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2020屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第三單元 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第20講 導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用及綜合應(yīng)用練習(xí) 理(含解析)新人教A版

  • 資源ID:116493430       資源大?。?span id="12w7266" class="font-tahoma">2.34MB        全文頁數(shù):5頁
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2020屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第三單元 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第20講 導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用及綜合應(yīng)用練習(xí) 理(含解析)新人教A版

第20講導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用及綜合應(yīng)用1某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明,該商品每日的銷售量y(單位:千克)與銷售價格x(單位:元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)10(x6)2,其中3x6,a為常數(shù)已知銷售價格為5元/千克時,每日可售出該商品11千克(1)求a的值;(2)若該商品的成本為3元/千克,試確定銷售價格x的值,使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大 (1)因為當(dāng)x5時,y11,所以10(56)211,解得a2.(2)由(1)知該商品每日的銷售量y10(x6)2(3x6),所以該商場每日銷售該商品所獲得的利潤f(x)10(x6)2(x3)210(x3)(x6)2(3x6),所以f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)當(dāng)x變化時,f(x),f(x)的變化情況如下表:x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)單調(diào)遞增極大值42單調(diào)遞減由上表可得,x4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點,也是最大值點,所以當(dāng)x4時,f(x)max42.答:當(dāng)銷售價格定為4元/千克時,商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大2請你設(shè)計一個包裝盒,如圖所示,ABCD是邊長為60 cm的正方形硬紙片,切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形,再沿虛線折起,使得A、B、C、D四個點重合于圖中的點P,正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒,E、F在AB上被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點,設(shè)AEFBx(cm)(1)若廣告商要包裝盒側(cè)面積S(cm2)最大,試問x應(yīng)取何值?(2)若廣告商要包裝盒容積V(cm3)最大,試問x應(yīng)取何值?并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值 (1)根據(jù)題意,有S4×x×(602x)8(x15)21800(0<x<30)所以x15時,包裝盒側(cè)面積S最大(2)根據(jù)題意,有V(x)2×(602x)2x2(30x)(0<x<30)所以V6x(20x)當(dāng)0<x<20時,V>0,V單調(diào)遞增;當(dāng)20<x<30時,V<0,V單調(diào)遞減所以當(dāng)x20時,V取極大值,也是最大值此時,包裝盒的高與底面邊長的比值為,即x20時,包裝盒容積V(cm3)最大,此時包裝盒的高與底面邊長的比值為.3(2017·全國卷)已知函數(shù)f(x)ax2axxln x,且f(x)0.(1)求a;(2)證明:f(x)存在唯一的極大值點x0,且e2<f(x0)<22. (1)f(x)的定義域為(0,)設(shè)g(x)axaln x,則f(x)xg(x),f(x)0等價于g(x)0.因為g(1)0,g(x)0,故g(1)0,而g(x)a,g(1)a1,得a1.若a1,則g(x)1.當(dāng)0<x<1時,g(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x>1時,g(x)>0,g(x)單調(diào)遞增所以x1是g(x)的極小值點,故g(x)g(1)0.綜上,a1.(2)由(1)知f(x)x2xxln x,f(x)2x2ln x.設(shè)h(x)2x2ln x,則h(x)2.當(dāng)x(0,)時,h(x)<0;當(dāng)x(,)時,h(x)>0.所以h(x)在(0,)上單調(diào)遞減,在(,)上單調(diào)遞增又h(e2)>0,h()<0,h(1)0,所以h(x)在(0,)上有唯一零點x0,在,)上有唯一零點1,且當(dāng)x(0,x0)時,h(x)>0;當(dāng)x(x0,1)時,h(x)<0;當(dāng)x(1,)時,h(x)>0.因為f(x)h(x),所以xx0是f(x)的唯一極大值點由f(x0)0得ln x02(x01),故f(x0)x0(1x0)由x0(0,)得f(x0)<.因為xx0是f(x)在(0,1)上的最大值點,由e1(0,1),f(e1)0得f(x0)>f(e1)e2.所以e2<f(x0)<22.4(2018·華南師大附中模擬)函數(shù)f(x)x2mln(1x)(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)若函數(shù)f(x)有兩個極值點x1,x2,且x1<x2,求證:2f(x2)>x12x1ln 2. f(x)的定義域是(1,),f(x),(1)由題設(shè)知,1x>0,令g(x)2x22xm,這是開口向上,以x為對稱軸的拋物線,g()m,當(dāng)g()0,即m時,g(x)0,即f(x)0在(1,)上恒成立當(dāng)g()<0,即m<時,由g(x)2x22xm0得x±,令x1,x2,則x1<,x2>.1)當(dāng)g(1)0即m0時,x1<1,故在(1,x2)上,g(x)<0,即f(x)<0,在(x2,)上,g(x)>0,即f(x)>0.2)當(dāng)g(1)>0時,即0<m<時,x(1,x1)x1(x1,x2)x2(x2,)g(x)>000f(x)>000f(x)遞增遞減遞增綜上:m0時,f(x)在(1,)上單調(diào)遞減,在(,)上單調(diào)遞增;0<m<時,f(x)在(,)上單調(diào)遞減,在(1,)和(,)上單調(diào)遞增;m時,f(x)在(1,)上單調(diào)遞增(2)證明:若函數(shù)f(x)有兩個極值點x1,x2,且x1<x2,則必是0<m<,g(0)>0,則1<x1<<x2<0,且f(x)在(x1,x2)上遞減,在(1,x1)和(x2,)上遞增,則f(x2)<f(0)0,因為x1,x2是g(x)2x22xm0的兩個不等實根,所以 即x11x2,m2x1x2,所以若證2f(x2)>x12x1ln 2成立,只需證2f(x2 ) 2x 2mln(1 x2 ) 2x 4x1 x2 ln(1 x2 )2x4(1 x2 )x2 ln(1 x2 )>(1x2)2(1x2)ln 21x22(1x2)ln 2.即證2x4(1 x2 )x2 ln(1 x2 )(1x2)(12ln 2)>0對<x2<0恒成立,設(shè)(x)2x24(1x)xln(1x)(1x)(12ln 2)(<x<0),(x)4(12x)ln(1x)ln,當(dāng)<x<0時,12x>0,ln(1x)<0,ln>0,故(x)>0,故(x)在(,0)上遞增,故(x)>()2×4××()×ln×(12ln 2)0,所以2x4(1 x2 )x2 ln(1 x2 )(1x2)(12ln 2)>0對<x2<0恒成立,所以2f(x2)>x12x1ln 2.5

注意事項

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