2020版高考數(shù)學一輪復習 課后限時集訓34 空間幾何體的結構特征、直觀圖及表面積與體積（含解析）理

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1、課后限時集訓(三十四) (建議用時：60分鐘) A組　基礎達標 一、選擇題 1．下列說法正確的是( ) A．有兩個平面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱 B．四棱錐的四個側面都可以是直角三角形 C．有兩個平面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺 D．棱臺的各側棱延長后不一定交于一點 B　[如圖①所示，可知A錯．如圖②，當PD⊥底面ABCD，且四邊形ABCD為矩形時，則四個側面均為直角三角形，B正確． 圖 ① 圖② 根據(jù)棱臺的定義，可知C，D不正確．] 2．已知等腰直角三角形的直角邊的長為2，將該三角形繞其斜邊所在的

2、直線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為( ) A. B. C．2π D．4π B　[依題意知，該幾何體是以為底面半徑，為高的兩個同底圓錐組成的組合體，則其體積V＝π×()2×2＝π.] 3．(2018·南昌模擬)如圖，水平放置的△ABC的斜二測直觀圖是圖中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，則AB邊的實際長度是( ) A．4 B．6 C．8 D．10 D　[以C為原點，以CA為x軸，CB為y軸建立平面直角坐標系，在x軸上取點A，使得CA＝C′A′＝6，在y軸上取點B，使得BC＝2B′C′＝8，則AB＝＝10.] 4．(2

3、019·山西六校聯(lián)考)如圖，一個水平放置的圓柱形玻璃杯的底面半徑為9 cm，高為36 cm.玻璃杯內水深為33 cm，將一個球放在杯口，球面恰好與水面接觸，并且球面與杯口密閉．如果不計玻璃杯的厚度，則球的表面積為( ) A．900π cm2 B．450π cm2 C．800π cm2 D．400π cm2 A　[由題意，知球嵌入玻璃杯的高度h＝36－33＝3 cm.設球的半徑為R，則有R2＝92＋(R－3)2，解得R＝15 cm，所以該球的表面積S＝4πR2＝900π cm2，故選A.] 5．(2019·福州模擬)已知圓錐的高為3，底面半徑為，若該圓錐的頂點與底面的圓

4、周都在同一個球面上，則這個球的體積等于( ) A.π B.π C．16π D．32π B　[設該圓錐的外接球的半徑為R，依題意得，R2＝(3－R)2＋()2，解得R＝2，所以所求球的體積V＝πR3＝π×23＝π，故選B.] 二、填空題 6．現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5，高為4的圓錐和底面半徑為2，高為8的圓柱各一個，若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個，則新的底面半徑為______． 　[設新的底面半徑為r，由題意得 ×π×52×4＋π×22×8＝×π×r2×4＋π×r2×8， ∴r2＝7，∴r＝.] 7．已知在梯形ABC

5、D中，AB⊥BC，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉一周形成的曲面所圍成的幾何體的表面積為________． (5＋)π　[由題意得幾何體如圖所示，旋轉體是底面半徑為1，高為2的圓柱挖去一個底面半徑為1，高為1的圓錐，所以幾何體的表面積為一個圓柱底面與圓柱側面、圓錐側面之和，即π×12＋2π×1×2＋π×1×＝(5＋)π.] 8．(2019·惠州模擬)已知三棱錐S-ABC，△ABC是直角三角形，其斜邊AB＝8，SC⊥平面ABC，SC＝6，則三棱錐S-ABC的外接球的表面積為________． 100π　[將三棱錐S-ABC放在長方體中(圖略)，易

6、知三棱錐S-ABC所在長方體的外接球，即為三棱錐S-ABC的外接球，所以三棱錐S-ABC的外接球的直徑2R＝＝10，即三棱錐S -ABC的外接球的半徑R＝5，所以三棱錐S-ABC的外接球的表面積S＝4πR2＝100π.] 三、解答題 9．如圖，從正方體ABCD-A1B1C1D1的8個頂點中選出的4個點恰為一個正四面體的頂點． (1)若選出4個頂點包含點A，請在圖中畫出這個正四面體； (2)求棱長為a的正四面體外接球的半徑． [解]　(1)如圖所示，選取的四個點分別為A，D1，B1，C. (2)棱長為a的正四面體外接球的半徑等于正方體外接球的半徑等于正方體對角線長的一半，因為

7、正四面體的棱長a，所以正方體的邊長為a，因此外接球的半徑為×a＝a. 10．(2015·全國卷Ⅱ)如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，點E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.過點E，F(xiàn)的平面α與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形． (1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由)； (2)求平面α把該長方體分成的兩部分體積的比值． [解]　(1)交線圍成的正方形EHGF如圖所示． (2)如圖，作EM⊥AB，垂足為M，則AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8. 因為四邊形EHGF為正方形，所以EH＝EF＝B

8、C＝10. 于是MH＝＝6，AH＝10，HB＝6. 故S四邊形A1EHA＝×(4＋10)×8＝56， S四邊形EB1BH＝×(12＋6)×8＝72. 因為長方體被平面α分成兩個高為10的直棱柱， 所以其體積的比值為. B組　能力提升 1．設M是球O的半徑OP的中點，分別過M，O作垂直于OP的面，截球面得兩個圓，則這兩個圓的面積的比值為( ) A. B. 　C. 　D. D　[設分別過M，O作垂直于OP的面截球所得的兩個圓的半徑分別為r1，r2，球的半徑為R， 則r＝R2－＝R2，r＝R2， ∴r∶r＝R2∶R2＝3∶4， ∴這兩個圓的面

9、積的比值為.] 2.(2019·湖北聯(lián)考)一個帳篷下部的形狀是高為2 m的正六棱柱，上部的形狀是側棱長為3 m的正六棱錐(如圖所示)．當帳篷的頂點D到底面中心O1的距離為________時，帳篷的體積最大． m　[設DO1為x米，(2＜x＜5) 則由題意可得正六棱錐底面邊長為：＝ m， 于是底面正六邊形的面積為6××()2＝(5＋4x－x2)， 所以帳篷的體積為V(x)＝(5＋4x－x2)×2＋×(5＋4x－x2)(x－2)＝(5＋4x－x2)＝(5＋4x－x2)(x＋4)， 所以V′(x)＝(21－3x2)，可得當2＜x＜時，V′(x)＞0，則函數(shù)V(x)單調遞增； 當＜x

10、＜5時，V′(x)＜0，則函數(shù)V(x)單調遞減，所以當x＝時，V(x)取得最大值．] 3.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∠ABC＝90°，點D為側棱BB1上的動點，當AD＋DC1最小時，三棱錐D-ABC1的體積為________． 　[將直三棱柱ABC-A1B1C1的兩側面展開成矩形ACC1A1，如圖，連接AC1，交BB1于D，此時AD＋DC1最?。? ∵AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∠ABC＝90°，點D為側棱BB1上的動點， ∴當AD＋DC1最小時，BD＝1，此時三棱錐D-ABC1的體積為 VD-ABC1＝VC1-ABD＝·S△A

11、BD·B1C1 ＝×AB·BD·B1C1 ＝××1×1×2＝.] 4.(2019·沈陽質檢)在三棱柱ABC-A1B1C1中，側面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝AB＝BC＝2，且點O為AC中點． (1)證明：A1O⊥平面ABC； (2)求三棱錐C1-ABC的體積． [解]　(1)證明：因為AA1＝A1C，且O為AC的中點， 所以A1O⊥AC， 又平面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，且A1O?平面AA1C1C， ∴A1O⊥平面ABC. (2)∵A1C1∥AC，A1C1?平面ABC，AC?平面ABC， ∴A1C1∥平面ABC，即C1到平面ABC的距離等于A1到平面ABC的距離． 由(1)知A1O⊥平面ABC，且A1O＝＝， ∴VC1-ABC＝VA1-ABC＝S△ABC·A1O＝××2××＝1. - 7 -