2020屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第八單元 立體幾何 第51講 空間幾何體的表面積與體積練習(xí) 理（含解析）新人教A版

第51講空間幾何體的表面積與體積1(2017·全國(guó)卷)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為(B)A90 B63C42 D36 (方法1：割補(bǔ)法)由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個(gè)圓柱截去上面虛線部分所得，如圖所示將圓柱補(bǔ)全，并將圓柱從點(diǎn)A處水平分成上下兩部分由圖可知，該幾何體的體積等于下部分圓柱的體積加上上部分圓柱體積的，所以該幾何體的體積V×32×4×32×6×63.故選B.(方法2：估值法)由題意知，V圓柱<V幾何體<V圓柱又V圓柱×32×1090，所以45<V幾何體<90.觀察選項(xiàng)可知只有63符合故選B.2(2016·山東卷)一個(gè)由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(C)A. B.C. D1 由三視圖知，該四棱錐是底面邊長(zhǎng)為1，高為1的正四棱錐，結(jié)合三視圖可得半球半徑為，從而該幾何體的體積為×12×1××()3.故選C.3(2018·全國(guó)卷)設(shè)A，B，C，D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，ABC為等邊三角形且其面積為9，則三棱錐D ­ABC體積的最大值為(B)A12 B18C24 D54 由等邊ABC的面積為9可得AB29，所以AB6，所以等邊ABC的外接圓的半徑為rAB2.設(shè)球的半徑為R，球心到等邊ABC的外接圓圓心的距離為d，則d2.所以三棱錐D­ABC高的最大值為246，所以三棱錐D­ABC體積的最大值為×9×618. 4(2017·長(zhǎng)沙市一中二模)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫(huà)出的是某個(gè)四面體的三視圖，則該四面體的表面積為(A)A884 B882C22 D. 將三視圖還原為空間幾何體，如圖，四面體D­ABC.因?yàn)镾ABC×2×44，SBCD×2×44，SDAC×4×24，SABD×4×48.所以四面體的表面積為SSABCSBCDSDACSABD884.5(2017·山東卷)由一個(gè)長(zhǎng)方體和兩個(gè)圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如下，則該幾何體的體積為2. 該幾何體由一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為2,1,1的長(zhǎng)方體和兩個(gè)底面半徑為1，高為1的四分之一圓柱體構(gòu)成，所以V2×1×12×××12×12.6(2018·全國(guó)卷)已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB所成角的余弦值為，SA與圓錐底面所成角為45°，若SAB的面積為5，則該圓錐的側(cè)面積為_(kāi)40_ 如圖，因?yàn)镾A與底面成45°角，所以SAO為等腰直角三角形設(shè)OAr，則SOr，SASBr.在SAB中，cosASB，所以sinASB，所以SSABSA·SB·sinASB(r)2·5，解得r2，所以SAr4，即母線長(zhǎng)l4，所以S圓錐側(cè)r·l×2×440.7如圖，是一個(gè)獎(jiǎng)杯的三視圖(單位：cm)，底座是正四棱臺(tái)(1)求這個(gè)獎(jiǎng)杯的體積(取3.14)；(2)求這個(gè)獎(jiǎng)杯的底座的側(cè)面積 (1)球的體積V球r336，圓柱的體積V圓柱Sh164，正四棱臺(tái)的體積是V正四棱臺(tái)h2(S上S下)336，所以此幾何體的體積是V3664336100336650(cm3)(2)因?yàn)榈鬃钦睦馀_(tái)，所以它的斜高是h5，所以它的側(cè)面積是S側(cè)4××(612)×5180 (cm2)8(2018·惠州9月月考)若一個(gè)四棱錐底面為正方形，頂點(diǎn)在底面的射影為正方形的中心，該四棱錐的體積為9，當(dāng)其外接球表面積最小時(shí)，它的高為(A)A3 B2C2 D3 此四棱錐為正四棱錐，設(shè)此四棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，高為h，則a2h9，則a2，再設(shè)其外接球的半徑為R，則在COE中，R2(hR)2(a)2，所以R.設(shè)f(h)，則f(h)，令f(h)0，解得h3，分析可知f(h)在h3時(shí)有最小值，故選A.9(2016·浙江卷)如圖，在ABC中，ABBC2，ABC120°.若平面ABC外的點(diǎn)P和線段AC上的點(diǎn)D，滿足PDDA，PBBA，則四面體PBCD的體積的最大值是. 在ABC中，ABBC2，ABC120°，所以AC 2.設(shè)CDx，則AD2x，所以PD2x，所以VP­BCDSBCD·h×BC·CDsin 30°·PD×2x××(2x)x(2x)()2×()2，當(dāng)且僅當(dāng)x2x，即x時(shí)取“”，此時(shí)PD，BD1，PB2，滿足題意10(2017·全國(guó)卷選擇題改編)如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E，F(xiàn)為圓O上的點(diǎn)，DBC，ECA，F(xiàn)AB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形沿虛線剪開(kāi)后，分別以BC，CA，AB為折痕折起DBC，ECA，F(xiàn)AB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐當(dāng)ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí)，求所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值 如圖，連接OD，交BC于點(diǎn)G，由題意，知ODBC，OGBC.設(shè)OGx，則BC2x，DG5x，三棱錐的高h(yuǎn)，SABC×2x×3x3x2，則三棱錐的體積VSABC·hx2··.令f(x)25x410x5，x(0，)，則f(x)100x350x4.令f(x)0得x2.當(dāng)x(0,2)時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x(2，)時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減故當(dāng)x2時(shí)，f(x)取得最大值80，則V×4.所以三棱錐體積的最大值為4 cm3.7