《2020屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第九單元 解析幾何 第69講 圓錐曲線(xiàn)的綜合應(yīng)用（二）練習(xí) 理（含解析）新人教A版》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《2020屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第九單元 解析幾何 第69講 圓錐曲線(xiàn)的綜合應(yīng)用（二）練習(xí) 理（含解析）新人教A版（4頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第69講 圓錐曲線(xiàn)的綜合應(yīng)用(二)
(與定點(diǎn)、定值及探索性問(wèn)題的綜合)
1．(2018·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)橢圓C：＋y2＝1的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線(xiàn)l與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，0)．
(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線(xiàn)AM的方程；
(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：∠OMA＝∠OMB.
(1)由已知得F(1，0)，l的方程為x＝1.
由已知可得，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，)或(1，－)．
又M(2，0)，
所以AM的方程為y＝－x＋或y＝x－.
(2)當(dāng)l與x軸重合時(shí)，∠OMA＝∠OMB＝0°.
當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，OM為AB的垂直平分線(xiàn)，
所以∠OMA＝∠OMB.
當(dāng)l與x軸不重
2、合也不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為
y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1<，x2<，直線(xiàn)MA，MB的斜率之和為
kMA＋kMB＝＋.
由y1＝kx1－k，y2＝kx2－k得
kMA＋kMB＝.
將y＝k(x－1)代入＋y2＝1，得
(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
則2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k＝＝0.
從而kMA＋kMB＝0，故MA，MB的傾斜角互補(bǔ)．
所以∠OMA＝∠OMB.
綜上，∠OMA＝∠OMB.
2．(2018·昆明市教學(xué)質(zhì)量檢測(cè))設(shè)拋物線(xiàn)C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為
3、F，準(zhǔn)線(xiàn)為l.已知點(diǎn)A在拋物線(xiàn)C上，點(diǎn)B在l上，△ABF是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形．
(1)求p的值；
(2)在x軸上是否存在一點(diǎn)N，當(dāng)過(guò)點(diǎn)N的直線(xiàn)l′與拋物線(xiàn)C交于點(diǎn)Q，R兩點(diǎn)時(shí)，＋為定值？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
(1)由題意，|AF|＝|AB|，則AB⊥l，設(shè)準(zhǔn)線(xiàn)l與x軸交于D，則AB∥DF.
又△ABF是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，所以∠ABF＝60°.
所以∠BFD＝60°，|DF|＝|BF|·cos∠BFD＝4×＝2，
即p＝2.
(2)設(shè)點(diǎn)N(t，0)，由題意知直線(xiàn)l′的斜率不為零，
設(shè)直線(xiàn)l′的方程為x＝my＋t，點(diǎn)Q(x1，y1)，R(x2，y2
4、)，
由得y2－4my－4t＝0，
Δ＝16m2＋16t>0，y1＋y2＝4m，y1·y2＝－4t，
易知|NQ|2＝(x1－t)2＋y＝(my1＋t－t)2＋y＝(1＋m2)y，
同理可得|NR|2＝(1＋m2)y.
則有＋＝＋＝＝＝＝.
若＋為定值，則t＝2，此時(shí)點(diǎn)N(2，0)．
又當(dāng)t＝2，m∈R時(shí)，Δ>0，
所以，存在點(diǎn)N(2，0)，當(dāng)過(guò)點(diǎn)N的直線(xiàn)l′與拋物線(xiàn)C交于Q，R兩點(diǎn)時(shí)，＋為定值.
3．(經(jīng)典真題)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，點(diǎn)P(0,1)和點(diǎn)A(m，n)(m≠0)都在橢圓C上，直線(xiàn)PA交x軸于點(diǎn)M.
(1)求橢圓C的方程，并求點(diǎn)M的坐標(biāo)(用
5、m，n表示)；
(2)設(shè)O為原點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)PB交x軸于點(diǎn)N.問(wèn)：y軸上是否存在點(diǎn)Q，使得∠OQM＝∠ONQ？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
(1)由題意得解得a2＝2.
故橢圓C的方程為＋y2＝1.
設(shè)M(xM,0)．因?yàn)閙≠0，所以－1＜n＜1，
直線(xiàn)PA的方程為y－1＝x.
所以xM＝，即M(，0)．
(2)因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，所以B(m，－n)．
設(shè)N(xN,0)，則xN＝.
“存在點(diǎn)Q(0，yQ)使得∠OQM＝∠ONQ”等價(jià)于“存在點(diǎn)Q(0，yQ)使得＝”，即yQ滿(mǎn)足y＝|xM||xN|.
因?yàn)閤M＝，xN＝，＋n2＝1，
6、
所以y＝|xM||xN|＝＝2.
所以yQ＝或yQ＝－.
故在y軸上存在點(diǎn)Q，使得∠OQM＝∠ONQ，且點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0，)或(0，－)．
4．(經(jīng)典真題)已知橢圓C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直線(xiàn)l不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M.
(1)證明：直線(xiàn)OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；
(2)若l過(guò)點(diǎn)(，m)，延長(zhǎng)線(xiàn)段OM與C交于點(diǎn)P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)l的斜率；若不能，說(shuō)明理由．
(1)證明：設(shè)直線(xiàn)l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．
將y＝kx＋b
7、代入9x2＋y2＝m2，
得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，
故xM＝＝，yM＝kxM＋b＝.
于是直線(xiàn)OM的斜率kOM＝＝－，即kOM·k＝－9.
所以直線(xiàn)OM的斜率與l的斜率的乘積為定值．
(2)四邊形OAPB能為平行四邊形．
因?yàn)橹本€(xiàn)l過(guò)點(diǎn)(，m)，所以l不過(guò)原點(diǎn)且與C有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是k>0，k≠3.
由(1)得OM的方程為y＝－x.
設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為xP.
由得x＝，即xP＝.
將點(diǎn)(，m)的坐標(biāo)代入l的方程得b＝，
因此，xM＝.
四邊形OAPB為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線(xiàn)段AB與線(xiàn)段OP互相平分，即xP＝2xM，
于是＝2×，
解得k1＝4－，k2＝4＋.
因?yàn)閗i>0，ki≠3，i＝1,2，
所以當(dāng)l的斜率為4－或4＋時(shí)，四邊形OAPB為平行四邊形．
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2020屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第九單元 解析幾何 第69講 圓錐曲線(xiàn)的綜合應(yīng)用（二）練習(xí) 理（含解析）新人教A版
