2019年高考數(shù)學(xué) 專題04 三角函數(shù)與三角恒等變換（第一季）壓軸題必刷題 理

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1、專題04三角函數(shù)與三角恒等變換第一季 1．已知是函數(shù)圖象的一個最高點，是與相鄰的兩個最低點.設(shè)，若，則的圖象對稱中心可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 結(jié)合題意,繪圖 ，，所以周期，解得，所以 ，令k=0，得到 所以， 令,得對稱中心，令m=1,得到對稱中心坐標(biāo)為，故選D。 2．拋物線的焦點為，已知點，為拋物線上的兩個動點，且滿足，過弦的中點作該拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的最小值為 A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】 設(shè)|AF|＝a，|BF|＝b， 由拋物線定義，得|AF|＝|AQ

2、|，|BF|＝|BP| 在梯形ABPQ中，∴2|CD|＝|AQ|+|BP|＝a+b． 由余弦定理得， |AB|2＝a2+b2﹣2abcos60°＝a2+b2﹣ab 配方得，|AB|2＝（a+b）2﹣3ab， 又∵ab≤（ ） 2， ∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2（a+b）2（a+b）2 得到|AB|（a+b）＝|CD|． ∴1，即的最小值為1． 故選：B． 3．已知函數(shù)的圖像經(jīng)過點和.若函數(shù)在區(qū)間上有唯一零點，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 函數(shù)的圖象經(jīng)過點和. 令， 在區(qū)間上有唯一零點，

3、 等價于在上有唯一解， 的圖象時有一個交點， 故由正弦函數(shù)圖象可得或， 解得,故選D. 4．如圖，在半徑為1的扇形AOB中（O為原點），．點P（x，y）是上任意一點，則xy+x+y的最大值為（　　） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解析】 由題意知x=cosα，y=sinα，0≤α≤， 則xy+x+y=sinαcosα+sinα+cosα， 設(shè)t=sinα+cosα，則t2=1+2sinαcosα， 即sinαcosα=， 則xy+x+y=sinαcosα+sinα+cosα= t=sinα+cosα=sin（α+）， ∵0≤α≤，

4、∴≤α+≤， ∴. ∴當(dāng)t=時，xy+x+y取得最大值為：． 故選：D． 5．已知函數(shù)的圖象過點，且在上單調(diào)，同時的圖象向左平移個單位之后與原來的圖象重合，當(dāng)，且時，，則 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由函數(shù)的圖像過點， 所以，解得， 又，所以， 所以； 的圖像向左平移各單位后為： ， 由兩圖像完全重合可得，所以，; 又因為在單調(diào)， 所以， 所以，所以； 所以，其圖像對稱軸位，即，； 當(dāng)，其對稱軸為， 因為，所以， 所以，故選C。 6．已知存在，且，使得，其中，則實數(shù)的值可能為 A．1 B．2 C．3

5、 D．4 【答案】D 【解析】 由得, 所以,即， 因為，所以 當(dāng)時，，舍去； 當(dāng)時，，舍去； 當(dāng)時，，舍去； 當(dāng)時，，選D. 7．已知函數(shù)，兩個等式：對任意的實數(shù)均恒成立，且上單調(diào)，則的最大值為 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 1.當(dāng)時，，因為對任意的實數(shù)x均恒成立，所以，因為，所以，所以，可以驗證在上不單調(diào)， 2.當(dāng)時，，因為對任意的實數(shù)x均恒成立，所以，因為·所以·所以，可以驗證在上單調(diào)， 所以w=1.故選A. 8．已知函數(shù)，有三個不同的零點，且，則的值為（ ） A． B． C． D．不能確定

6、【答案】A 【解析】 畫出函數(shù)在內(nèi)的圖像以及的圖像如下圖所示，令，解得，令，解得.由圖像可知關(guān)于直線對稱，關(guān)于直線對稱，故，，所以. 9．如圖，某大風(fēng)車的半徑為2米，每12秒旋轉(zhuǎn)一周，它的最低點O離地面1米，點O在地面上的射影為A.風(fēng)車圓周上一點M從最低點O開始，逆時針方向旋轉(zhuǎn)40秒后到達(dá)P點，則點P到點A的距離與點P的高度之和為（ ） A．5米 B．(4＋)米 C．(4＋)米 D．(4＋)米 【答案】D 【解析】 以圓心為原點，以水平方向為x軸方向，以豎直方向為y軸方向， 建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示． 設(shè)∠OP＝θ，運動t(秒)后與地面的距離為f(t

7、)，又T＝12， ∴θ＝t，∴f(t)＝3－2cos t，t≥0， 風(fēng)車圓周上一點M從最低點O開始，逆時針方向旋轉(zhuǎn)40秒后到達(dá)P點， θ＝6π＋，P(，1)， ∴點P的高度為3－2×＝4.∵A(0，－3)，∴AP＝＝， ∴點P到點A的距離與點P的高度之和為(4＋)米，故選D． 10．已知點O是銳角△ABC的外心，a，b，c分別為內(nèi)角A、B、C的對邊，A= ，且，則λ的值為（　　） A． B．﹣ C． D．﹣ 【答案】D 【解析】 如圖所示：O是銳角△ABC的外心， D、E分別是AB、AC的中點，且OD⊥AB，OE⊥AC， 設(shè)△ABC外接圓半徑為R，

8、則R， 由圖得，， 則 ， 同理可得，， 由得， ， 所以， 則，① 在△ABC中由正弦定理得：， 代入①得，， 則，② 由正弦定理得，、， 代入②得，2RsinCcosB+2RcosCsinB＝﹣λR； 所以2sin（C+B）＝﹣λ，即2sinλ， 解得λ，故選D． 11．設(shè)分別是的內(nèi)角的對邊，已知，設(shè)是邊的中點，且的面積為，則等于（ ） A．2 B．4 C．-4 D．-2 【答案】A 【解析】 ∵，， ∴由正弦定理可得：，整理可得：b2+c2﹣a2=-bc， ∴由余弦定理可得：cosA=，∴由A∈（0，π），可得：A=，又

9、的面積為，即,∴bc=4, 又=-=-=- ===-bccosA=2. 故選A. 12．已知函數(shù)，若，且，則取最大值時的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 13．已知函數(shù)，為的零點，為圖象的對稱軸，如果存在實數(shù)x0，使得對任意的實數(shù)x，都有成立，當(dāng)取最小值時 A．在上是增函數(shù) B．在上是增函數(shù) C．在上是減函數(shù) D．在上是減函數(shù) 【答案】B 【解析】 因為為函數(shù)的零點，故. 因為是圖像的對稱軸，故，故，. 因，故或者，所以或者， . 因恒成立，故， 若，故，所以，故； 若，則，所以，故； 所以，令，， 故，所

10、以在上為增函數(shù)， 故選B. 14．如圖所示，已知面，于，，令，，則（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 因為PA⊥平面ABC，AD⊥BC于D，BC=CD=AD=1，設(shè)PD=x， 所以， 在△PBC中，根據(jù)余弦定理可得 所以 所以 所以選A 15．函數(shù)（）的圖象關(guān)于直線對稱，在區(qū)間上任取三個實數(shù)，，，總能以，，的長邊構(gòu)成三角形，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 函數(shù)（）的圖象關(guān)于直線對稱 即 ,當(dāng)時， ，即由三角函數(shù)的單調(diào)性可知在區(qū)間上， 則在區(qū)間上

11、任取三個實數(shù)，，，總能以，，的長邊構(gòu)成三角形， 且，即 故選D. 16．如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,點, 分別在軸和軸非負(fù)半軸上,點在第一象限,且, ,那么, 兩點間距離的( ) A．最大值是,最小值是 B．最大值是,最小值是 C．最大值是,最小值是 D．最大值是,最小值是 【答案】A 【解析】 設(shè)BC與x軸的夾角為（），E 為△ABC的中點， 當(dāng)時，如圖： 易知 ； 當(dāng) 時，A,O,E三點構(gòu)成如圖三角形，根據(jù)題意，可知， ， 則， ∴ 即 16<<32，解得； 當(dāng)時，如圖,四邊形ABOC是正方形， 當(dāng) 時，A,O,E三點構(gòu)

12、成如圖三角形， ∴ 同理可求得； 當(dāng)時，易求得OA=4 故OA的最大值是，最小值是4 故選A 17．已知函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，且在區(qū)間上不單調(diào)，則的可能值有 A．個 B．個 C．個 D．個 【答案】D 【解析】 已知函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)，則， 又∵ ，∴，∴， 根據(jù)題意，可知在區(qū)間上不單調(diào)， 則 ， ，即, ∴ ∵∴， 當(dāng)k=1時，可以為3；當(dāng)k=2時，可以為7，6，5；當(dāng)k=3時，可以為11,10,9,8,7,； 當(dāng)k=4時，可以為12,11,10,9；當(dāng)k=5時，可以為12,11； 綜上所述，可以為3,5，6,7

13、,8,9,10,11,12，共9個 故選D. 18．已知函數(shù)，，對任意恒有，且在區(qū)間上有且只有一個使，則的最大值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 分類討論： ①.當(dāng)k=19時，，此時可使成立， 當(dāng)時，， 所以當(dāng)或時，都成立，舍去； ②.當(dāng)k=18時，，此時可使成立， 當(dāng)時，， 所以當(dāng)或時，都成立，舍去； ③.當(dāng)k=17時，，此時可使成立， 當(dāng)時，， 當(dāng)且僅當(dāng)時，都成立， 綜上可得：ω的最大值為. 本題選擇C選項. 19．已知函數(shù)，對x∈R恒有，且在區(qū)間上有且只有一個的最大值為 A． B． C． D． 【

14、答案】B 【解析】 由題意知，,則，k ，其中k =， ，故與同為奇數(shù)或同為偶數(shù). 在上有且只有一個最大，且要求最大，則區(qū)間包含的周期應(yīng)該最多，所以，得，即，所以. 當(dāng)時，，為奇數(shù)，，此時，當(dāng)或6.5時，都成立，舍去； 當(dāng)時，，為偶數(shù)，，此時，當(dāng)或4.5π時，都成立，舍去； 當(dāng)時，，為奇數(shù)，，此時，當(dāng)且僅當(dāng)時，成立. 綜上所述，最大值為. 故選：B 20．已知雙曲線：右支上的一點，經(jīng)過點的直線與雙曲線的兩條漸近線分別相交于，兩點.若點，分別位于第一，四象限，為坐標(biāo)原點.當(dāng)時，的面積為，則雙曲線的實軸長為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 可設(shè) 的面積為 由題意可得，解得① ，由，可得 即為 代入雙曲線的方程，可得，化簡得，②，由①②解得 ，所以. 故選A. 20