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2020屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 課時跟蹤練(五十七)直線與橢圓的綜合問題(提升課) 理(含解析)新人教A版

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2020屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 課時跟蹤練(五十七)直線與橢圓的綜合問題(提升課) 理(含解析)新人教A版

課時跟蹤練(五十七)A組基礎(chǔ)鞏固1直線ykxk1與橢圓1的位置關(guān)系為()A相交 B相切 C相離 D不確定解析:由于直線ykxk1k(x1)1過定點(diǎn)(1,1),又(1,1)在橢圓內(nèi),故直線與橢圓相交答案:A2已知橢圓1(a>b>0)的一條弦所在的直線方程是xy50,弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是M(4,1),則橢圓的離心率是()A. B. C. D.解析:設(shè)直線與橢圓交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2),分別代入橢圓方程,由點(diǎn)差法可知yMxM,代入k1,M(4,1),解得,e ,故選C.答案:C3(2019·呂梁模擬)設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓y21的左、右焦點(diǎn),若橢圓上存在一點(diǎn)P,使得()·0(O為坐標(biāo)原點(diǎn),則F1PF2的面積是()A4 B3C2 D1解析:因?yàn)?)·()··0,所以PF1PF2,F(xiàn)1PF290°.設(shè)|PF1|m,|PF2|n,則mn4,m2n212,2mn4,所以SF1PF2mn1.故選D.答案:D4若直線axby30與圓x2y23沒有公共點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,b),則過點(diǎn)P的一條直線與橢圓1的公共點(diǎn)的個數(shù)為()A0 B1 C2 D1或2解析:由題意得,圓心(0,0)到直線axby30的距離為 >,所以a2b2<3.又a,b不同時為零,所以0<a2b2<3.由0<a2b2<3,可知|a|<,|b|<,由橢圓的方程和其長半軸長為2,短半軸長為,所以P(a,b)在橢圓內(nèi)部,所以過點(diǎn)P的一條直線與橢圓1的公共點(diǎn)有2個故選C.答案:C5斜率為1的直線l與橢圓y21相交于A,B兩點(diǎn),則|AB|的最大值為()A2 B.C. D.解析:設(shè)直線l的方程為yxt,代入y21,消去y得x22txt210,由題意知(2t)25(t21)>0,即t2<5,|AB| (當(dāng)且僅當(dāng)t0時取等號)故選C.答案:C6已知橢圓1(a>b>0)的右頂點(diǎn)為A(1,0),過其焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為1,則橢圓方程為_解析:因?yàn)闄E圓1的右頂點(diǎn)為A(1,0),所以b1,焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,c),因?yàn)檫^焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為1,所以1,a2,所以橢圓方程為x21.答案:x217(2019·贛南五校聯(lián)考)橢圓E:1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,焦距為2c.若直線y(xc)與橢圓E的一個交點(diǎn)M滿足MF1F22MF2F1,則該橢圓的離心率等于_解析:由已知得直線y(xc)過M、F1兩點(diǎn),所以直線MF1的斜率為,所以MF1F260°,則MF2F130°,F(xiàn)1MF290°,則MF1c,MF2c,由點(diǎn)M在橢圓E上知,cc2a,故e1.答案:18已知直線l過點(diǎn)P(2,1)且與橢圓1交于A,B兩點(diǎn),當(dāng)P為AB中點(diǎn)時,直線AB的方程為_解析:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),因?yàn)锳,B兩點(diǎn)在橢圓上,所以1,1,得,0,又AB的中點(diǎn)為P(2,1),所以x1x24,y1y22,即0,所以kAB,故AB的方程為y1(x2),即8x9y250.答案:8x9y2509已知橢圓C:1(ab0)的離心率為,其中左焦點(diǎn)為F(2,0)(1)求橢圓C的方程;(2)若直線yxm與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,且線段AB的中點(diǎn)M在圓x2y21上,求m的值解:(1)由題意,得解得所以橢圓C的方程為1.(2)設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),線段AB的中點(diǎn)為M(x0,y0),由消去y得,3x24mx2m280,968m2>0,所以2<m<2,因?yàn)閤0,所以y0x0m,因?yàn)辄c(diǎn)M(x0,y0)在圓x2y21上,所以1,所以m±.10(2019·衡陽模擬)已知橢圓C:1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,離心率為,直線y1與C的兩個交點(diǎn)間的距離為.(1)求橢圓C的方程;(2)分別過F1、F2作l1、l2滿足l1l2,設(shè)l1、l2與C的上半部分分別交于A、B兩點(diǎn),求四邊形ABF2F1面積的最大值解:(1)易知橢圓過點(diǎn),所以1,又,a2b2c2,由得a24,b23,所以橢圓C的方程為1.(2)設(shè)直線l1的方程為xmy1,它與C的另一個交點(diǎn)為D.將直線l1與橢圓C的方程聯(lián)立,消去x,得(3m24)y26my90,144(m21)>0.|AD|·,又F2到l1的距離d,所以SADF2.令t,t1,則SADF2,當(dāng)t1時,SADF2取得最大值,為3.又S四邊形ABF2F1(|BF2|AF1|)·d(|AF1|DF1|)·d|AD|·dSADF2,所以四邊形ABF2F1面積的最大值為3.B組素養(yǎng)提升11已知橢圓E的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,過F1且斜率為2的直線交橢圓E于P,Q兩點(diǎn),若PF1F2為直角三角形,則橢圓E的離心率為()A. B.C. D.解析:由題意可知,F(xiàn)1PF2是直角,且tan PF1F22,所以2,又|PF1|PF2|2a,所以|PF1|,|PF2|.根據(jù)勾股定理得(2c)2,所以離心率e.答案:A12過橢圓1內(nèi)的一點(diǎn)P(2,1)的弦,恰好被點(diǎn)P平分,則這條弦所在的直線方程是()A5x3y130 B5x3y130C5x3y130 D5x3y130解析:設(shè)弦的端點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2),則故××0,又x1x24,y1y22,故斜率k.故這條弦所在直線方程為y1(x2),即5x3y130.答案:A13已知直線l:ykx2過橢圓1(a>b>0)的上頂點(diǎn)B和左焦點(diǎn)F,且被圓x2y24截得的弦長為L,若L,則橢圓離心率e的取值范圍是_解析:依題意,知b2,kc2.設(shè)圓心到直線l的距離為d,則L2,解得d2.又因?yàn)閐,所以,解得k2.于是e2,所以0<e2,解得0<e.答案:14(2018·天津卷)設(shè)橢圓1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為B.已知橢圓的離心率為,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(b,0),且|FB|·|AB|6.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)直線l:ykx(k>0)與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為P,且l與直線AB交于點(diǎn)Q.若sinAOQ(O為原點(diǎn)),求k的值解:(1)設(shè)橢圓的焦距為2c,由已知有,又由a2b2c2,可得2a3b.由已知可得|FB|a,|AB|b,由|FB|·|AB|6,可得ab6,從而a3,b2.所以,橢圓的方程為1.(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x1,y1),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x2,y2)由已知有y1>y2>0,故|PQ|sinAOQy1y2.又因?yàn)閨AQ|,而OAB,所以|AQ|y2.由sinAOQ,可得5y19y2.由方程組消去x,可得y1.易知直線AB的方程為xy20,由方程組消去x,可得y2.由5y19y2,可得5(k1)3,兩邊平方,整理得56k250k110,解得k或k.所以k的值為或.7

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