六年級奧數(shù)圖形題2.doc

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1、六年級奧數(shù)圖形題22、3、4、5、6、如果一個正方形的周長和一個圓的周長相等，那么正方形的面積是圓面積的（）%解析：設正方形邊長為1，則正方形的周長為4，圓形周長也是4，那么圓形的半徑=4（2）=2/ 正方形的面積=1x1=1 圓形的面積=x（2/）=4/ 正方形的面積是圓面積的：1（4/）=/43.144=78.5% 答：正方形的面積大約是圓面積的78.5%。7、一、相加法：這種方法是將不規(guī)則圖形分解轉(zhuǎn)化成幾個基本規(guī)則圖形，分別計算它們的面積，然后相加求出整個圖形的面積.例如，右圖中，要求整個圖形的面積，只要先求出上面半圓的面積，再求出下面正方形的面積，然后把它們相加就可以了（如圖）。二、相

2、減法：這種方法是將所求的不規(guī)則圖形的面積看成是若干個基本規(guī)則圖形的面積之差.例如，右圖，若求陰影部分的面積，只需先求出正方形面積再減去里面圓的面積即可（如圖）。三、直接求法：這種方法是根據(jù)已知條件，從整體出發(fā)直接求出不規(guī)則圖形面積.如下頁右上圖，欲求陰影部分的面積，通過分析發(fā)現(xiàn)它是一個底2，高4的三角形，就可以直接求面積了（如圖）。四、重新組合法：這種方法是將不規(guī)則圖形拆開，根據(jù)具體情況和計算上的需要，重新組合成一個新的圖形，設法求出這個新圖形面積即可.例如，欲求右圖中陰影部分面積，可以把它拆開使陰影部分分布在正方形的4個角處，這時采用相減法就可求出其面積了（如圖）。五、輔助線法：這種方法是根

3、據(jù)具體情況在圖形中添一條或若干條輔助線，使不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成若干個基本規(guī)則圖形，然后再采用相加、相減法解決即可.如右圖，求兩個正方形中陰影部分的面積.此題雖然可以用相減法解決，但不如添加一條輔助線后用直接法作更簡便（如圖）。六、割補法：這種方法是把原圖形的一部分切割下來補在圖形中的另一部分使之成為基本規(guī)則圖形，從而使問題得到解決.例如，如右圖，欲求陰影部分的面積，只需把右邊弓形切割下來補在左邊，這樣整個陰影部分面積恰是正方形面積的一半（如圖）.七、平移法：這種方法是將圖形中某一部分切割下來平行移動到一恰當位置，使之組合成一個新的基本規(guī)則圖形，便于求出面積.例如，如上頁最后一圖，欲求陰影部分面積，

4、可先沿中間切開把左邊正方形內(nèi)的陰影部分平行移到右邊正方形內(nèi)，這樣整個陰影部分恰是一個正方形（如圖）。八、旋轉(zhuǎn)法：這種方法是將圖形中某一部分切割下來之后，使之沿某一點或某一軸旋轉(zhuǎn)一定角度貼補在另一圖形的一側(cè)，從而組合成一個新的基本規(guī)則的圖形，便于求出面積.例如，欲求上圖（1）中陰影部分的面積，可將左半圖形繞B點逆時針方向旋轉(zhuǎn)180，使A與C重合，從而構成如右圖（2）的樣子，此時陰影部分的面積可以看成半圓面積減去中間等腰直角三角形的面積（如圖）.九、對稱添補法：這種方法是作出原圖形的對稱圖形，從而得到一個新的基本規(guī)則圖形.原來圖形面積就是這個新圖形面積的一半.例如，欲求右圖中陰影部分的面積，沿AB

5、在原圖下方作關于AB為對稱軸的對稱扇形ABD.弓形CBD的面積的一半就是所求陰影部分的面積（如圖）。十、重疊法：這種方法是將所求的圖形看成是兩個或兩個以上圖形的重疊部分，然后運用“容斥原理”（SABSASB-SAB）解決。例如，欲求右圖中陰影部分的面積，可先求兩個扇形面積的和，減去正方形面積，因為陰影部分的面積恰好是兩個扇形重疊的部分（如圖）.1、如圖，ABCG是 的長方形，DEFG是 的長方形。那么，三角形BCM的面積與三角形DCM面積之差是多少？解答：長方形ABCG的面積是28，長方形DEFG的面積是20，梯形ABEF的面積是51，從圖中可以看出，三角形BCM的面積與三角形DCM面積之差就

6、等于梯形ABEF的面積減去長方形ABCG的面積再減去長方形DEFG的面積，得到結果。2、如圖所示，長方形ABCD內(nèi)的陰影部分的面積之和為70，AB= 8， AD=15四邊形BFGO的面積為_解答：四邊形EFGO的面積=三角形AFC+ 三角形BDF- 白色部分的面積三角形AFC+三角形BDF =長方形面積的一半即60，白色部分的面積等于長方形面積減去陰影部分的面積，即120-70=50所以四邊形的面積:60-50=103、4. 利用特殊規(guī)律等腰直角三角形，已知任意一條邊都可求出面積。(斜邊的平方除以4等于等腰直角三角形的面積)梯形對角線連線后，兩腰部分面積相等。圓的面積占外接正方形面積的78.5

7、%。4、在三角形ABC中，點E是BC邊上的中點，點F是中線AE上的點，其中AE3AF，并且延長BF與AC相交于D，如下圖所示。若三角形ABC的面積為48，請問三角形AFD的面積為多少？六年級奧數(shù)下冊：第五講 巧求面積 習題簡單的面積計算是小學數(shù)學的一項重要內(nèi)容.要會計算面積，首先要能識別一些特別的圖形：正方形、三角形、平行四邊形、梯形等等，然后會計算這些圖形的面積.如果我們把這些圖形畫在方格紙上，不但容易識別，而且容易計算.上面左圖是邊長為 4的正方形，它的面積是 44 16（格）；右圖是 35的長方形，它的面積是 35 15（格）.上面左圖是一個銳角三角形，它的底是5，高是4，面積是 542

8、 10（格）；右圖是一個鈍角三角形，底是4，高也是4，它的面積是4428（格）.這里特別說明，這兩個三角形的高線一樣長，鈍角三角形的高線有可能在三角形的外面.上面左圖是一個平行四邊形，底是5，高是3，它的面積是 5 3 15（格）；右圖是一個梯形，上底是 4，下底是7，高是4，它的面積是（4+7）4222（格）.上面面積計算的單位用“格”，一格就是一個小正方形.如果小正方形邊長是1厘米，1格就是1平方厘米；如果小正方形邊長是1米，1格就是1平方米.也就是說我們設定一個方格的邊長是1個長度單位，1格就是一個面積單位.在這一講中，我們直接用數(shù)表示長度或面積，省略了相應的長度單位和面積單位.一、三角

9、形的面積用直線組成的圖形，都可以劃分成若干個三角形來計算面積.三角形面積的計算公式是：三角形面積= 底高2.這個公式是許多面積計算的基礎.因此我們不僅要掌握這一公式，而且要會靈活運用.例1右圖中BD長是4，DC長是2，那么三角形ABD的面積是三角形ADC面積的多少倍呢？解：三角形ABD與三角形ADC的高相同.三角形ABD面積=4高2.三角形 ADC面積=2高2.因此三角形ABD的面積是三角形ADC面積的2倍.注意：三角形的任意一邊都可以看作是底，這條邊上的高就是三角形的高，所以每個三角形都可看成有三個底，和相應的三條高.例2右圖中，BD，DE，EC的長分別是2，4，2.F是線段AE的中點，三角

10、形ABC的高為4.求三角形DFE的面積.解：BC 2 4 2 8.三角形 ABC面積= 8 4216.我們把A和D連成線段，組成三角形ADE，它與三角形ABC的高相同，而DE長是4，也是BC的一半，因此三角形ADE面積是三角形ABC面積的一半.同樣道理，EF是AE的一半，三角形DFE面積是三角形ADE面積的一半.三角形 DFE面積= 1644.例3右圖中長方形的長是20，寬是12，求它的內(nèi)部陰影部分面積.解：ABEF也是一個長方形，它內(nèi)部的三個三角形陰影部分高都與BE一樣長.而三個三角形底邊的長加起來，就是FE的長.因此這三個三角形的面積之和是FEBE2，它恰好是長方形ABEF面積的一半.同樣

11、道理，F(xiàn)ECD也是長方形，它內(nèi)部三個三角形（陰影部分）面積之和是它的面積的一半.因此所有陰影的面積是長方形ABCD面積的一半，也就是20122120.通過方格紙，我們還可以從另一個途徑來求解.當我們畫出中間兩個三角形的高線，把每個三角形分成兩個直角三角形后，圖中每個直角三角形都是某個長方形的一半，而長方形ABCD是由這若干個長方形拼成.因此所有這些直角三角形（陰影部分）的面積之和是長方形ABCD面積的的一半.例4右圖中，有四條線段的長度已經(jīng)知道，還有兩個角是直角，那么四邊形ABCD（陰影部分）的面積是多少？解：把A和C連成線段，四邊形ABCD就分成了兩個，三角形ABC和三角形ADC.對三角形A

12、BC來說，AB是底邊，高是10，因此面積=4102 20.對三角形 ADC來說， DC是底邊，高是 8，因此面積=78228.四邊形 ABCD面積= 20 28 48.這一例題再一次告訴我們，鈍角三角形的高線有可能是在三角形的外面.例5在邊長為6的正方形內(nèi)有一個三角形BEF，線段AE3，DF2，求三角形BEF的面積.解：要直接求出三角形BEF的面積是困難的，但容易求出下面列的三個直角三角形的面積三角形 ABE面積=362 9.三角形 BCF面積= 6（6-2）2 12.三角形 DEF面積=2（6-3）2 3.我們只要用正方形面積減去這三個直角三角形的面積就能算出：三角形 BEF面積=66-9-

13、12-312.例6在右圖中，ABCD是長方形，三條線段的長度如圖所示，M是線段DE的中點，求四邊形ABMD（陰影部分）的面積.解：四邊形ABMD中，已知的太少，直接求它面積是不可能的，我們設法求出三角形DCE與三角形MBE的面積，然后用長方形ABCD的面積減去它們，由此就可以求得四邊形ABMD的面積.把M與C用線段連起來，將三角形DCE分成兩個三角形.三角形 DCE的面積是 7227.因為M是線段DE的中點，三角形DMC與三角形MCE面積相等，所以三角形MCE面積是 723.5.因為 BE 8是 CE 2的 4倍，三角形 MBE與三角形MCE高一樣，因此三角形MBE面積是3.5414.長方形

14、ABCD面積=7（82）=70.四邊形 ABMD面積=70-7- 14 49.二、有關正方形的問題先從等腰直角三角形講起.一個直角三角形，它的兩條直角邊一樣長，這樣的直角三角形，就叫做等腰直角三角形.它有一個直角（90度），還有兩個角都是45度，通常在一副三角尺中.有一個就是等腰直角三角形.兩個一樣的等腰直角三角形，可以拼成一個正方形，如圖（a）.四個一樣的等腰直角三角形，也可以拼成一個正方形，如圖（b）.一個等腰直角三角形，當知道它的直角邊長，從圖（a）知，它的面積是直角邊長的平方2.當知道它的斜邊長，從圖（b）知，它的面積是斜邊的平方4例7右圖由六個等腰直角三角形組成.第一個三角形兩條直角

15、邊長是8.后一個三角形的直角邊長，恰好是前一個斜邊長的一半，求這個圖形的面積.解：從前面的圖形上可以知道，前一個等腰直角三角形的兩個拼成的正方形，等于后一個等腰直角三角形四個拼成的正方形.因此后一個三角形面積是前一個三角形面積的一半，第一個等腰直角三角形的面積是88232.這一個圖形的面積是3216 8 4 21 63.例8如右圖，兩個長方形疊放在一起，小長形的寬是2，A點是大長方形一邊的中點，并且三角形ABC是等腰直角三角形，那么圖中陰影部分的總面積是多少？解：為了說明的方便，在圖上標上英文字母 D，E，F(xiàn)，G.三角形ABC的面積=2222.三角形ABC，ADE，EFG都是等腰直角三角形.三

16、角形ABC的斜邊，與三角形ADE的直角邊一樣長，因此三角形 ADE面積=ABC面積24.三角形EFG的斜邊與三角形ABC的直角邊一樣長.因此三角形EFG面積=ABC面積21.陰影部分的總面積是 415.例9如右圖，已知一個四邊形ABCD的兩條邊的長度AD7，BC3，三個角的度數(shù)：角 B和D是直角，角A是45.求這個四邊形的面積.解：這個圖形可以看作是一個等腰直角三角形ADE，切掉一個等腰直角三角形BCE.因為A是45，角D是90，角E是180-45-90 45，所以ADE是等腰直角三角形，BCE也是等腰直角三角形.四邊形ABCD的面積，是這兩個等腰直角三角形面積之差，即772-33220.這是

17、1994小學數(shù)學奧林匹克決賽試題.原來試題圖上并沒有畫出虛線三角形.參賽同學是不大容易想到把圖形補全成為等腰直角三角形.因此做對這道題的人數(shù)不多.但是有一些同學，用直線AC把圖形分成兩個直角三角形，并認為這兩個直角三角形是一樣的，這就大錯特錯了.這樣做，角 A是 45，這一條件還用得上嗎？圖形上線段相等，兩個三角形相等，是不能靠眼睛來測定的，必須從幾何學上找出根據(jù)，小學同學尚未學過幾何，千萬不要隨便對圖形下結論.我們應該從題目中已有的條件作為思考的線索.有45和直角，你應首先考慮等腰直角三角形.現(xiàn)在我們轉(zhuǎn)向正方形的問題.例10在右圖 1115的長方形內(nèi)，有四對正方形（標號相同的兩個正方形為一對

18、），每一對是相同的正方形，那么中間這個小正方形（陰影部分）面積是多少？解：長方形的寬，是“一”與“二”兩個正方形的邊長之和，長方形的長，是“一”、“三”與“二”三個正方形的邊長之和.長-寬 =15-114是“三”正方形的邊長.寬又是兩個“三”正方形與中間小正方形的邊長之和，因此中間小正方形邊長=11-423.中間小正方形面積=33 9.如果把這一圖形，畫在方格紙上，就一目了然了.例11從一塊正方形土地中，劃出一塊寬為1米的長方形土地（見圖），剩下的長方形土地面積是15.75平方米.求劃出的長方形土地的面積.解：剩下的長方形土地，我們已知道長-寬=1（米）.還知道它的面積是15.75平方米，那么

19、能否從這一面積求出長與寬之和呢？如果能求出，那么與上面“差”的算式就形成和差問題了.我們把長和寬拼在一起，如右圖.從這個圖形還不能算出長與寬之和，但是再拼上同樣的兩個正方形，如下圖就拼成一個大正方形，這個正方形的邊長，恰好是長方形的長與寬之和.可是這個大正方形的中間還有一個空洞.它也是一個正方形，仔細觀察一下，就會發(fā)現(xiàn)，它的邊長，恰好是長方形的長與寬之差，等于1米.現(xiàn)在，我們就可以算出大正方形面積：15.754+11 64（平方米）.64是88，大正方形邊長是 8米，也就是說長方形的長+寬=8（米）.因此長=（81）2 4.5（米）.寬=8-4.53.5（米）.那么劃出的長方形面積是4.514

20、. 5（平方米）.例12如右圖.正方形ABCD與正方形EFGC并放在一起.已知小正方形EFGC的邊長是6，求三角形AEG（陰影部分）的面積.解：四邊形AECD是一個梯形.它的下底是AD，上底是EC，高是CD，因此四邊形AECD面積=（小正方形邊長+大正方形邊長）大正方形邊長2三角形ADG是直角三角形，它的一條直角邊長DG=（小正方形邊長+大正方形邊長），因此三角形ADG面積=（小正方形邊長+大正方形邊長）大正方形邊長2.四邊形 AECD與三角形 ADG面積一樣大.四邊形AHCD是它們兩者共有，因此，三角形AEH與三角形HCG面積相等，都加上三角形EHG面積后，就有陰影部分面積=三角形ECG面積

21、=小正方形面積的一半= 66218.十分有趣的是，影陰部分面積，只與小正方形邊長有關，而與大正方形邊長卻沒有關系.三、其他的面積這一節(jié)將著重介紹求面積的常用思路和技巧.有些例題看起來不難，但可以給你啟發(fā)的內(nèi)容不少，請讀者仔細體會.例13畫在方格紙上的一個用粗線圍成的圖形（如右圖），求它的面積.解：直接計算粗線圍成的面積是困難的，我們通過扣除周圍正方形和直角三角形來計算.周圍小正方形有3個，面積為1的三角形有5個，面積為1.5的三角形有1個，因此圍成面積是44-3-5-1.56.5.例6與本題在解題思路上是完全類同的.例14下圖中 ABCD是 68的長方形，AF長是4，求陰影部分三角形AEF的面

22、積.解：三角形AEF中，我們知道一邊AF，但是不知道它的高多長，直接求它的面積是困難的.如果把它擴大到三角形AEB，底邊AB，就是長方形的長，高是長方形的寬，即BC的長，面積就可以求出.三角形AEB的面積是長方形面積的一半，而擴大的三角形AFB是直角三角形，它的兩條直角邊的長是知道的，很容易算出它的面積.因此三角形AEF面積（三角形 AEB面積）-（三角形 AFB面積）862-482 8.這一例題告訴我們，有時我們把難求的圖形擴大成易求的圖形，當然擴大的部分也要容易求出，從而間接地解決了問題.前面例9的解法，也是這種思路.例15下左圖是一塊長方形草地，長方形的長是16，寬是10.中間有兩條道路

23、，一條是長方形，一條是平行四邊形，那么有草部分的面積（陰影部分）有多大？解：我們首先要弄清楚，平行四邊形面積有多大.平行四邊形的面積是底高.從圖上可以看出，底是2，高恰好是長方形的寬度.因此這個平行四邊形的面積與 102的長方形面積相等.可以設想，把這個平行四邊形換成 102的長方形，再把橫豎兩條都移至邊上（如前頁右圖），草地部分面積（陰影部分）還是與原來一樣大小，因此草地面積=（16-2）（10-2） 112.例16右圖是兩個相同的直角三角形疊在一起，求陰影部分的面積.解：實際上，陰影部分是一個梯形，可是它的上底、下底和高都不知道，不能直接來求它的面積.陰影部分與三角形BCE合在一起，就是原

24、直角三角形.你是否看出， ABCD也是梯形，它和三角形BCE合在一起，也是原直角三角形.因此，梯形ABCD的面積與陰影部分面積一樣大.梯形ABCD的上底BC，是直角邊AD的長減去3，高就是DC的長.因此陰影部分面積等于梯形 ABCD面積=（88-3）52 32.5.上面兩個例子都啟發(fā)我們，如何把不容易算的面積，換成容易算的面積，數(shù)學上這叫等積變形.要想有這種“換”的本領，首先要提高對圖形的觀察能力.例17下圖是兩個直角三角形疊放在一起形成的圖形.已知 AF，F(xiàn)E，EC都等于3， CB， BD都等于 4.求這個圖形的面積.解：兩個直角三角形的面積是很容易求出的.三角形ABC面積=（333）421

25、8.三角形CDE面積=（44） 3212.這兩個直角三角形有一個重疊部分-四邊形BCEG，只要減去這個重疊部分，所求圖形的面積立即可以得出.因為 AF FE EC3，所以 AGF， FGE， EGC是三個面積相等的三角形.因為CBBD4，所以CGB，BGD是兩個面積相等的三角形.2三角形DEC面積= 22（三角形 GBC面積）2（三角形 GCE面積）.三角形ABC面積= （三角形 GBC面積）3（三角形GCE面積）.四邊形BCEG面積=（三角形GBC面積）（三角形GCE面積）=（21218）58.4.所求圖形面積=12 18- 8.421.6.例18如下頁左圖，ABCG是47長方形，DEFG是

26、 210長方形.求三角形 BCM與三角形 DEM面積之差.解：三角形BCM與非陰影部分合起來是梯形ABEF.三角形DEM與非陰影部分合起來是兩個長方形的和.（三角形BCM面積）-（三角形DEM面積）=（梯形ABEF面積）-（兩個長方形面積之和=（710）（42）2-（47 210）=3.例19上右圖中，在長方形內(nèi)畫了一些直線，已知邊上有三塊面積分別是13，35，49.那么圖中陰影部分的面積是多少？解：所求的影陰部分，恰好是三角形ABC與三角形CDE的公共部分，而面積為13，49，35這三塊是長方形中沒有被三角形ABC與三角形CDE蓋住的部分，因此（三角形 ABC面積）+（三角形CDE面積）（1

27、34935）（長方形面積）（陰影部分面積）.三角形ABC，底是長方形的長，高是長方形的寬；三角形CDE，底是長方形的寬，高是長方形的長.因此，三角形ABC面積，與三角形CDE面積，都是長方形面積的一半，就有陰影部分面積=13 49 35 97.一、四種常見幾何體的平面展開圖1.正方體沿正方體的某些棱將正方體剪開鋪平，就可以得到它的平面展開圖，這一展開圖是由六個全等的正方形組成的，見圖61。圖6l只是正方體平面展開圖的一種畫法，還有別的畫法（從略）。2.長方體沿長方體的某些棱將長方體剪開鋪平，就可以得到它的平面展開圖。這一展開圖是六個兩兩彼此全等的長方形組成的，見圖62。圖62只是長方體平面展開

28、圖的一種畫法，還有別的畫法（從略）。3.（直）圓柱體沿圓柱的一條母線和側(cè)面與上、下底面的交線將圓柱剪開鋪平，就得到圓柱體的平面展開圖。它由一個長方形和兩個全等的圓組成，這個長方形的長是圓柱底面圓的周長，寬是圓柱體的高。這個長方形又叫圓柱的側(cè)面展開圖。圖63就是圓柱的平面展開圖。4.（直）圓錐體沿圓錐體的一條母線和側(cè)面與下底面圓的交線將圓錐體剪開鋪平，就得到圓錐的平面展開圖。它是由一個半徑為圓錐體的母線長，弧長等于圓錐體底面圓的周長的扇形和一個圓組成的，這個扇形又叫圓錐的側(cè)面展開圖。具體圖形見圖64。二、四種常見幾何體表面積與體積公式1.長方體長方體的表面積=2（ab+bc+ca）長方體的體積=

29、abc（這里a、b、c分別表示長方體的長、寬、高）。2.正方體正方體的表面積=6a2正方體的體積=a3（這里a為正方體的棱長）。3.圓柱體圓柱體的側(cè)面積=2Rh圓柱體的全面積=2Rh+2R2=2R（h+R）圓柱體的體積=R2h（這里R表示圓柱體底面圓的半徑，h表示圓柱的高）。4.圓錐體圓錐體的側(cè)面積=Rl圓錐體的全面積=Rl+R2母線長與高）。三、例題選講例1圖65中的幾何體是一個正方體，圖66是這個正方體的一個平面展開圖，圖67（a）、（b）、（c）也是這個正方體的平面展開圖，但每一展開圖上都有四個面上的圖案沒畫出來，請你給補上。分析與解：從圖65和圖66中可知：與；與；與互相處于相對面的位

30、置上。只要在圖67（a）、（b）、（c）三個展開圖中，判定誰與誰處在互為對面的位置上，則標有數(shù)字的四個空白面上的圖案便可以補上。先看圖67中的（a），仔細觀察可知，1與4，3與處在互為對面的位置上。再看圖67中的（b），同上，1與3，2與處在互為對面的位置上。最后再看圖67中的（c），同上，1與，2與4處在互為對面的位置上。圖67（a）、（b）、（c）標有數(shù)字的空白面上的圖案見圖68中的（a）、（b）、（c）。例2圖69中的幾何體是一個長方體，四邊形APQC是長方體的一個截面（即過長方體上四點A、P、Q、C的平面與長方體相交所得到的圖形），P、Q分別為棱A1B1、B1C1的中點，請在此長方體的

31、平面展圖上，標出線段AC、CQ、QP、PA來。分析與解：只要能正確畫出圖69中長方體的平面展開圖，問題便能迎刃而解。圖610中的粗實線，就是題目中所要標出的線段AC、CQ、QP、PA。例3在圖611中，M、N是圓柱體的同一條母線上且位于上、下底面上的兩點，若從M點繞圓柱體的側(cè)面到達N，沿怎么樣的路線路程最短？分析與解：沿圓柱體的母線MN將圓柱的側(cè)面剪開鋪平，得出圓柱的側(cè)面展開圖，見圖612，從M點繞圓柱體的側(cè)面到達N點。實際上是從側(cè)面展開圖的長方形的一個頂點M到達不相鄰的另一個頂點N。而兩點間以線段的長度最短。所以最短路線就是側(cè)面展開圖中長方形的一條對角線，見圖612和圖613。例4圖614中

32、的幾何體是一棱長為4厘米的正方體，若在它的各個面的中心位置上，各打一個直徑為2厘米，深為1厘米的圓柱形的孔，求打孔后幾何體的表面積是多少（=3.14）？分析與解：因為正方體的棱長為2厘米，而孔深只有1厘米，所以正方體沒有被打透。這一來打孔后所得幾何體的表面積，等于原來正方體的表面積，再加上六個完全一樣的圓柱的側(cè)面積、這六個圓柱的高為1厘米，底面圓的半徑為1厘米。正方體的表面積為426=96（平方厘米）一個圓柱的側(cè)面積為211=6.28（平方厘米）幾何體的表面積為96+6.286=133.68（平方厘米）答：（略）例5圖615是由18個邊長為1厘米的小正方體拼成的幾何體，求此幾何體的表面積是多少

33、？分析與解：從圖615中可以看出，18個小正方體一共擺了三層，第一層2個，第二層7個，因為18-7-2=9，所以第三層擺了9個。另外，上、下兩個面的表面積是相同的，同樣，前、后；左、右兩個面的表面積也是分別相同的。因為小正方體的棱長是1厘米，所以上面的表面積為129=9（平方厘米） 前面的表面積為128=8（平方厘米）左面的表面積為127=7（平方厘米） 幾何體的表面積為92+82+72= 答：（略）例6圖616中所示圖形，是一個底面直徑為20厘米的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯，水中放著一個底面直徑為6厘米，高20厘米的一個圓錐體鉛錘，當鉛錘從水中取出后，杯里的水將下降幾厘米？（=3.14）分析

34、與解：因為玻璃杯是圓柱形的，所以鉛錘取出后，水面下降部分實際是一個小圓柱，這個圓柱的底面與玻璃杯的底面一樣，是一直徑為20厘米的圓，它的體積正好等于圓錐體鉛錘的體積，這個小圓柱的高就是水面下降的高度。因為圓錐形鉛錘的體積為設水面下降的高度為x，則小圓柱的體積為x（202）2x=100 x（立方厘米）所以有下列方程：60=100 x，解此方程得：x=0.6（厘米）答：鉛錘取出后，杯中水面下降了0.6厘米。例7橫截面直徑為2分米的一根圓鋼，截成兩段后，兩段表面積的和為75.36平方分米，求原來那根圓鋼的體積是多少（=3.14）？分析與解：根據(jù)圓柱體的體積公式，體積=底面積高。假設圓鋼長為x，因為將

35、圓鋼截成兩段后，兩段表面積的和，等于圓鋼的側(cè)面積加上四個底面圓的面積，所以有下面式子：2（22）x+4（22）2=2x+4根據(jù)題目中給出的已知條件，可得下面方程：2x+4=75.36解方程：圓鋼的體積為（22）21031.4（立方分米）答：（略）。例8一個圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為10厘米、圓心角為216的扇形，求此圓錐的體積是多少（=3.14）？分析與解：要想求出圓錐的體積，就要先求出它的底面圓的半徑與高。按題意畫圖617。在圖617中，字母R、h分別表示底面圓的半徑和圓錐體的高，根據(jù)弧長公式：弧長=2Rn360（這里R是圓的半徑，n為弧所對圓心角的度數(shù)），便可求出弧長來。這個弧長就是底面

36、圓的周長，再利用周長公式，就可求出底面圓的半徑R。另外從圖617中可以看出：圓錐的高、母線、底面圓的半徑正好構成一個直角三角形，利用勾股定理便可求出圓錐的高h。所以 2R=12，得R=6（厘米）在直角三角形中，根據(jù)勾股定理有：102=h2+R2，即h2=102-R2 =100-36=64，h=8（厘米）答：（略）例9圖618中的圖形是一個正方體，H、G、F分別是棱AB、AD、AA1的中點。現(xiàn)在沿三角形GFH所在平面鋸掉正方體的一個角，問鋸掉的這塊的體積是原正方體體積的幾分之幾？分析與解：因為鋸掉的是立方體的一個角，所以HA與AG、AF都垂直。即HA垂直于三角形AGF所在的立方體的上底面，實際上

37、鋸掉的這個角，是以三角形AGF為底面，H為頂點的一個三棱錐，如果我們假設正方體的棱長為a，則正方體的體積為a3。三棱錐的底面是直角三角形AGF，而角FAG為90，G、F又分別為AD、而三棱錐的體積等于底面積與高的乘積再除以3，所以鋸掉的那一角的體積為答：（略）例10圖619是一個里面裝有水的三棱柱封閉容器，圖620是這個三棱柱的平面展開圖。當以A面作為底面放在桌面上時，水高2厘米，如果以B面與C面分別作為底面放在桌面上時，水面高各為多少厘米？分析與解：我們先求以A面作為底面放在桌面上時容器內(nèi)的水的體積。此時水的體積，與以梯形FJQP為底面、JI為高的棱柱的體積相等。棱柱的體積等于底面積乘以高，

38、從圖620可以看出，此棱柱的高JI為12厘米，梯形FJQP的下底FJ為3厘米，高QJ為2厘米。因為PTJQ是個長方形，所以QJ=PT=2厘米，而Q點是GJ的中點，PQ平行于FJ，這樣可以推算出QP為FJ的一半，為1.5厘米，這一來梯形FJQP的面積為以C面為底面時，水的體積與以C（即三解形EHI）為底面，高為某數(shù)值此時水面的高度為：546=9（厘米）以B面作為底面時，原來以A面為底面時不裝水的那一部分，現(xiàn)在應裝水，原來裝水的某一部分現(xiàn)在應空出來，下面來討論這兩份之間的數(shù)量關系。為方便起見，我們把C面適當放大成圖621，在圖621中，因為PQ平行于FJ，PT垂直于FJ，所以JQPT是一長方圖6ZI形，故JQ、PT、QG的長都是2厘米，TJ、PQ的長為1.5厘米，因為FJ長為3厘米，所以FT的長也為1.5厘米，這一來三角形FPT與PQG的形狀一樣，面積相等。這便說明原來以三角形PFT為底面，JI為高的裝水的棱柱的體積，與現(xiàn)在以三角形PQG為底面，JI為高裝水的棱柱的體積是相等的。所以以B面為底面時，水面的高度等于PQ的長度，即水面高為1.5厘米。答：（略）