2020屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第九單元 解析幾何 第70講 圓錐曲線的綜合應(yīng)用（三）練習(xí) 理（含解析）新人教A版

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1、第70講　圓錐曲線的綜合應(yīng)用(三) (與直線、圓及其他知識(shí)的交匯與綜合) 1．(經(jīng)典真題)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直，直線MF1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N. (1)若直線MN的斜率為，求C的離心率； (2)若直線MN在y軸上的截距為2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b. (1)根據(jù)c＝及題設(shè)知M(c，)， 因?yàn)椋剑?b2＝3ac，將b2＝a2－c2代入2b2＝3ac， 得2c2＋3ac－2a2＝0，解得＝或＝－2(舍去)． 故C的離心率為. (2)由題意，原點(diǎn)O為F1F2的中點(diǎn)，MF2∥y軸， 所以直線MF1

2、與y軸的交點(diǎn)D(0,2) 是線段MF1的中點(diǎn)，故＝4，即b2＝4a，① 由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|. 設(shè)N(x1，y1)，由題意知y1<0，則 即 代入C的方程，得＋＝1. 將①及c＝代入②得＋＝1， 解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2. 2．(2018·天津卷·文)設(shè)橢圓＋＝1(a>b>0)的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，已知橢圓的離心率為，|AB|＝. (1)求橢圓的方程． (2)設(shè)直線l：y＝kx(k＜0)與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，l與直線AB交于點(diǎn)M，且點(diǎn)P，M均在第四象限．若△BPM的面積是△BPQ面積的2倍，求k的值． (1)設(shè)橢

3、圓的焦距為2c， 由已知有＝，又由a2＝b2＋c2，可得2a＝3b. 又|AB|＝＝，從而a＝3，b＝2. 所以，橢圓的方程為＋＝1. (2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x1，y1)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x2，y2)，由題意知，x2>x1>0，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(－x1，－y1)． 由△BPM的面積是△BPQ面積的2倍， 可得|PM|＝2|PQ|，從而x2－x1＝2[x1－(－x1)]， 即x2＝5x1. 易知直線AB的方程為2x＋3y＝6， 由方程組消去y，可得x2＝. 由方程組消去y，可得x1＝. 由x2＝5x1，可得＝5(3k＋2)，兩邊平方，整理得18k2＋25k＋8＝0，解得k＝－，或

4、k＝－. 當(dāng)k＝－時(shí)，x2＝－9<0，不合題意，舍去； 當(dāng)k＝－時(shí)，x2＝12，x1＝，符合題意． 所以，k的值為－. 3．(2018·福建省高三質(zhì)量檢測(cè))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0，)，以MF為直徑的圓與x軸相切． (1)求點(diǎn)M的軌跡E的方程； (2)設(shè)T是軌跡E上橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)，OT的平行線l交E于A，B兩點(diǎn)，交E在T處的切線于點(diǎn)N，求證：|NT|2＝|NA|·|NB|. (1)(方法1)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，因?yàn)镕(0，)， 所以MF的中點(diǎn)坐標(biāo)為(，)， 因?yàn)橐訫F為直徑的圓與x軸相切， 所以＝，即|MF|＝， 所以＝，化簡(jiǎn)得x2＝2y， 所

5、以點(diǎn)M的軌跡方程為x2＝2y. (方法2)以點(diǎn)MF為直徑的圓的圓心為點(diǎn)C，與x軸的切點(diǎn)為D， 連接CD，則CD⊥x軸，且|MF|＝2|CD|. 作直線l′：y＝－，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥l′于點(diǎn)H，交x軸于點(diǎn)I， 則|CD|＝，所以|MF|＝|MI|＋|OF|， 又|IH|＝|OF|＝，所以|MF|＝|MH|， 所以點(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn)，l′為準(zhǔn)線的拋物線， 所以M的軌跡E的方程為x2＝2y. (2)因?yàn)門(mén)是軌跡E上橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)， 由(1)得T(2，2)，所以直線OT的斜率為1， 因?yàn)閘∥OT，所以l的方程為y＝x＋m(m≠0)． 由y＝x2，得y′＝x，則E在點(diǎn)T處的切線斜

6、率為2. 所以E在T處的切線的方程為y＝2x－2， 由得所以N(m＋2，2m＋2)， 所以|NT|2＝[(m＋2)－2]2＋[(2m＋2)－2]2＝5m2. 由消去y，得x2－2x－2m＝0， 由Δ＝4＋8m>0，得m>－且m≠0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝2，x1x2＝－2m， 因?yàn)辄c(diǎn)N，A，B在直線l上， 所以|NA|＝|x1－(m＋2)|，|NB|＝|x2－(m＋2)|， 所以|NA|·|NB|＝2|x1－(m＋2)|·|x2－(m＋2)| ＝2|x1x2－(m＋2)(x1＋x2)＋(m＋2)2| ＝2|－2m－2(m＋2)＋(m＋2)2

7、|＝2m2， 所以|NT|2＝|NA|·|NB|. 4．(2018·全國(guó)卷Ⅲ)已知斜率為k的直線l與橢圓C：＋＝1交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M(1，m)(m＞0)． (1)證明：k＜－； (2)設(shè)F為C的右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且＋＋＝0.證明：||，||，||成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差． (1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則＋＝1，＋＝1. 兩式相減，并由＝k得＋·k＝0. 由題設(shè)知＝1，＝m，于是k＝－.① 由題設(shè)得0＜m＜，故k＜－. (2)由題意得F(1，0)．設(shè)P(x3，y3)，則 (x3－1，y3)＋(x1－1，y1)＋(x2－1，y2)＝

8、(0，0)． 由(1)及題設(shè)得x3＝3－(x1＋x2)＝1， y3＝－(y1＋y2)＝－2m＜0. 又點(diǎn)P在C上，所以m＝，從而P(1，－)， ||＝， 于是||＝ ＝ ＝2－. 同理||＝2－. 所以||＋||＝4－(x1＋x2)＝3. 故2||＝||＋||，即||，||，||成等差數(shù)列． 設(shè)該數(shù)列的公差為d，則 2|d|＝|||－|||＝|x1－x2| ＝.② 將m＝代入①得k＝－1， 所以l的方程為y＝－x＋，代入C的方程，并整理得 7x2－14x＋＝0. 故x1＋x2＝2，x1x2＝，代入②解得|d|＝. 所以該數(shù)列的公差為或－. 5