的面積(如圖).九、對(duì)稱添補(bǔ)法:這種方法是作出原圖形的對(duì)稱圖形,從而得到一個(gè)新的基本規(guī)則圖形.原來(lái)圖形面積就是這個(gè)新圖形面積的一半.例如,欲求右圖中陰影部分的面積,沿AB在原圖下方作關(guān)于AB為對(duì)稱軸的對(duì)稱扇形ABD.弓形CBD的面積的一半就是所求陰影部分的面積(如圖)。十、重疊法:這種方法是將所求的圖形看成是兩個(gè)或兩個(gè)以上圖形的重疊部分,然后運(yùn)用“容斥原理”(SABSASB-SAB)解決。例如,欲求右圖中陰影部分的面積,可先求兩個(gè)扇形面積的和,減去正方形面積,因?yàn)殛幱安糠值拿娣e恰好是兩個(gè)扇形重疊的部分(如圖).1、如圖,ABCG是 的長(zhǎng)方形,DEFG是 的長(zhǎng)方形。那么,三角形BCM的面積與三角形DCM面積之差是多少?解答:長(zhǎng)方形ABCG的面積是28,長(zhǎng)方形DEFG的面積是20,梯形ABEF的面積是51,從圖中可以看出,三角形BCM的面積與三角形DCM面積之差就等于梯形ABEF的面積減去長(zhǎng)方形ABCG的面積再減去長(zhǎng)方形DEFG的面積,得到結(jié)果。2、如圖所示,長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)的陰影部分的面積之和為70,AB= 8, AD=15四邊形BFGO的面積為_(kāi)解答:四邊形EFGO的面積=三角形AFC+ 三角形BDF- 白色部分的面積三角形AFC+三角形BDF =長(zhǎng)方形面積的一半即60,白色部分的面積等于長(zhǎng)方形面積減去陰影部分的面積,即120-70=50所以四邊形的面積:60-50=103、4. 利用特殊規(guī)律等腰直角三角形,已知任意一條邊都可求出面積。(斜邊的平方除以4等于等腰直角三角形的面積)梯形對(duì)角線連線后,兩腰部分面積相等。圓的面積占外接正方形面積的78.5%。4、在三角形ABC中,點(diǎn)E是BC邊上的中點(diǎn),點(diǎn)F是中線AE上的點(diǎn),其中AE3AF,并且延長(zhǎng)BF與AC相交于D,如下圖所示。若三角形ABC的面積為48,請(qǐng)問(wèn)三角形AFD的面積為多少?六年級(jí)奧數(shù)下冊(cè):第五講 巧求面積 習(xí)題簡(jiǎn)單的面積計(jì)算是小學(xué)數(shù)學(xué)的一項(xiàng)重要內(nèi)容.要會(huì)計(jì)算面積,首先要能識(shí)別一些特別的圖形:正方形、三角形、平行四邊形、梯形等等,然后會(huì)計(jì)算這些圖形的面積.如果我們把這些圖形畫(huà)在方格紙上,不但容易識(shí)別,而且容易計(jì)算.上面左圖是邊長(zhǎng)為 4的正方形,它的面積是 44 16(格);右圖是 35的長(zhǎng)方形,它的面積是 35 15(格).上面左圖是一個(gè)銳角三角形,它的底是5,高是4,面積是 542 10(格);右圖是一個(gè)鈍角三角形,底是4,高也是4,它的面積是4428(格).這里特別說(shuō)明,這兩個(gè)三角形的高線一樣長(zhǎng),鈍角三角形的高線有可能在三角形的外面.上面左圖是一個(gè)平行四邊形,底是5,高是3,它的面積是 5 3 15(格);右圖是一個(gè)梯形,上底是 4,下底是7,高是4,它的面積是(4+7)4222(格).上面面積計(jì)算的單位用“格”,一格就是一個(gè)小正方形.如果小正方形邊長(zhǎng)是1厘米,1格就是1平方厘米;如果小正方形邊長(zhǎng)是1米,1格就是1平方米.也就是說(shuō)我們?cè)O(shè)定一個(gè)方格的邊長(zhǎng)是1個(gè)長(zhǎng)度單位,1格就是一個(gè)面積單位.在這一講中,我們直接用數(shù)表示長(zhǎng)度或面積,省略了相應(yīng)的長(zhǎng)度單位和面積單位.一、三角形的面積用直線組成的圖形,都可以劃分成若干個(gè)三角形來(lái)計(jì)算面積.三角形面積的計(jì)算公式是:三角形面積= 底高2.這個(gè)公式是許多面積計(jì)算的基礎(chǔ).因此我們不僅要掌握這一公式,而且要會(huì)靈活運(yùn)用.例1右圖中BD長(zhǎng)是4,DC長(zhǎng)是2,那么三角形ABD的面積是三角形ADC面積的多少倍呢?解:三角形ABD與三角形ADC的高相同.三角形ABD面積=4高2.三角形 ADC面積=2高2.因此三角形ABD的面積是三角形ADC面積的2倍.注意:三角形的任意一邊都可以看作是底,這條邊上的高就是三角形的高,所以每個(gè)三角形都可看成有三個(gè)底,和相應(yīng)的三條高.例2右圖中,BD,DE,EC的長(zhǎng)分別是2,4,2.F是線段AE的中點(diǎn),三角形ABC的高為4.求三角形DFE的面積.解:BC 2 4 2 8.三角形 ABC面積= 8 4216.我們把A和D連成線段,組成三角形ADE,它與三角形ABC的高相同,而DE長(zhǎng)是4,也是BC的一半,因此三角形ADE面積是三角形ABC面積的一半.同樣道理,EF是AE的一半,三角形DFE面積是三角形ADE面積的一半.三角形 DFE面積= 1644.例3右圖中長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是20,寬是12,求它的內(nèi)部陰影部分面積.解:ABEF也是一個(gè)長(zhǎng)方形,它內(nèi)部的三個(gè)三角形陰影部分高都與BE一樣長(zhǎng).而三個(gè)三角形底邊的長(zhǎng)加起來(lái),就是FE的長(zhǎng).因此這三個(gè)三角形的面積之和是FEBE2,它恰好是長(zhǎng)方形ABEF面積的一半.同樣道理,F(xiàn)ECD也是長(zhǎng)方形,它內(nèi)部三個(gè)三角形(陰影部分)面積之和是它的面積的一半.因此所有陰影的面積是長(zhǎng)方形ABCD面積的一半,也就是20122120.通過(guò)方格紙,我們還可以從另一個(gè)途徑來(lái)求解.當(dāng)我們畫(huà)出中間兩個(gè)三角形的高線,把每個(gè)三角形分成兩個(gè)直角三角形后,圖中每個(gè)直角三角形都是某個(gè)長(zhǎng)方形的一半,而長(zhǎng)方形ABCD是由這若干個(gè)長(zhǎng)方形拼成.因此所有這些直角三角形(陰影部分)的面積之和是長(zhǎng)方形ABCD面積的的一半.例4右圖中,有四條線段的長(zhǎng)度已經(jīng)知道,還有兩個(gè)角是直角,那么四邊形ABCD(陰影部分)的面積是多少?解:把A和C連成線段,四邊形ABCD就分成了兩個(gè),三角形ABC和三角形ADC.對(duì)三角形ABC來(lái)說(shuō),AB是底邊,高是10,因此面積=4102 20.對(duì)三角形 ADC來(lái)說(shuō), DC是底邊,高是 8,因此面積=78228.四邊形 ABCD面積= 20 28 48.這一例題再一次告訴我們,鈍角三角形的高線有可能是在三角形的外面.例5在邊長(zhǎng)為6的正方形內(nèi)有一個(gè)三角形BEF,線段AE3,DF2,求三角形BEF的面積.解:要直接求出三角形BEF的面積是困難的,但容易求出下面列的三個(gè)直角三角形的面積三角形 ABE面積=362 9.三角形 BCF面積= 6(6-2)2 12.三角形 DEF面積=2(6-3)2 3.我們只要用正方形面積減去這三個(gè)直角三角形的面積就能算出:三角形 BEF面積=66-9-12-312.例6在右圖中,ABCD是長(zhǎng)方形,三條線段的長(zhǎng)度如圖所示,M是線段DE的中點(diǎn),求四邊形ABMD(陰影部分)的面積.解:四邊形ABMD中,已知的太少,直接求它面積是不可能的,我們?cè)O(shè)法求出三角形DCE與三角形MBE的面積,然后用長(zhǎng)方形ABCD的面積減去它們,由此就可以求得四邊形ABMD的面積.把M與C用線段連起來(lái),將三角形DCE分成兩個(gè)三角形.三角形 DCE的面積是 7227.因?yàn)镸是線段DE的中點(diǎn),三角形DMC與三角形MCE面積相等,所以三角形MCE面積是 723.5.因?yàn)?BE 8是 CE 2的 4倍,三角形 MBE與三角形MCE高一樣,因此三角形MBE面積是3.5414.長(zhǎng)方形 ABCD面積=7(82)=70.四邊形 ABMD面積=70-7- 14 49.二、有關(guān)正方形的問(wèn)題先從等腰直角三角形講起.一個(gè)直角三角形,它的兩條直角邊一樣長(zhǎng),這樣的直角三角形,就叫做等腰直角三角形.它有一個(gè)直角(90度),還有兩個(gè)角都是45度,通常在一副三角尺中.有一個(gè)就是等腰直角三角形.兩個(gè)一樣的等腰直角三角形,可以拼成一個(gè)正方形,如圖(a).四個(gè)一樣的等腰直角三角形,也可以拼成一個(gè)正方形,如圖(b).一個(gè)等腰直角三角形,當(dāng)知道它的直角邊長(zhǎng),從圖(a)知,它的面積是直角邊長(zhǎng)的平方2.當(dāng)知道它的斜邊長(zhǎng),從圖(b)知,它的面積是斜邊的平方4例7右圖由六個(gè)等腰直角三角形組成.第一個(gè)三角形兩條直角邊長(zhǎng)是8.后一個(gè)三角形的直角邊長(zhǎng),恰好是前一個(gè)斜邊長(zhǎng)的一半,求這個(gè)圖形的面積.解:從前面的圖形上可以知道,前一個(gè)等腰直角三角形的兩個(gè)拼成的正方形,等于后一個(gè)等腰直角三角形四個(gè)拼成的正方形.因此后一個(gè)三角形面積是前一個(gè)三角形面積的一半,第一個(gè)等腰直角三角形的面積是88232.這一個(gè)圖形的面積是3216 8 4 21 63.例8如右圖,兩個(gè)長(zhǎng)方形疊放在一起,小長(zhǎng)形的寬是2,A點(diǎn)是大長(zhǎng)方形一邊的中點(diǎn),并且三角形ABC是等腰直角三角形,那么圖中陰影部分的總面積是多少?解:為了說(shuō)明的方便,在圖上標(biāo)上英文字母 D,E,F(xiàn),G.三角形ABC的面積=2222.三角形ABC,ADE,EFG都是等腰直角三角形.三角形ABC的斜邊,與三角形ADE的直角邊一樣長(zhǎng),因此三角形 ADE面積=ABC面積24.三角形EFG的斜邊與三角形ABC的直角邊一樣長(zhǎng).因此三角形EFG面積=ABC面積21.陰影部分的總面積是 415.例9如右圖,已知一個(gè)四邊形ABCD的兩條邊的長(zhǎng)度AD7,BC3,三個(gè)角的度數(shù):角 B和D是直角,角A是45.求這個(gè)四邊形的面積.解:這個(gè)圖形可以看作是一個(gè)等腰直角三角形ADE,切掉一個(gè)等腰直角三角形BCE.因?yàn)锳是45,角D是90,角E是180-45-90 45,所以ADE是等腰直角三角形,BCE也是等腰直角三角形.四邊形ABCD的面積,是這兩個(gè)等腰直角三角形面積之差,即772-33220.這是1994小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題.原來(lái)試題圖上并沒(méi)有畫(huà)出虛線三角形.參賽同學(xué)是不大容易想到把圖形補(bǔ)全成為等腰直角三角形.因此做對(duì)這道題的人數(shù)不多.但是有一些同學(xué),用直線AC把圖形分成兩個(gè)直角三角形,并認(rèn)為這兩個(gè)直角三角形是一樣的,這就大錯(cuò)特錯(cuò)了.這樣做,角 A是 45,這一條件還用得上嗎?圖形上線段相等,兩個(gè)三角形相等,是不能靠眼睛來(lái)測(cè)定的,必須從幾何學(xué)上找出根據(jù),小學(xué)同學(xué)尚未學(xué)過(guò)幾何,千萬(wàn)不要隨便對(duì)圖形下結(jié)論.我們應(yīng)該從題目中已有的條件作為思考的線索.有45和直角,你應(yīng)首先考慮等腰直角三角形.現(xiàn)在我們轉(zhuǎn)向正方形的問(wèn)題.例10在右圖 1115的長(zhǎng)方形內(nèi),有四對(duì)正方形(標(biāo)號(hào)相同的兩個(gè)正方形為一對(duì)),每一對(duì)是相同的正方形,那么中間這個(gè)小正方形(陰影部分)面積是多少?解:長(zhǎng)方形的寬,是“一”與“二”兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)之和,長(zhǎng)方形的長(zhǎng),是“一”、“三”與“二”三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)之和.長(zhǎng)-寬 =15-114是“三”正方形的邊長(zhǎng).寬又是兩個(gè)“三”正方形與中間小正方形的邊長(zhǎng)之和,因此中間小正方形邊長(zhǎng)=11-423.中間小正方形面積=33 9.如果把這一圖形,畫(huà)在方格紙上,就一目了然了.例11從一塊正方形土地中,劃出一塊寬為1米的長(zhǎng)方形土地(見(jiàn)圖),剩下的長(zhǎng)方形土地面積是15.75平方米.求劃出的長(zhǎng)方形土地的面積.解:剩下的長(zhǎng)方形土地,我們已知道長(zhǎng)-寬=1(米).還知道它的面積是15.75平方米,那么能否從這一面積求出長(zhǎng)與寬之和呢?如果能求出,那么與上面“差”的算式就形成和差問(wèn)題了.我們把長(zhǎng)和寬拼在一起,如右圖.從這個(gè)圖形還不能算出長(zhǎng)與寬之和,但是再拼上同樣的兩個(gè)正方形,如下圖就拼成一個(gè)大正方形,這個(gè)正方形的邊長(zhǎng),恰好是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬之和.可是這個(gè)大正方形的中間還有一個(gè)空洞.它也是一個(gè)正方形,仔細(xì)觀察一下,就會(huì)發(fā)現(xiàn),它的邊長(zhǎng),恰好是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬之差,等于1米.現(xiàn)在,我們就可以算出大正方形面積:15.754+11 64(平方米).64是88,大正方形邊長(zhǎng)是 8米,也就是說(shuō)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)+寬=8(米).因此長(zhǎng)=(81)2 4.5(米).寬=8-4.53.5(米).那么劃出的長(zhǎng)方形面積是4.514. 5(平方米).例12如右圖.正方形ABCD與正方形EFGC并放在一起.已知小正方形EFGC的邊長(zhǎng)是6,求三角形AEG(陰影部分)的面積.解:四邊形AECD是一個(gè)梯形.它的下底是AD,上底是EC,高是CD,因此四邊形AECD面積=(小正方形邊長(zhǎng)+大正方形邊長(zhǎng))大正方形邊長(zhǎng)2三角形ADG是直角三角形,它的一條直角邊長(zhǎng)DG=(小正方形邊長(zhǎng)+大正方形邊長(zhǎng)),因此三角形ADG面積=(小正方形邊長(zhǎng)+大正方形邊長(zhǎng))大正方形邊長(zhǎng)2.四邊形 AECD與三角形 ADG面積一樣大.四邊形AHCD是它們兩者共有,因此,三角形AEH與三角形HCG面積相等,都加上三角形EHG面積后,就有陰影部分面積=三角形ECG面積=小正方形面積的一半= 66218.十分有趣的是,影陰部分面積,只與小正方形邊長(zhǎng)有關(guān),而與大正方形邊長(zhǎng)卻沒(méi)有關(guān)系.三、其他的面積這一節(jié)將著重介紹求面積的常用思路和技巧.有些例題看起來(lái)不難,但可以給你啟發(fā)的內(nèi)容不少,請(qǐng)讀者仔細(xì)體會(huì).例13畫(huà)在方格紙上的一個(gè)用粗線圍成的圖形(如右圖),求它的面積.解:直接計(jì)算粗線圍成的面積是困難的,我們通過(guò)扣除周圍正方形和直角三角形來(lái)計(jì)算.周圍小正方形有3個(gè),面積為1的三角形有5個(gè),面積為1.5的三角形有1個(gè),因此圍成面積是44-3-5-1.56.5.例6與本題在解題思路上是完全類同的.例14下圖中 ABCD是 68的長(zhǎng)方形,AF長(zhǎng)是4,求陰影部分三角形AEF的面積.解:三角形AEF中,我們知道一邊AF,但是不知道它的高多長(zhǎng),直接求它的面積是困難的.如果把它擴(kuò)大到三角形AEB,底邊AB,就是長(zhǎng)方形的長(zhǎng),高是長(zhǎng)方形的寬,即BC的長(zhǎng),面積就可以求出.三角形AEB的面積是長(zhǎng)方形面積的一半,而擴(kuò)大的三角形AFB是直角三角形,它的兩條直角邊的長(zhǎng)是知道的,很容易算出它的面積.因此三角形AEF面積(三角形 AEB面積)-(三角形 AFB面積)862-482 8.這一例題告訴我們,有時(shí)我們把難求的圖形擴(kuò)大成易求的圖形,當(dāng)然擴(kuò)大的部分也要容易求出,從而間接地解決了問(wèn)題.前面例9的解法,也是這種思路.例15下左圖是一塊長(zhǎng)方形草地,長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是16,寬是10.中間有兩條道路,一條是長(zhǎng)方形,一條是平行四邊形,那么有草部分的面積(陰影部分)有多大?解:我們首先要弄清楚,平行四邊形面積有多大.平行四邊形的面積是底高.從圖上可以看出,底是2,高恰好是長(zhǎng)方形的寬度.因此這個(gè)平行四邊形的面積與 102的長(zhǎng)方形面積相等.可以設(shè)想,把這個(gè)平行四邊形換成 102的長(zhǎng)方形,再把橫豎兩條都移至邊上(如前頁(yè)右圖),草地部分面積(陰影部分)還是與原來(lái)一樣大小,因此草地面積=(16-2)(10-2) 112.例16右圖是兩個(gè)相同的直角三角形疊在一起,求陰影部分的面積.解:實(shí)際上,陰影部分是一個(gè)梯形,可是它的上底、下底和高都不知道,不能直接來(lái)求它的面積.陰影部分與三角形BCE合在一起,就是原直角三角形.你是否看出, ABCD也是梯形,它和三角形BCE合在一起,也是原直角三角形.因此,梯形ABCD的面積與陰影部分面積一樣大.梯形ABCD的上底BC,是直角邊AD的長(zhǎng)減去3,高就是DC的長(zhǎng).因此陰影部分面積等于梯形 ABCD面積=(88-3)52 32.5.上面兩個(gè)例子都啟發(fā)我們,如何把不容易算的面積,換成容易算的面積,數(shù)學(xué)上這叫等積變形.要想有這種“換”的本領(lǐng),首先要提高對(duì)圖形的觀察能力.例17下圖是兩個(gè)直角三角形疊放在一起形成的圖形.已知 AF,F(xiàn)E,EC都等于3, CB, BD都等于 4.求這個(gè)圖形的面積.解:兩個(gè)直角三角形的面積是很容易求出的.三角形ABC面積=(333)4218.三角形CDE面積=(44) 3212.這兩個(gè)直角三角形有一個(gè)重疊部分-四邊形BCEG,只要減去這個(gè)重疊部分,所求圖形的面積立即可以得出.因?yàn)?AF FE EC3,所以 AGF, FGE, EGC是三個(gè)面積相等的三角形.因?yàn)镃BBD4,所以CGB,BGD是兩個(gè)面積相等的三角形.2三角形DEC面積= 22(三角形 GBC面積)2(三角形 GCE面積).三角形ABC面積= (三角形 GBC面積)3(三角形GCE面積).四邊形BCEG面積=(三角形GBC面積)(三角形GCE面積)=(21218)58.4.所求圖形面積=12 18- 8.421.6.例18如下頁(yè)左圖,ABCG是47長(zhǎng)方形,DEFG是 210長(zhǎng)方形.求三角形 BCM與三角形 DEM面積之差.解:三角形BCM與非陰影部分合起來(lái)是梯形ABEF.三角形DEM與非陰影部分合起來(lái)是兩個(gè)長(zhǎng)方形的和.(三角形BCM面積)-(三角形DEM面積)=(梯形ABEF面積)-(兩個(gè)長(zhǎng)方形面積之和=(710)(42)2-(47 210)=3.例19上右圖中,在長(zhǎng)方形內(nèi)畫(huà)了一些直線,已知邊上有三塊面積分別是13,35,49.那么圖中陰影部分的面積是多少?解:所求的影陰部分,恰好是三角形ABC與三角形CDE的公共部分,而面積為13,49,35這三塊是長(zhǎng)方形中沒(méi)有被三角形ABC與三角形CDE蓋住的部分,因此(三角形 ABC面積)+(三角形CDE面積)(134935)(長(zhǎng)方形面積)(陰影部分面積).三角形ABC,底是長(zhǎng)方形的長(zhǎng),高是長(zhǎng)方形的寬;三角形CDE,底是長(zhǎng)方形的寬,高是長(zhǎng)方形的長(zhǎng).因此,三角形ABC面積,與三角形CDE面積,都是長(zhǎng)方形面積的一半,就有陰影部分面積=13 49 35 97.一、四種常見(jiàn)幾何體的平面展開(kāi)圖1.正方體沿正方體的某些棱將正方體剪開(kāi)鋪平,就可以得到它的平面展開(kāi)圖,這一展開(kāi)圖是由六個(gè)全等的正方形組成的,見(jiàn)圖61。圖6l只是正方體平面展開(kāi)圖的一種畫(huà)法,還有別的畫(huà)法(從略)。2.長(zhǎng)方體沿長(zhǎng)方體的某些棱將長(zhǎng)方體剪開(kāi)鋪平,就可以得到它的平面展開(kāi)圖。這一展開(kāi)圖是六個(gè)兩兩彼此全等的長(zhǎng)方形組成的,見(jiàn)圖62。圖62只是長(zhǎng)方體平面展開(kāi)圖的一種畫(huà)法,還有別的畫(huà)法(從略)。3.(直)圓柱體沿圓柱的一條母線和側(cè)面與上、下底面的交線將圓柱剪開(kāi)鋪平,就得到圓柱體的平面展開(kāi)圖。它由一個(gè)長(zhǎng)方形和兩個(gè)全等的圓組成,這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是圓柱底面圓的周長(zhǎng),寬是圓柱體的高。這個(gè)長(zhǎng)方形又叫圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖。圖63就是圓柱的平面展開(kāi)圖。4.(直)圓錐體沿圓錐體的一條母線和側(cè)面與下底面圓的交線將圓錐體剪開(kāi)鋪平,就得到圓錐的平面展開(kāi)圖。它是由一個(gè)半徑為圓錐體的母線長(zhǎng),弧長(zhǎng)等于圓錐體底面圓的周長(zhǎng)的扇形和一個(gè)圓組成的,這個(gè)扇形又叫圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖。具體圖形見(jiàn)圖64。二、四種常見(jiàn)幾何體表面積與體積公式1.長(zhǎng)方體長(zhǎng)方體的表面積=2(ab+bc+ca)長(zhǎng)方體的體積=abc(這里a、b、c分別表示長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高)。2.正方體正方體的表面積=6a2正方體的體積=a3(這里a為正方體的棱長(zhǎng))。3.圓柱體圓柱體的側(cè)面積=2Rh圓柱體的全面積=2Rh+2R2=2R(h+R)圓柱體的體積=R2h(這里R表示圓柱體底面圓的半徑,h表示圓柱的高)。4.圓錐體圓錐體的側(cè)面積=Rl圓錐體的全面積=Rl+R2母線長(zhǎng)與高)。三、例題選講例1圖65中的幾何體是一個(gè)正方體,圖66是這個(gè)正方體的一個(gè)平面展開(kāi)圖,圖67(a)、(b)、(c)也是這個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖,但每一展開(kāi)圖上都有四個(gè)面上的圖案沒(méi)畫(huà)出來(lái),請(qǐng)你給補(bǔ)上。分析與解:從圖65和圖66中可知:與;與;與互相處于相對(duì)面的位置上。只要在圖67(a)、(b)、(c)三個(gè)展開(kāi)圖中,判定誰(shuí)與誰(shuí)處在互為對(duì)面的位置上,則標(biāo)有數(shù)字的四個(gè)空白面上的圖案便可以補(bǔ)上。先看圖67中的(a),仔細(xì)觀察可知,1與4,3與處在互為對(duì)面的位置上。再看圖67中的(b),同上,1與3,2與處在互為對(duì)面的位置上。最后再看圖67中的(c),同上,1與,2與4處在互為對(duì)面的位置上。圖67(a)、(b)、(c)標(biāo)有數(shù)字的空白面上的圖案見(jiàn)圖68中的(a)、(b)、(c)。例2圖69中的幾何體是一個(gè)長(zhǎng)方體,四邊形APQC是長(zhǎng)方體的一個(gè)截面(即過(guò)長(zhǎng)方體上四點(diǎn)A、P、Q、C的平面與長(zhǎng)方體相交所得到的圖形),P、Q分別為棱A1B1、B1C1的中點(diǎn),請(qǐng)?jiān)诖碎L(zhǎng)方體的平面展圖上,標(biāo)出線段AC、CQ、QP、PA來(lái)。分析與解:只要能正確畫(huà)出圖69中長(zhǎng)方體的平面展開(kāi)圖,問(wèn)題便能迎刃而解。圖610中的粗實(shí)線,就是題目中所要標(biāo)出的線段AC、CQ、QP、PA。例3在圖611中,M、N是圓柱體的同一條母線上且位于上、下底面上的兩點(diǎn),若從M點(diǎn)繞圓柱體的側(cè)面到達(dá)N,沿怎么樣的路線路程最短?分析與解:沿圓柱體的母線MN將圓柱的側(cè)面剪開(kāi)鋪平,得出圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖,見(jiàn)圖612,從M點(diǎn)繞圓柱體的側(cè)面到達(dá)N點(diǎn)。實(shí)際上是從側(cè)面展開(kāi)圖的長(zhǎng)方形的一個(gè)頂點(diǎn)M到達(dá)不相鄰的另一個(gè)頂點(diǎn)N。而兩點(diǎn)間以線段的長(zhǎng)度最短。所以最短路線就是側(cè)面展開(kāi)圖中長(zhǎng)方形的一條對(duì)角線,見(jiàn)圖612和圖613。例4圖614中的幾何體是一棱長(zhǎng)為4厘米的正方體,若在它的各個(gè)面的中心位置上,各打一個(gè)直徑為2厘米,深為1厘米的圓柱形的孔,求打孔后幾何體的表面積是多少(=3.14)?分析與解:因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2厘米,而孔深只有1厘米,所以正方體沒(méi)有被打透。這一來(lái)打孔后所得幾何體的表面積,等于原來(lái)正方體的表面積,再加上六個(gè)完全一樣的圓柱的側(cè)面積、這六個(gè)圓柱的高為1厘米,底面圓的半徑為1厘米。正方體的表面積為426=96(平方厘米)一個(gè)圓柱的側(cè)面積為211=6.28(平方厘米)幾何體的表面積為96+6.286=133.68(平方厘米)答:(略)例5圖615是由18個(gè)邊長(zhǎng)為1厘米的小正方體拼成的幾何體,求此幾何體的表面積是多少?分析與解:從圖615中可以看出,18個(gè)小正方體一共擺了三層,第一層2個(gè),第二層7個(gè),因?yàn)?8-7-2=9,所以第三層擺了9個(gè)。另外,上、下兩個(gè)面的表面積是相同的,同樣,前、后;左、右兩個(gè)面的表面積也是分別相同的。因?yàn)樾≌襟w的棱長(zhǎng)是1厘米,所以上面的表面積為129=9(平方厘米) 前面的表面積為128=8(平方厘米)左面的表面積為127=7(平方厘米) 幾何體的表面積為92+82+72= 答:(略)例6圖616中所示圖形,是一個(gè)底面直徑為20厘米的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯,水中放著一個(gè)底面直徑為6厘米,高20厘米的一個(gè)圓錐體鉛錘,當(dāng)鉛錘從水中取出后,杯里的水將下降幾厘米?(=3.14)分析與解:因?yàn)椴AП菆A柱形的,所以鉛錘取出后,水面下降部分實(shí)際是一個(gè)小圓柱,這個(gè)圓柱的底面與玻璃杯的底面一樣,是一直徑為20厘米的圓,它的體積正好等于圓錐體鉛錘的體積,這個(gè)小圓柱的高就是水面下降的高度。因?yàn)閳A錐形鉛錘的體積為設(shè)水面下降的高度為x,則小圓柱的體積為x(202)2x=100 x(立方厘米)所以有下列方程:60=100 x,解此方程得:x=0.6(厘米)答:鉛錘取出后,杯中水面下降了0.6厘米。例7橫截面直徑為2分米的一根圓鋼,截成兩段后,兩段表面積的和為75.36平方分米,求原來(lái)那根圓鋼的體積是多少(=3.14)?分析與解:根據(jù)圓柱體的體積公式,體積=底面積高。假設(shè)圓鋼長(zhǎng)為x,因?yàn)閷A鋼截成兩段后,兩段表面積的和,等于圓鋼的側(cè)面積加上四個(gè)底面圓的面積,所以有下面式子:2(22)x+4(22)2=2x+4根據(jù)題目中給出的已知條件,可得下面方程:2x+4=75.36解方程:圓鋼的體積為(22)21031.4(立方分米)答:(略)。例8一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為10厘米、圓心角為216的扇形,求此圓錐的體積是多少(=3.14)?分析與解:要想求出圓錐的體積,就要先求出它的底面圓的半徑與高。按題意畫(huà)圖617。在圖617中,字母R、h分別表示底面圓的半徑和圓錐體的高,根據(jù)弧長(zhǎng)公式:弧長(zhǎng)=2Rn360(這里R是圓的半徑,n為弧所對(duì)圓心角的度數(shù)),便可求出弧長(zhǎng)來(lái)。這個(gè)弧長(zhǎng)就是底面圓的周長(zhǎng),再利用周長(zhǎng)公式,就可求出底面圓的半徑R。另外從圖617中可以看出:圓錐的高、母線、底面圓的半徑正好構(gòu)成一個(gè)直角三角形,利用勾股定理便可求出圓錐的高h(yuǎn)。所以 2R=12,得R=6(厘米)在直角三角形中,根據(jù)勾股定理有:102=h2+R2,即h2=102-R2 =100-36=64,h=8(厘米)答:(略)例9圖618中的圖形是一個(gè)正方體,H、G、F分別是棱AB、AD、AA1的中點(diǎn)?,F(xiàn)在沿三角形GFH所在平面鋸掉正方體的一個(gè)角,問(wèn)鋸掉的這塊的體積是原正方體體積的幾分之幾?分析與解:因?yàn)殇彽舻氖橇⒎襟w的一個(gè)角,所以HA與AG、AF都垂直。即HA垂直于三角形AGF所在的立方體的上底面,實(shí)際上鋸掉的這個(gè)角,是以三角形AGF為底面,H為頂點(diǎn)的一個(gè)三棱錐,如果我們假設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,則正方體的體積為a3。三棱錐的底面是直角三角形AGF,而角FAG為90,G、F又分別為AD、而三棱錐的體積等于底面積與高的乘積再除以3,所以鋸掉的那一角的體積為答:(略)例10圖619是一個(gè)里面裝有水的三棱柱封閉容器,圖620是這個(gè)三棱柱的平面展開(kāi)圖。當(dāng)以A面作為底面放在桌面上時(shí),水高2厘米,如果以B面與C面分別作為底面放在桌面上時(shí),水面高各為多少厘米?分析與解:我們先求以A面作為底面放在桌面上時(shí)容器內(nèi)的水的體積。此時(shí)水的體積,與以梯形FJQP為底面、JI為高的棱柱的體積相等。棱柱的體積等于底面積乘以高,從圖620可以看出,此棱柱的高JI為12厘米,梯形FJQP的下底FJ為3厘米,高QJ為2厘米。因?yàn)镻TJQ是個(gè)長(zhǎng)方形,所以QJ=PT=2厘米,而Q點(diǎn)是GJ的中點(diǎn),PQ平行于FJ,這樣可以推算出QP為FJ的一半,為1.5厘米,這一來(lái)梯形FJQP的面積為以C面為底面時(shí),水的體積與以C(即三解形EHI)為底面,高為某數(shù)值此時(shí)水面的高度為:546=9(厘米)以B面作為底面時(shí),原來(lái)以A面為底面時(shí)不裝水的那一部分,現(xiàn)在應(yīng)裝水,原來(lái)裝水的某一部分現(xiàn)在應(yīng)空出來(lái),下面來(lái)討論這兩份之間的數(shù)量關(guān)系。為方便起見(jiàn),我們把C面適當(dāng)放大成圖621,在圖621中,因?yàn)镻Q平行于FJ,PT垂直于FJ,所以JQPT是一長(zhǎng)方圖6ZI形,故JQ、PT、QG的長(zhǎng)都是2厘米,TJ、PQ的長(zhǎng)為1.5厘米,因?yàn)镕J長(zhǎng)為3厘米,所以FT的長(zhǎng)也為1.5厘米,這一來(lái)三角形FPT與PQG的形狀一樣,面積相等。這便說(shuō)明原來(lái)以三角形PFT為底面,JI為高的裝水的棱柱的體積,與現(xiàn)在以三角形PQG為底面,JI為高裝水的棱柱的體積是相等的。所以以B面為底面時(shí),水面的高度等于PQ的長(zhǎng)度,即水面高為1.5厘米。答:(略)

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