2020屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 刷題首選卷 第一部分 刷考點(diǎn) 考點(diǎn)十三 空間幾何體的三視圖、表面積與體積 文

考點(diǎn)十三空間幾何體的三視圖、表面積與體積對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P025一、選擇題1(2019·山東4月聯(lián)合模擬)如圖正方體ABCDA1B1C1D1，點(diǎn)M為線段BB1的中點(diǎn)，現(xiàn)用一個(gè)過(guò)點(diǎn)M，C，D的平面去截正方體，得到上、下兩部分，用如圖的角度去觀察上半部分幾何體，所得的側(cè)視圖為()答案B解析上半部分的幾何體如圖所示，所得的側(cè)視圖為.故選B.2(2019·浙江高考)祖暅?zhǔn)俏覈?guó)南北朝時(shí)代的偉大科學(xué)家，他提出的“冪勢(shì)既同，則積不容異”稱為祖暅原理，利用該原理可以得到柱體的體積公式V柱體Sh，其中S是柱體的底面積，h是柱體的高若某柱體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該柱體的體積(單位：cm3)是()A158 B162 C182 D324答案B解析如圖，該柱體是一個(gè)五棱柱，棱柱的高為6，底面可以看作由兩個(gè)直角梯形組合而成，其中一個(gè)上底為4，下底為6，高為3，另一個(gè)的上底為2，下底為6，高為3.則底面面積S×3×327，因此，該柱體的體積V27×6162.故選B.3(2019·河南八市重點(diǎn)高中聯(lián)盟模擬)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為()A. B. C. D.答案A解析由題意得，該幾何體是在一個(gè)半球中挖出四分之一圓錐，其中球的半徑為R2，圓錐的底面半徑為r1，高為h2，故所求體積為V···23···12·2，故選A.4(2019·成都一診)某幾何體的正(主)視圖和側(cè)(左)視圖如圖1，它的俯視圖的直觀圖是矩形O1A1B1C1，如圖2，其中O1A16，O1C12，則該幾何體的側(cè)面積為()A64 B80 C96 D128答案C解析設(shè)y軸與C1B1交于D1點(diǎn)，點(diǎn)O1，A1，B1，C1，D1，x軸，y軸分別為俯視圖中的點(diǎn)O，A，B，C，D，x軸，y軸，由俯視圖的直觀圖可得O1D12，故OD4，如圖，俯視圖是邊長(zhǎng)為6的菱形，則該幾何體是直四棱柱，側(cè)棱長(zhǎng)為4，所以其側(cè)面積為6×4×496，故選C.5棱長(zhǎng)為a的正方體中，連接相鄰面的中心，以這些線段為棱的八面體的體積為()A. B. C. D.答案C解析如圖所示，這個(gè)八面體是由兩個(gè)相同的正四棱錐底面合在一起組成的四棱錐的底面面積是正方體的一個(gè)面的面積的一半，就是a2，高為a，所以八面體的體積為2××a2×a.6(2019·淮北模擬)小明與爸爸放假在家做蛋糕，小明做了一個(gè)底面半徑為10 cm的等邊圓錐(軸截面為等邊三角形)狀蛋糕，現(xiàn)要把1 g芝麻均勻地全撒在蛋糕表面，已知1 g芝麻約有300粒，則貼在蛋糕側(cè)面上的芝麻約有()A100粒 B200粒 C114粒 D214粒答案B解析由題意可知圓錐形蛋糕的底面半徑為r10 cm，母線長(zhǎng)l20 cm，圓錐的側(cè)面積為S側(cè)rl200 cm2，圓錐的表面積為S表r2rl300 cm2，貼在蛋糕側(cè)面上的芝麻約有300×200粒7已知一個(gè)平放的各棱長(zhǎng)為4的三棱錐內(nèi)有一個(gè)小球O(重量忽略不計(jì))，現(xiàn)從該三棱錐頂端向內(nèi)注水，小球慢慢上浮，若注入的水的體積是該三棱錐體積的時(shí)，小球與該三棱錐各側(cè)面均相切(與水面也相切)，則小球的表面積等于()A. B. C. D.答案C解析當(dāng)注入水的體積是該三棱錐體積的時(shí)，設(shè)水面上方的小三棱錐的棱長(zhǎng)為x(各棱長(zhǎng)都相等)，依題意，得3，解得x2.易得小三棱錐的高為，設(shè)小球的半徑為r，則S底面·4··S底面·r，解得r，故小球的表面積S4r2.8已知正三棱柱ABCA1B1C1的頂點(diǎn)都在球O的球面上，AB2，AA14，則球O的表面積為()A. B32 C64 D.答案D解析根據(jù)對(duì)稱性，可得球心O到正三棱柱的底面的距離為2，球心O在底面ABC上的射影為底面的中心O，則OA××2，由球的截面的性質(zhì)可得OA2OO2OA2，所以有OA，所以球O的表面積為4·OA2.二、填空題9中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中記載了公元前344年商鞅監(jiān)制的一種標(biāo)準(zhǔn)量器商鞅銅方升，其三視圖如圖所示(單位：寸)，若取3，其體積為12.6(單位：立方寸)，則圖中的x的值為_(kāi)答案1.6解析該幾何體是一個(gè)組合體，左邊是一個(gè)底面半徑為，高為x的圓柱，右邊是一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為5.4x,3,1的長(zhǎng)方體，組合體的體積VV圓柱V長(zhǎng)方體·2×x(5.4x)×3×112.6(其中3)，解得x1.6.10(2019·江蘇七市第二次調(diào)研)設(shè)P，A，B，C為球O表面上的四個(gè)點(diǎn)，PA，PB，PC兩兩垂直，且PA2 m，PB3 m，PC4 m，則球O的表面積為_(kāi) m2.答案29解析P，A，B，C是球O表面上的四個(gè)點(diǎn)，PA，PB，PC兩兩垂直，則球的直徑等于以PA，PB，PC長(zhǎng)為棱長(zhǎng)的長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)，PA2，PB3，PC4，2R，則球O的表面積S4R229.11(2019·全國(guó)卷)學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型如圖，該模型為長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1挖去四棱錐OEFGH后所得的幾何體，其中O為長(zhǎng)方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點(diǎn)，ABBC6 cm，AA14 cm.3D打印所用原料密度為0.9 g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為_(kāi) g.答案118.8解析由題知挖去的四棱錐的底面是一個(gè)菱形，對(duì)角線長(zhǎng)分別為6 cm和4 cm，故V挖去的四棱錐××4×6×312(cm3)又V長(zhǎng)方體6×6×4144(cm3)，所以模型的體積為V長(zhǎng)方體V挖去的四棱錐14412132(cm3)，所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為132×0.9118.8(g)12(2019·湖南長(zhǎng)沙一中模擬卷三)已知半徑分別為1和2的兩球緊貼放在水平桌面上，則兩球在桌面上的俯視圖的公共弦長(zhǎng)為_(kāi)答案解析半徑分別為1和2的兩球緊貼放在水平桌面上的正視圖如圖，可得兩球的球心距離為123，兩球的球心的垂直距離為211，水平距離為2，兩球在桌面上的俯視圖如下圖，且AO11，AO22，O1O22，cosO1AO2，則sinO1AO2，AO1O2的面積為S×1×2×，可得O1O2上的高為，則兩球在桌面上的俯視圖的公共弦長(zhǎng)為2×.三、解答題13(2019·日照一模)如圖，在幾何體ABCDE中，DA平面EAB，EAAB，CBDA，F(xiàn)為DA上的點(diǎn)，EADAAB2CB，M是EC的中點(diǎn)，N為BE的中點(diǎn)(1)若AF3FD，求證：FN平面MBD；(2)若EA2，求三棱錐MABC的體積解(1)證明：連接MN，M，N分別是EC，BE的中點(diǎn)，MNCB且MNCBDA，又AF3FD，F(xiàn)DDA，MNFD.又CBDA，MNDA，即MNFD，四邊形MNFD為平行四邊形，F(xiàn)NMD.又FN平面MBD，MD平面MBD，F(xiàn)N平面MBD.(2)連接AN，則ANBE，DAAN，MNDA，AN平面EBC，又在ABE中，AN，SMBC××2×1.VMABCVAMBCAN×SMBC××，三棱錐MABC的體積為.14(2019·河南安陽(yáng)二模)如圖所示，三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，且底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，AA13，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G分別是所在棱的中點(diǎn)(1)證明：平面BEF平面DA1C1；(2)求三棱柱ABCA1B1C1夾在平面BEF和平面DA1C1之間部分的體積解(1)證明：E，F(xiàn)分別是A1B1和B1C1的中點(diǎn)，EFA1C1，EF平面DA1C1，A1C1平面DA1C1，EF平面DA1C1，D，E分別是AB和A1B1的中點(diǎn)，DB綊A1E，四邊形BDA1E是平行四邊形，BEA1D，BE平面DA1C1，A1D平面DA1C1，BE平面DA1C1，BEEFE，平面BEF平面DA1C1.(2)由題圖可知，三棱柱ABCA1B1C1夾在平面BEF和平面DA1C1之間的部分，可看作三棱臺(tái)DBGA1B1C1減掉三棱錐BB1EF后的剩余部分，SDBGSB1EF×12，SA1B1C1×22，三棱臺(tái)DBGA1B1C1的體積為V1××3，三棱錐BB1EF的體積V2××3，三棱柱ABCA1B1C1夾在平面BEF和平面DA1C1之間的部分的體積為VV1V2.一、選擇題1如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某幾何體的正視圖和側(cè)視圖，且該幾何體的體積為，則該幾何體的俯視圖可以是()答案C解析若俯視圖為選項(xiàng)C中的圖形，則該幾何體為正方體截去一部分后的四棱錐PABCD，如圖所示，該四棱錐的體積V×(2×2)×2，符合題意若俯視圖為其他選項(xiàng)中的圖形，則根據(jù)三視圖易判斷對(duì)應(yīng)的幾何體不存在，故選C.2如圖，圓錐的底面直徑AB2，母線長(zhǎng)VA3，點(diǎn)C在母線VB上，且VC1，有一只螞蟻沿圓錐的側(cè)面從點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)C，則這只螞蟻爬行的最短距離是()A. B.C. D.答案B解析沿母線VA展開(kāi)后，從側(cè)面點(diǎn)A到點(diǎn)C的距離即為VAC中AC的長(zhǎng)度，又的長(zhǎng)為，VA3，所以AVC，因?yàn)閂C1，VA3，所以由余弦定理可得AC212322×1×3×cos7，解得AC，故選B.3一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的各個(gè)表面中，最大面的面積為()A2 B. C2 D4答案B解析該幾何體的直觀圖，如圖所示SPBC×2×2×sin120°，SPAC×2×22，SABC×2×22，在PAB中，PAAB2，PB2，SPAB×2×，所以最大面的面積為.4如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，EF是棱AB上的一條線段，且EFb<a，若Q是A1D1上的定點(diǎn)，P在C1D1上滑動(dòng)，則四面體PQEF的體積()A是變量且有最大值 B是變量且有最小值C是變量無(wú)最大、最小值 D是常量答案D解析EF是定長(zhǎng)，Q到EF的距離就是Q到AB的距離，也為定長(zhǎng)，即底和高都是定值，QEF的面積是定值，C1D1平面QEF，P在C1D1上滑動(dòng)，P到平面QEF的距離是定值即三棱錐的高也是定值，于是體積固定三棱錐PQEF的體積是定值，即四面體PQEF的體積是定值5(2019·河南焦作四模)如圖，網(wǎng)格紙中小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為()A32 B20C10 D8答案B解析在長(zhǎng)方體中進(jìn)行切割，作出幾何體的直觀圖，即幾何體ABCDPQC1R，如圖所示兩個(gè)幾何體在斜面處扣在一起，可以構(gòu)成一個(gè)長(zhǎng)方體，該長(zhǎng)方體的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，高為10，所以該幾何體的體積為×22×1020，故選B.6(2019·北京東城區(qū)二模)魯班鎖起源于中國(guó)古代建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，相傳由春秋時(shí)代魯國(guó)工匠魯班所作下圖1是經(jīng)典的六柱魯班鎖及六個(gè)構(gòu)件的圖片，下圖2是其中一個(gè)構(gòu)件的三視圖(圖中單位：mm)，則此構(gòu)件的體積為()A34000 mm3 B33000 mm3C32000 mm3 D30000 mm3答案C解析由三視圖得魯班鎖的其中一個(gè)構(gòu)件是長(zhǎng)為100，寬為20，高為20的長(zhǎng)方體的上面的中間部分去掉一個(gè)長(zhǎng)為40，寬為20，高為10的小長(zhǎng)方體后得到的一個(gè)幾何體，如圖所示，所以該零件的體積為V100×20×2040×20×1032000(mm3)，故選C.7(2019·安徽A10聯(lián)盟最后一卷)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A7616 B6012C4416 D4412答案D解析由三視圖知，該幾何體的直觀圖如圖所示，其表面積為3×44×5×3×4×2×22×2×44412，故選D.8如圖，有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正三棱柱容器，其中側(cè)棱長(zhǎng)為8 cm，底面邊長(zhǎng)為12 cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)，測(cè)得水深為6 cm，如果不計(jì)容器的厚度，則球的表面積為()A36 cm2 B64 cm2 C80 cm2 D100 cm2答案B解析根據(jù)幾何意義得出：邊長(zhǎng)為12 cm的正三角形，球的截面圓為正三角形的內(nèi)切圓(如圖)，內(nèi)切圓的半徑O1D2 cm，球面恰好接觸水面時(shí)，測(cè)得水深為6 cm，d862 cm，設(shè)球的半徑為R.R2(R2)2(2)2，解得R4 cm，所以球的表面積為4R264 cm2.二、填空題9(2019·江西名校5月聯(lián)考)我國(guó)古代九章算術(shù)將上、下兩個(gè)平行平面為矩形的六面體稱為芻童如圖是一個(gè)芻童的三視圖，其中正視圖及側(cè)視圖均為等腰梯形，兩底的長(zhǎng)分別為2和6，高為2，則該芻童的體積為_(kāi)答案解析由題意幾何體原圖為正四棱臺(tái)，底面的邊長(zhǎng)分別為2和6，高為2，所以幾何體的體積V×(436)×2.10(2019·全國(guó)卷)中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖1)半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1.則該半正多面體共有_個(gè)面，其棱長(zhǎng)為_(kāi)答案261解析先求面數(shù)，有如下兩種方法解法一：由“半正多面體”的結(jié)構(gòu)特征及棱數(shù)為48可知，其上部分有9個(gè)面，中間部分有8個(gè)面，下部分有9個(gè)面，共有2×9826(個(gè))面解法二：一般地，對(duì)于凸多面體，頂點(diǎn)數(shù)(V)面數(shù)(F)棱數(shù)(E)2(歐拉公式)由圖形知，棱數(shù)為48的半正多面體的頂點(diǎn)數(shù)為24，故由VFE2，得面數(shù)F2EV2482426.再求棱長(zhǎng)作中間部分的橫截面，由題意知該截面為各頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的正方形上的正八邊形ABCDEFGH，如圖，設(shè)其邊長(zhǎng)為x，則正八邊形的邊長(zhǎng)即為半正多面體的棱長(zhǎng)連接AF，過(guò)H，G分別作HMAF，GNAF，垂足分別為M，N，則AMMHNGNFx.又AMMNNF1，即xxx1.解得x1，即半正多面體的棱長(zhǎng)為1.11(2019·福建龍巖5月統(tǒng)考)如圖是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德用平衡法求球的體積所用的圖形此圖由正方形ABCD、半徑為r的圓及等腰直角三角形構(gòu)成，其中圓內(nèi)切于正方形，等腰三角形的直角頂點(diǎn)與AD的中點(diǎn)N重合，斜邊在直線BC上已知S為BC的中點(diǎn)，現(xiàn)將該圖形繞直線NS旋轉(zhuǎn)一周，則陰影部分旋轉(zhuǎn)后形成的幾何體的體積為_(kāi)答案2r3解析左上方的陰影部分旋轉(zhuǎn)后形成的幾何體的體積等于半球的體積減去一個(gè)三棱錐的體積，所以V1r3×r2·rr3，右上方的陰影部分旋轉(zhuǎn)后形成的幾何體的體積等于圓柱的體積減去半個(gè)球的體積，所以V2r2·r·r3r3，右下方的陰影部分旋轉(zhuǎn)后形成的幾何體體積等于圓臺(tái)的體積減去一個(gè)圓柱的體積，所以V3(r24r22r2)r2·rr3.故陰影部分旋轉(zhuǎn)后形成的幾何體的體積為r3r3r32r3.12(2019·江西上饒二模)一個(gè)棱長(zhǎng)為12的正方體形狀的鐵盒內(nèi)放置一個(gè)正四面體，且能使該正四面體在鐵盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則該正四面體的體積的最大值是_答案64解析由題知，該正四面體在鐵盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，故其能在正方體的內(nèi)切球內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，內(nèi)切球半徑為6，設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為a，將此正四面體鑲嵌在棱長(zhǎng)為x的正方體內(nèi)，如圖所示，則xa，外接球的球心和正方體中心O重合，外接球的半徑為a，a6，a4，又正四面體的高為a，該正四面體的體積為×a2×a64.三、解答題13(2019·福建漳州5月統(tǒng)考)如圖1，在菱形ABCD中，AB2，DAB60°，M是AD的中點(diǎn)，以BM為折痕，將ABM折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)A1的位置，且平面A1BM平面BCDM，如圖2.(1)求證：A1MBD；(2)若K為A1C的中點(diǎn)，求四面體MA1BK的體積解(1)證明：在圖1中，連接BD(如圖a)，四邊形ABCD是菱形，DAB60°，M是AD的中點(diǎn)，ADBM，故在圖2中，BMA1M，平面A1BM平面BCDM，平面A1BM平面BCDMBM，A1M平面BCDM，又BD平面BCDM，A1MBD.(2)在圖1中，ABCD是菱形，ADBM，ADBC，BMBC，且BM，在圖2中，連接CM(如圖b)，則VA1BCMSBCM·A1M××2××1，K是A1C的中點(diǎn)，VMA1BKVKMA1BVCMA1BVA1BCM.四面體MA1BK的體積為.14. 如圖，已知棱錐SABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，BAD60°，SASD，SB，點(diǎn)E是棱AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在SC棱上，且，SA平面BEF.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)求三棱錐FEBC的體積解(1)連接AC，設(shè)ACBEG，則平面SAC平面EFBFG，SA平面EFB，SAFG，GEAGBC，SFSC，.(2)SASD，SEAD，SE2，又ABAD2，BAD60°，BE，SE2BE2SB2.SEBE，SE平面ABCD，VFBCEVSEBCVSABCD××2×2sin60°×2.- 17 -