電磁場理論補(bǔ)充習(xí)題及解答.doc

電磁場理論復(fù)習(xí)題（通信051-5）一、 填空與簡答1、 既有大小、又有方向的量叫矢量。只有大小、而沒有方向的量叫標(biāo)量。2、 在直角坐標(biāo)系中，一個(gè)矢性函數(shù)和三個(gè)有序的數(shù)性函數(shù)（坐標(biāo)）構(gòu)成一一對應(yīng)的關(guān)系。3、 若為矢量函數(shù)，為標(biāo)量函數(shù)，如果，4、表示哈密頓算子（W.R. Hamilton），即。數(shù)量場梯度和矢量場的散度和旋度可表示為，。4、 奧氏公式及斯托克斯公式可為， 。5、 亥姆霍茲（H.Von Helmholtz）定理指出：用散度和旋度能唯一地確定一個(gè)矢量場。6、 高斯定理描述通過一個(gè)閉合面的電場強(qiáng)度的通量與閉合面內(nèi)電荷的關(guān)系，即：7、 電偶極子（electric dipole）是指相距很近的兩個(gè)等值異號的電荷，它是一個(gè)矢量，方向是由正電荷指向負(fù)電荷。8、 根據(jù)物質(zhì)的電特性，可將其分為導(dǎo)電物質(zhì)和絕緣物質(zhì)，后者簡稱為介質(zhì)。極化介質(zhì)產(chǎn)生的電位可以看作是等效體分布電荷和面分布電荷在真空中共同產(chǎn)生的。等效體電荷密度和面電荷密度分別為， 。9、 在靜電場中，電位移矢量的法向分量在通過界面時(shí)一般不連續(xù)，即，電場強(qiáng)度的切向分量在邊界兩側(cè)是連續(xù)的，即。10、 凡是靜電場不為零的空間中都存儲著靜電能，靜電能是以電場的形式存在于空間，而不是以電荷或電位的形式存在于空間的。場中任一點(diǎn)的能量密度為。11、 歐姆定理的微分形式表明，任意一點(diǎn)的電流密度與該點(diǎn)的電場強(qiáng)度成正比，即。導(dǎo)體內(nèi)任一點(diǎn)的熱功率密度與該點(diǎn)的電場強(qiáng)度的平方成正比，即。12、 在恒定電場中，電流密度J在通過界面時(shí)其法向分量連續(xù)，電場強(qiáng)度的切向分量連續(xù)，即，。13、 磁感應(yīng)強(qiáng)度通過任意曲面的通量恒為零，這一性質(zhì)叫磁通連續(xù)性原理，它表明，磁感應(yīng)強(qiáng)度是一個(gè)無源的場。14、 在恒定磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度的法向分量在分界面兩側(cè)連續(xù)，而其磁場強(qiáng)度的切向分量一般在分界面兩側(cè)不連續(xù)，即：，。15、 靜電場的唯一性定理表明：在每一類邊界條件下，泊松方程或拉普拉斯方程必定唯一。16、 采用鏡像法解決靜電場問題時(shí)應(yīng)注意以下三點(diǎn)：（1）鏡像電荷是虛擬電荷；（2）鏡像電荷置于所求區(qū)域之外的附近區(qū)域；（3）導(dǎo)體是等位面。17、 電磁感應(yīng)現(xiàn)象說明，穿過一條回路的磁通發(fā)生變化時(shí)，在這個(gè)回路中將有感應(yīng)電動勢的出現(xiàn)，并在回路中產(chǎn)生電流。18、 麥克斯韋方程組的物理意義為：（1）時(shí)變磁場將產(chǎn)生電場（2）電流和時(shí)變電場都會產(chǎn)生磁場，即變化的電場和傳導(dǎo)電流是磁場的源（3）電場是有通量的源，穿過任一封閉面的電通量等于此面所包圍的自由電荷電量（4）磁場無“通量源”，即磁場不可能由磁荷產(chǎn)生，穿過任一封閉面的磁通量恒等于零。19、 高頻電磁場只能存在于良導(dǎo)體表面的一個(gè)薄層內(nèi)，這種現(xiàn)象稱為集膚效應(yīng)。20、 電磁波的相速度隨頻率的變化而變化的現(xiàn)象稱為色散。當(dāng)群速度小于相速度的這類色散稱為正常色散，反之為非正常色散。21、 電場強(qiáng)度的方向隨時(shí)間變化的方式稱為電磁波的極化。電磁波的極化可分為三種，線極化、圓極化和橢圓極化。22、 圓極化波具有兩個(gè)與應(yīng)用有關(guān)的重要性質(zhì)：（1）當(dāng)圓極化如射到對稱目標(biāo)上時(shí)，反射波變?yōu)榉葱虻牟?，即左旋波變?yōu)橛倚?，右旋波變?yōu)樽笮ǎ?）天線若輻射左旋極化波，則只能接收左旋極化波，反之，天線若輻射右旋極化波，則只能接收右旋極化波。這種現(xiàn)象稱為圓極化天線的旋向正交性。23、 根據(jù)導(dǎo)行波中有無縱向分量，導(dǎo)行波可分為：（1）橫電磁波即TEM波（2）橫電波即TE波或磁波H波（3）橫磁波即TM或電波E波。24、 天線一般具有下列功能：（1）能量轉(zhuǎn)化（2）定向輻射或接收（3）具有適當(dāng)?shù)臉O化（4）天線應(yīng)與波導(dǎo)裝置匹配。25、 電基本振子是一段載有高頻電流的短導(dǎo)線，其長度遠(yuǎn)小于工作波長，導(dǎo)線上各點(diǎn)的高頻電流大小相等，相位相同。26、 描述天線性能的電參數(shù)主要有：方向圖，主瓣寬度，旁瓣電平，方向系數(shù)，極化特性，天線效率，頻帶寬度，輸入阻抗。二、 證明與計(jì)算1、設(shè)u是空間x,y,z的函數(shù)，證明： （1），（2），（3）證明：（1） （2）=（3）=2、（1）應(yīng)用高斯定理證明： （2）應(yīng)用斯托克斯定理證明：證明：（1）設(shè)d為任意的常矢量，有，由矢量公式，所以有：，根據(jù)高斯定理有所以故得證。（2）設(shè)d為任意的常矢量，有由矢量公式 =所以根據(jù)斯托克斯定理有 所以，于是有證畢。3、證明格林（Green）第一公式及格林第二公式，其中證明：應(yīng)用奧氏公式，取有格林第一公式得證。同理有，將該式與格林第一公式相減可得格林第二公式。4、證明：（1）；（2）；（3）。其中，A為一常矢量。證：設(shè)，其中為常數(shù)，有5、計(jì)算半徑為a，電荷線密度為的均勻帶電圓環(huán)在軸線上的電場強(qiáng)度。yxzRrar解：取圓環(huán)位于xoy平面，圓環(huán)中心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合, 6、設(shè)有一個(gè)半徑為a的球，其中充滿體電荷密度為C/m3的電荷，球內(nèi)外的介電常數(shù)均為，求：（1）球內(nèi)、外的電場強(qiáng)度；（2）驗(yàn)證靜電場的兩個(gè)基本方程；（3）球內(nèi)、外的電位分布。解：（1）因?yàn)殡姾煞植紴榫鶆虻那蝮w，所以具有球?qū)ΨQ性，即在與帶電球同心，半徑為r的高斯面上，E是常數(shù)。當(dāng)ra時(shí)，有，即V/m。（2）采用球坐標(biāo)散度、旋度公式。因?yàn)榍騼?nèi)、外電場強(qiáng)度只是r的坐標(biāo)，所以，當(dāng)ra時(shí)有（3）選無限遠(yuǎn)處為參考電，當(dāng)ra時(shí)有V7、導(dǎo)體球及與其同心的導(dǎo)體球殼構(gòu)成一個(gè)雙導(dǎo)體系統(tǒng)。若導(dǎo)體球的半徑為a，球殼的內(nèi)半徑為b，殼的厚度可以忽略不計(jì)，求電位系數(shù)、電容系數(shù)和部分電容。解：設(shè)導(dǎo)體球帶電量為q1，球殼帶總電荷為零，無限遠(yuǎn)處的電位為零，由對稱性可得b1a02，因此有 ，設(shè)導(dǎo)體球的總電荷為零，球殼帶電荷為q2，可得，因此電容系數(shù)矩陣等于電位系數(shù)矩陣的逆矩陣，所以有，部分電容為，8、一同軸線的內(nèi)、外導(dǎo)體半徑分別為a和b，內(nèi)外導(dǎo)體之間填充兩種絕緣材料，在arr0處填充材料的介電常數(shù)為1，在r0ra時(shí)，其包圍的電流為I，當(dāng)時(shí)有，即，當(dāng)時(shí)有，11、同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為c，設(shè)內(nèi)、外導(dǎo)體分別流過的反向電流為I，兩導(dǎo)體間的介質(zhì)的磁導(dǎo)率為，求各區(qū)域的H、B、M。abc解：對于良導(dǎo)體一般取其磁導(dǎo)率為0，因?yàn)橥S導(dǎo)體無限長，則其磁場沿軸線無變化，該磁場僅有方向的分量其大小為r的函數(shù)。應(yīng)用安培環(huán)路定理當(dāng)ra時(shí)，在該區(qū)域磁導(dǎo)率為0故 ，并由于該區(qū)域?yàn)槔硐雽?dǎo)體，故M=0當(dāng)arb時(shí)，與積分回路交鏈的電流為I，該區(qū)域的磁導(dǎo)率為故，當(dāng)brc時(shí)，外導(dǎo)體電流均勻分布，則與積分回路交鏈的電流為I,并由于該區(qū)域?yàn)槔硐雽?dǎo)體，故M=012、同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為c，設(shè)內(nèi)、外導(dǎo)體兩導(dǎo)體間的介質(zhì)的磁導(dǎo)率為，計(jì)算同軸線單位長度的總自感。解：總自感由三部分構(gòu)成，即外導(dǎo)體的互感Li1（由內(nèi)導(dǎo)體的磁場所交鏈產(chǎn)生的），內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)自感L0和內(nèi)導(dǎo)體自感三部分構(gòu)成Li2。（1）先計(jì)算Li1，（2）計(jì)算內(nèi)導(dǎo)體自感，（3）計(jì)算外導(dǎo)體內(nèi)自感應(yīng)用安培環(huán)路定理有：，H/m。13、一點(diǎn)電荷，其帶電量為q，將其放置在如圖所示的介質(zhì)空間內(nèi)，用鏡像法求圖中所示點(diǎn)的電位(2點(diǎn)的位置與1對稱)，并畫出他們的鏡電荷。12h題 13q1h22bq1qq”2AB解：設(shè)點(diǎn)電荷的坐標(biāo)為(0,h)，1點(diǎn)的坐標(biāo)為（b,h2）2點(diǎn)的坐標(biāo)為（b,-h2），于是相對于1，q在2中的鏡像為q其坐標(biāo)為（b,-h2），相對于2，q在1中的鏡像為q其坐標(biāo)為（b,h2）。電位，在兩種介質(zhì)的界面上，兩電位滿足邊界條件，即：，在邊界條件上，任一點(diǎn)相等，使其等于r。應(yīng)用邊界條件得到，化簡并連立兩方程，得到，14、如圖所示，有一點(diǎn)電荷q位于兩個(gè)相互垂直的接地導(dǎo)體平面所圍成的直角空間中，它到兩平面的距離分別為a和b，求空間的電位。xyP1(a,b)P2(a,-b)P3(-a,b)P4(-a,-b)P(x,y,z)解：該電荷產(chǎn)生三個(gè)鏡像電荷，其大小和坐標(biāo)分別為-q(a,-b),-q(-a,b)及q(-a,-b)所以P(x,y,z)點(diǎn)的電位為15、設(shè)區(qū)域1（z0）的媒質(zhì)參數(shù)為；區(qū)域1中的電場強(qiáng)度為V/m區(qū)域2中的電場強(qiáng)度為：V/m求（1）常數(shù)A；（2）說明磁場強(qiáng)度的邊界條件，并計(jì)算H1和H2；（3）證明在z=0處H1和H2滿足邊界條件；解：（1）在無損耗媒質(zhì)的分界面z=0處，有，由于E1和E2正好為切向電場，在切向方向電場連續(xù)，故A=80V/m。（2）根據(jù)麥克斯韋方程：，得到，因此，因此A/m同理：A/m（3）對于第二問，取z=0，有H1=H2，這說明在分界面上磁場強(qiáng)度連續(xù)，滿足邊界條件。16、已知無源的自由空間中，時(shí)變電磁場的電場強(qiáng)度復(fù)矢量為V/m，式中k及E0為常數(shù)，求：（1）磁場強(qiáng)度的復(fù)矢量；（2）坡印廷矢量的瞬時(shí)值；（2）平均坡印廷矢量。解：（1）由得：（2）電場、磁場強(qiáng)度的瞬時(shí)值為：，故，坡印廷矢量的瞬時(shí)值為：（3）平均坡印廷矢量為： 17、已知無界理想媒質(zhì)（=0，=0，=0）中，正弦均勻平面電磁波的頻率f=108Hz，電場強(qiáng)度為：V/m求：（1）均勻平面電磁波的相速度vp，波長，相移常數(shù)k和波阻抗；（2）電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度的瞬時(shí)表達(dá)式；（3）與電磁波傳播方向垂直的單位面積上通過的平均功率。解：（1）m/s， m rad/m，（2）A/m電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度的瞬時(shí)值為V/mA/m（3）復(fù)坡印廷矢量為=W/m2坡印廷矢量的時(shí)間平均值為 W/m2與電磁波傳播方向垂直的單位面積上通過的平均功率為 W/m218、已知海水的r=1，=1S.m-1，試計(jì)算頻率為50Hz，106Hz，109Hz的三種電磁波在海水中的透射深度。解：可近似地認(rèn)為海水為良導(dǎo)體，故而，其趨膚深度為當(dāng)頻率為50Hz時(shí)，有m；當(dāng)頻率為106Hz時(shí)，有m；當(dāng)頻率為109Hz時(shí)，有m；19、有兩個(gè)頻率和振幅都相等的單頻率的平面波沿z軸傳播，一個(gè)波沿x軸方向偏振，另一個(gè)沿y軸方向偏振，但相位比前者超前/2，求合成波的偏振，一個(gè)圓偏振可以分解為怎樣的兩個(gè)線極化？解：根據(jù)題義，已知的兩個(gè)單頻平面波可表示為：，=合成波為：，為右旋圓極化波。事實(shí)上合成波可分為：，從而有上式說明，一個(gè)圓極化波是由兩個(gè)極化方向垂直，一個(gè)的相位超前于另一個(gè)相位/2的平面波合成。反之，一個(gè)圓極化波可分解為上述的兩個(gè)平面波。20、頻率為30109Hz的微波，在0.7cm0.4cm的矩形波導(dǎo)管中能以什么波模式傳播？在0.7cm0.6cm的矩形波導(dǎo)管中能以什么波模式傳播？解：在矩形波導(dǎo)管內(nèi)，（m,n）波模式的截止角頻率為設(shè)波導(dǎo)管內(nèi)為真空，有對于0.7cm0.4cm的矩形波導(dǎo)。其頻率為：，顯然，所以在該管中只能傳播一種模式的波對于0.7cm0.6cm的矩形波導(dǎo)。其頻率為：，顯然，所以在0.7cm0.6cm的矩形波導(dǎo)中可傳播。21、對于2cm2cm的波導(dǎo)管中頻率為15GHz的TE10波，（1）求其波矢量k；（2）寫出電磁場各分量表示式；（3）求其波長；（4）求其相速度和群速度。解：（1）波導(dǎo)管的a=210-2m，則電磁波的模式為（m，n）=(1,0)，因此k的各個(gè)分量為：， （2）， ，（3）電磁波的波長為：。作為比較，該電磁波在自由真空中的波長為 （4）相速度為： 群速度：，顯然，但恒有22、已知電基本振子的輻射功率為，寫出遠(yuǎn)區(qū)任意一點(diǎn)的電磁場表達(dá)式。若=0.2，計(jì)算輻射電阻。解：，得，23、若電基本振子沿z軸放置，其輻射功率為，在最大輻射方向處的功率密度為，場強(qiáng)為，若理想天線在該處的功率密度為，場強(qiáng)為，求其方向系數(shù)。解：根據(jù)坡印廷矢量，有，則方向系數(shù)為 =三、 綜合計(jì)算1、 半徑為a的金屬球均勻帶有電荷q，被半徑為b（電介質(zhì)常數(shù)為1）和c（電介質(zhì)常數(shù)為2）的兩個(gè)同心均勻介質(zhì)層包圍（cb）。（1）求金屬球內(nèi)和兩種介質(zhì)中及介質(zhì)外的電場強(qiáng)度；（2）驗(yàn)證各分界面上E和D滿足的電場邊界條件；（3）各分界面上的束縛電荷體密度；（4）兩介質(zhì)中束縛電荷體密度；（5）總束縛電荷體密度。解：（1）由高斯定理 得：當(dāng)時(shí)，由于電荷只能存在于金屬球的表面，所以，當(dāng)時(shí)，同理可得，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，（2）選法向矢量為r，當(dāng)r=a時(shí)，因，所以，又因?yàn)?，因此滿足邊界條件。當(dāng)r=b時(shí)，因?yàn)?，所以，因此滿足邊界條件。同理，當(dāng)r=c時(shí)也滿足邊界條件。（3）由公式，及，求當(dāng)r=a時(shí)，因?yàn)?，所以，顯然與的符號相反。r=b時(shí)，因?yàn)?所以 r=b時(shí)，因?yàn)?，所以?）由公式，求當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，（5）總束縛電荷為2、一無限長圓柱體，半徑為a，單位長度帶電為，在下列兩種電荷的分布下，應(yīng)用電勢微分方程，求柱內(nèi)、外的電位和電場。（1）電荷均勻分布于柱體；（2）電荷均勻分布于柱面。解：根據(jù)問題的對稱性，可選擇柱坐標(biāo)，則泊松方程為，式中。由于場具有軸對稱，即，分兩個(gè)區(qū)域求解，即ra。（1）電荷均勻分布于柱體：，分別解得 ，應(yīng)用邊界條件分別、確定A，B，C，D。時(shí)，均有限，所以A=0，當(dāng)時(shí)，1），即，所以，2），即，C由零電位點(diǎn)的選取有關(guān)，（2）電荷均勻分布在柱面，分別解得 ，應(yīng)用邊界條件分別、確定A，B，C，D。時(shí)，均有限，所以A=0，當(dāng)r=a時(shí)有和，從而有，因此，