正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像與性質

6.1正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像與性質 一、復習引入1、復習（1）函數(shù)的概念在某個變化過程中有兩個變量、，若對于在某個實數(shù)集合內的每一個確定的值，按照某個對應法則，都有唯一確定的實數(shù)值與它對應，則就是的函數(shù)，記作，。（2）三角函數(shù)線設任意角的頂點在原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊與單位圓相交于點，過作軸的垂線，垂足為；過點作單位圓的切線，設它與角的終邊（當在第一、四象限角時）或其反向延長線（當為第二、三象限角時）相交于.規(guī)定：當與軸同向時為正值，當與軸反向時為負值； 當與軸同向時為正值，當與軸反向時為負值； 當與軸同向時為正值，當與軸反向時為負值；根據上面規(guī)定，則,由正弦、余弦、正切三角比的定義有： 網；這幾條與單位圓有關的有向線段叫做角的正弦線、余弦線、正切線。二、講授新課【問題驅動1】結合我們剛學過的三角比，就以正弦(或余弦)為例，對于每一個給定的角和它的正弦值(或余弦值)之間是否也存在一種函數(shù)關系？若存在，請對這種函數(shù)關系下一個定義；若不存在，請說明理由1、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義（1）正弦函數(shù)：；（2）余弦函數(shù)：【問題驅動2】如何作出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的函數(shù)圖象？2、正弦函數(shù)的圖像（1）的圖像【方案1】幾何描點法步驟1：等分、作正弦線將單位圓等分，作三角函數(shù)線（正弦線）得三角函數(shù)值；步驟2：描點平移定點，即描點；步驟3：連線用光滑的曲線順次連結各個點小結：幾何描點法作圖精確，但過程比較繁。【方案2】五點法步驟1：列表列出對圖象形狀起關鍵作用的五點坐標；步驟2：描點定出五個關鍵點；步驟3：連線用光滑的曲線順次連結五個點小結：的五個關鍵點是、。（2）的圖像由，所以函數(shù)在區(qū)間上的圖像與在區(qū)間上的圖像形狀一樣,只是位置不同.于是我們只要將函數(shù)的圖像向左、右平行移動(每次平行移動個單位長度)，就可以得到正弦函數(shù)的圖像。3、余弦函數(shù)的圖像（1）的圖像（2）的圖像 圖像平移法 由，可知只須將的圖像向左平移即可。三、例題舉隅例、作出函數(shù)的大致圖像；【設計意圖】考察利用“五點法”作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖像【解】 列表描點在直角坐標系中，描出五個關鍵點：、 、連線練習、作出函數(shù)的大致圖像二、性質1定義域：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域都是實數(shù)集R或(，)，分別記作：ysinx，xR ycosx，xR2值域因為正弦線、余弦線的長度小于或等于單位圓的半徑的長度，所以sinx1，cosx1，即1sinx1，1cosx1也就是說，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域都是1，1其中正弦函數(shù)y=sinx，xR當且僅當x2k，kZ時， 取得最大值1當且僅當x2k，kZ時，取得最小值1而余弦函數(shù)ycosx，xR當且僅當x2k，kZ時，取得最大值1當且僅當x(2k1)，kZ時，取得最小值13周期性由sin(x2k)sinx，cos(x2k)cosx (kZ)知：正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值是按照一定規(guī)律不斷重復地取得的。一般地，對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內的每一個值時，都有f(xT)f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期。由此可知，2，4，2，4，2k(kZ且k0)都是這兩個函數(shù)的周期對于一個周期函數(shù)f(x)，如果在它所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期。4奇偶性由sin(x)sinx， cos(x)cosx可知：ysinx為奇函數(shù)， ycosx為偶函數(shù)正弦曲線關于原點O對稱,余弦曲線關于y軸對稱5單調性結合上述周期性可知：正弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間2k，2k(kZ)上都是增函數(shù)，其值從1增大到1；在每一個閉區(qū)間2k，2k(kZ)上都是減函數(shù)，其值從1減小到1。余弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間(2k1)，2k(kZ)上都是增函數(shù)，其值從1增加到1；在每一個閉區(qū)間2k，(2k1)(kZ)上都是減函數(shù)，其值從1減小到1y=sinxy= cosx圖 象定義域RR值 域-1,1-1,1最 值當且僅當x2k，kZ時，取得最大值1當且僅當x2k，kZ時，取得最小值1當且僅當x2k，kZ時，取得最大值1當且僅當x(2k1)，kZ時，取得最小值1周期性2p2p奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)單調性在閉區(qū)間2k，2k(kZ)上單調遞增，；在閉區(qū)間2k，2k(kZ)上單調遞減在閉區(qū)間(2k1)，2k(kZ)上單調遞增；在每一個閉區(qū)間2k，(2k1)(kZ)上單調遞減典型例題（3個，基礎的或中等難度）例1：求使下列函數(shù)取得最大值的自變量x的集合，并說出最大值是什么。（1）ycosx1，xR； （2）ysin2x，xR解：（1）使函數(shù)ycosx1，xR取得最大值的x的集合，就是使函數(shù)ycosx，xR取得最大值的x的集合xx2k，kZ。函數(shù)ycosx1，xR的最大值是112。（2）令Z2x，那么xR必須并且只需ZR，且使函數(shù)ysinZ，ZR取得最大值的Z的集合是ZZ2k，kZ由2xZ2k，得xk即 使函數(shù)ysin2x，xR取得最大值的x的集合是xxk，kZ函數(shù)ysin2x，xR的最大值是1。例2：求下列函數(shù)的單調區(qū)間（1）ycosx （2）y=sin(4x-) （3）y=3sin(-2x)解：（1）由ycosx的圖象可知：單調增區(qū)間為2k，(2k1)(kZ)單調減區(qū)間為(2k1)，2k(kZ) （2）當2k-4x-2k+，函數(shù)的遞增區(qū)間是-，+(kZ)當2k+4x-2k+函數(shù)的遞減區(qū)間是+,+(kZ)（3）當2k-2x2k+時，函數(shù)單調遞減， 函數(shù)單調遞減區(qū)間是k-，k+(kZ)當2k+-2x2k+時，函數(shù)單調遞增， 函數(shù)單調遞減區(qū)間是k+，k+(kZ)例3：求下列三角函數(shù)的周期：(1) y=sin(x+) (2) y=cos2x (3) y=3sin(+)解：(1) 令z= x+ 而 sin(2p+z)=sinz 即：f (2p+z)= f (z)f (x+2p)+=f (x+) 周期T=2p.(2)令z=2x f (x)=cos2x=cosz=cos(z+2p)=cos(2x+2p)=cos2(x+p)即：f (x+p)=f (x) 周期T=p。 (3)令z=+ 則f (x)=3sinz=3sin(z+2p)=3sin(+2p)=3sin()=f (x+4p) 周期T=4p。 注：yAsin(x)的周期T=。（四）課堂練習（2個，基礎的或中等難度）1、求使下列函數(shù)y=3-cos取得最大值的自變量x的集合，并說出最大值是什么。解：當cos=-1，即=2kp+p，kZ，x|x=4kp+2p，kZ ，y=3-cos取得最大值。2、求y=的周期。解：y=(1-cos2x)=-cos2x，T=p。3、求函數(shù)y=3cos(2x+)的單調區(qū)間。解：當2k2x+2k+p時，函數(shù)單調遞減， 函數(shù)的單調遞減區(qū)間是k-，k+(kZ)當2k-p2x+2k時，函數(shù)單調遞增， 函數(shù)的單調遞增區(qū)間是k-，k-(kZ)（五）拓展探究（2個）1、求下列函數(shù)的周期： （1）y=sin(2x+)+2cos(3x-) （2）y=|sinx| （3）y=2sinxcosx+2cos2x-1解：（1）y1=sin(2x+) 最小正周期T1=p y2=2cos(3x-) 最小正周期 T2=T為T1 ,T2的最小公倍數(shù)2p T=2p （2）T=p （3） y=sin2x+cos2x=2sin(2x+) T=p2、求下列函數(shù)的最值： （1）y=sin(3x+)-1 （2）y=sin2x-4sinx+5 （3）y=解：（1） 當3x+=2kp+即 x= (kZ)時，ymax=0當3x+=2kp-即x= (kZ)時，ymin=-2（2） y=(sinx-2)2+1 當x=2kp- kZ時，ymax=10當x=2kp- kZ時，ymin= 2（3） y=-1+ 當x=2kp+p kZ時，ymax=2當x=2kp kZ時， ymin= 作業(yè)一、填空題1、函數(shù)y=cos(x-)的奇偶性是_。2、函數(shù)y=-5sinx+1的最大值是_，此時相應的x的值是_。3、函數(shù)y=sinxcosx的最小正周期是_。4、函數(shù)y=sinxcos(x+)+cosxsin(x+)的最小正周期是_。5、函數(shù)y=3cos(2x+)的單調遞減區(qū)間是_。6、函數(shù)y=sinx和y=cosx都為減函數(shù)的區(qū)間是_。7、函數(shù)y=sin(-2x)的單調遞增區(qū)間是_。8、已知函數(shù)y=f(x)是以為周期，且最大值為3，最小值為-1，則這個函數(shù)的解析式可以是_。二、選擇題1、函數(shù)y=sinx，x，的值域是 （ ）（A）-1，1 （B），1 （C）， （D），12、下列函數(shù)中，周期是的函數(shù)是 （ ）（A）y=sinpx （B）y=cos2x （C）y=sin （D）y=sin4k3、下列函數(shù)是奇函數(shù)的是 （ ）（A）y=sin|x| （B）y=xsin|x| （C）y=-|sinx| （D）y=sin(-|x|)4*、函數(shù)y=sin(2x+)+cos(2x+)的最小正周期和最大值分別為 （ ）（A）p，1 （B）p， （C）2p，1 （D）2p，三、解答題1、已知函數(shù)y=acosx-2b的最小值為-2，最大值為4，求a和b的值。2、求函數(shù)y=2+5cosx-1的值域。3、判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）y=cos(2x-)； （2）y=xsinx+cos3x4、求函數(shù)y=-sinxcosx的單調區(qū)間。一、填空題1、 奇函數(shù)； 2、 6， x|x=2k-，kZ ； 3、p；4、； 5、k-，k+(kZ)； 6、2k+,2k+p(kZ)7、k+，k+(kZ)； 8、y=2sin6x+1（答案不唯一）二、1、B； 2、D； 3、B； 4、A（y=sin2x+cos2x+cos2x-sin2x=cos2x）三、解答題1、當a0時，當a0時，2、y=2(1-)+5cosx-1=-2,cosx-1,1，y-6，43、（1）奇函數(shù)；（2）偶函數(shù)。4、解：y=-sin2x=-(sin2x+cos2x)=-sin(2x+)當2k-2x+2k+時，函數(shù)單調遞減， 函數(shù)單調遞減區(qū)間是k-，k+(kZ)當2k+2x+2k+時，函數(shù)單調遞增， 函數(shù)單調遞減區(qū)間是k+，k+(kZ)11