2020版高考數學一輪復習 課后限時集訓34 二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題 文（含解析）北師大版

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1、課后限時集訓(三十四)　 (建議用時：60分鐘) A組　基礎達標 一、選擇題 1．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐標平面內表示的區(qū)域(用陰影部分表示)應是(　　) A　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D C　[(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0，即或與選項C符合．故選C．] 2．已知實數x，y滿足則z＝3x－y的最小值為(　　) A．－1　　　　B．1　　　　C．3　　　　D．2 C　[如圖，作出不等式組所表示的平面區(qū)域(陰影部分)，顯然目標函數z＝3x－y的幾何意義是直線3x－y－z＝0在y軸上截距的相反數，故當直線在y軸上截距取得最大值時，目標函數z取

2、得最小值． 由圖可知，目標函數對應直線經過點A時，z取得最小值．由解得A(1,0)． 故z的最小值為3×1－0＝3.故選C．] 3．(2019·泰安模擬)若變量x，y滿足則x2＋y2的最大值是(　　) A．4 B．9 C．10 D．12 C　[作出不等式組表示的 平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示．x2＋y2表示平面區(qū)域內的點到原點距離的平方，由得A(3，－1)，由圖易得(x2＋y2)max＝|OA|2＝32＋(－1)2＝10. 故選C．] 4．(2019·衡陽模擬)若x，y滿足且z＝3x－y的最大值為2，則實數m的值為(　　) A． B． C．1 D．2 D　[由選

3、項得m＞0，作出不等式組 表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分． 因為z＝3x－y，所以y＝3x－z，當直線y＝3x－z經過點A時，直線在y軸上的截距－z最小，即目標函數取得最大值2. 由得A(2,4)，代入直線mx－y＝0得2m－4＝0，所以m＝2.] 5．某企業(yè)生產甲、乙兩種產品均需用A，B兩種原料，已知生產1噸每種產品所需原料及每天原料的可用限額如表所示，如果生產1噸甲、乙產品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為(　　) 甲 乙 原料限額 A(噸) 3 2 12 B(噸) 1 2 8 A．12萬元 B．16萬元 C．17萬元 D．

4、18萬元 D　[設每天生產甲、乙產品分別為x噸、y噸，每天所獲利潤為z萬元，則有目標函數z＝3x＋4y，線性約束條件表示的可行域如圖陰影部分所示： 可得目標函數在點A處取到最大值． 由得A(2,3)． 則zmax＝3×2＋4×3＝18(萬元)．] 二、填空題 6．(2017·全國卷Ⅲ)若x，y滿足約束條件則z＝3x－4y的最小值為________． －1　[不等式組表示的可行域如圖陰影部分所示． 由z＝3x－4y得y＝x－z. 平移直線y＝x，易知經過點A時，z有最小值． 由得∴A(1,1)． ∴zmin＝3－4＝－1.] 7．若變量x，y滿足約束條件則(x－2

5、)2＋y2的最小值為________． 5　[作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖陰影部分所示， 設z＝(x－2)2＋y2， 則z的幾何意義為區(qū)域內的點到定點D(2,0)的距離的平方， 由圖知C，D間的距離最小，此時z最小． 由得即C(0,1)， 此時zmin＝(x－2)2＋y2＝4＋1＝5.] 8．已知實數x，y滿足約束條件則目標函數z＝的最大值為________． －　[作出約束條件所表示的平面區(qū)域，其中A(0,1)，B(1,0)，C(3,4)． 目標函數z＝表示過點Q(5，－2)與點(x，y)的直線的斜率，且點(x，y)在△ABC平面區(qū)域內． 顯然過B，Q兩點的直線

6、的斜率z最大，最大值為＝－.] 三、解答題 9．如圖所示，已知D是以點A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)為頂點的三角形區(qū)域(包括邊界與內部)． (1)寫出表示區(qū)域D的不等式組； (2)設點B(－1，－6)，C(－3,2)在直線4x－3y－a＝0的異側，求a的取值范圍． [解]　(1)直線AB，AC，BC的方程分別為7x－5y－23＝0，x＋7y－11＝0,4x＋y＋10＝0.原點(0,0)在區(qū)域D內，故表示區(qū)域D的不等式組為 (2)根據題意有[4×(－1)－3×(－6)－a]·[4×(－3)－3×2－a]＜0，即(14－a)(－18－a)＜0， 解得－18＜a＜1

7、4.故a的取值范圍是(－18,14)． 10．若x，y滿足約束條件 (1)求目標函數z＝x－y＋的最值； (2)若目標函數z＝ax＋2y僅在點(1,0)處取得最小值，求a的取值范圍． [解]　(1)作出可行域如圖，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)． 平移初始直線x－y＋＝0，過A(3,4)時z取最小值－2，過C(1,0)時z取最大值1. 所以z的最大值為1，最小值為－2. (2)直線ax＋2y＝z僅在點(1,0)處取得最小值，由圖像可知－1＜－＜2，解得－4＜a＜2. 故a的取值范圍是(－4,2)． B組　能力提升 1．若平面區(qū)域夾在兩條斜率為1的平行直線

8、之間，則這兩條平行直線間的距離的最小值是(　　) A．　　　　B.　　　　C．　　　　D. B　[根據約束條件作出可行域如圖陰影部分，當斜率為1的直線分別過A點和B點時滿足條件，聯立方程組求得A(1,2)，聯立方程組求得B(2,1)，可求得分別過A，B點且斜率為1的兩條直線方程為x－y＋1＝0和x－y－1＝0，由兩平行線間的距離公式得距離為＝，故選B.] 2．若不等式組表示的平面區(qū)域為三角形，且其面積等于，則m的值為(　　) A．－3 B．1 C． D．3 B　[作出可行域，如圖中陰影部分所示，易求A，B，C，D的坐標分別為A(2,0)，B(1－m,1＋m)，C，，D(－2m,

9、0)． S△ABC＝S△ADB－S△ADC＝|AD|·|yB－yC|＝(2＋2m)·＝(1＋m)＝，解得m＝1或m＝－3(舍去)．] 3．已知實數x，y滿足設b＝x－2y，若b的最小值為－2，則b的最大值為__________． 10　[畫出可行域，如圖陰影部分所示．由b＝x－2y，得y＝x－.易知在點(a，a)處b取最小值，故a－2a＝－2，可得a＝2.在點(2，－4)處b取最大值，于是b的最大值為2＋8＝10.] 4．某化肥廠生產甲、乙兩種混合肥料，需要A，B，C三種主要原料．生產1車皮甲種肥料和生產1車皮乙種肥料所需三種原料的噸數如下表所示： 　　原料 肥料　　 A

10、 B C 甲 4 8 3 乙 5 5 10 現有A種原料200噸，B種原料360噸，C種原料300噸．在此基礎上生產甲、乙兩種肥料．已知生產1車皮甲種肥料，產生的利潤為2萬元；生產1車皮乙種肥料，產生的利潤為3萬元．分別用x，y表示計劃生產甲、乙兩種肥料的車皮數． (1)用x，y列出滿足生產條件的數學關系式，并畫出相應的平面區(qū)域； (2)問分別生產甲、乙兩種肥料各多少車皮，能夠產生最大的利潤？并求出此最大利潤． [解]　(1)由已知，x，y滿足的數學關系式為 該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為圖①中的陰影部分． (2)設利潤為z萬元，則目標函數為z＝2x＋3y. 考慮z＝2x＋3y，將它變形為y＝－x＋，它的圖像是斜率為－，隨z變化的一組平行直線，為直線在y軸上的截距，當取最大值時，z的值最大．根據x，y滿足的約束條件，由圖②可知，當直線z＝2x＋3y經過可行域上的點M時，截距最大，即z最大． 解方程組得點M的坐標為(20,24)， 所以zmax＝2×20＋3×24＝112. 即生產甲種肥料20車皮，乙種肥料24車皮時利潤最大，且最大利潤為112萬元． - 8 -