2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點06 函數(shù)的奇偶性與周期性必刷題 理（含解析）

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1、考點06 函數(shù)的奇偶性與周期性 1．下列函數(shù)為奇函數(shù)的是(　　) A．f(x)＝　 B．f(x)＝ex C．f(x)＝cos x D．f(x)＝ex－e－x 【答案】D 【解析】對于A，定義域不關(guān)于原點對稱，故不是；對于B, f(－x)＝e－x＝≠－f(x)，故不是；對于C，f(－x)＝cos(－x)＝cos x≠－f(x)，故不是；對于D，f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，是奇函數(shù)，故選D. 2．設(shè)函數(shù)f(x)＝x＋sin x(x∈R)，則下列說法錯誤的是(　　) A．f(x)是奇函數(shù) B．f(x)在R上單調(diào)遞增 C．f(x)的值域為R D

2、．f(x)是周期函數(shù) 【答案】D 【解析】因為f(－x)＝－x＋sin(－x)＝－(x＋sin x)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)，故A正確；因為f ′(x)＝1＋cos x≥0，所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，故B正確；f(x)的值域為R，故C正確；f(x)不是周期函數(shù)，故D錯誤． 3．對于函數(shù)f(x)＝asin x＋bx3＋cx＋1(a，b，c∈R)，選取a，b，c的一組值計算f(1)，f(－1)，所得出的正確結(jié)果可能是(　　) A．2和1 B．2和0 C．2和－1 D．2和－2 【答案】B 【解析】設(shè)g(x)＝asin x＋bx3＋cx，顯然g(x)為定義域上的奇函

3、數(shù)，所以g(1)＋g(－1)＝0，所以f(1)＋f(－1)＝g(1)＋g(－1)＋2＝2，只有B選項中兩個值的和為2. 4．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1,2a]上的偶函數(shù)，那么a＋b的值是(　　) A．－　 B．　 C．－ D． 【答案】B 【解析】∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，∴b＝0.又a－1＝－2a，∴a＝，∴a＋b＝.故選B. 5．已知y＝f(x)是偶函數(shù)，且當(dāng)0≤x≤1時，f(x)＝sin x，而y＝f(x＋1)是奇函數(shù)，則a＝f(－3.5)，b＝f(7)，c＝f(12)的大小關(guān)系是(　　) A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a(chǎn)＜c

4、＜b D．a(chǎn)＜b＜c 【答案】B 【解析】因為y＝f(x)是偶函數(shù)，所以f(x)＝f(－x)， 因為y＝f(x＋1)是奇函數(shù)，所以f(x)＝－f(2－x)， 所以f(－x)＝－f(2－x)，即f(x)＝f(x＋4)． 所以函數(shù)f(x)的周期為4， 又因為當(dāng)0≤x≤1時，f(x)＝sin x，所以函數(shù)在[0，1]上單調(diào)遞增， 因為a＝f(－3.5)＝f(－3.5＋4)＝f(0.5)； b＝f(7)＝f(7－8)＝f(－1)＝f(1)， c＝f(12)＝f(12－12)＝f(0)， 又因為f(x)在[0，1]上為增函數(shù)， 所以f(0)＜f(0.5)＜f(1)，即c＜a＜b.

5、 6．已知函數(shù)f(x)在R上是奇函數(shù)，且滿足f(x＋4)＝f(x)，當(dāng)x∈(－2,0)時，f(x)＝2x2，則f(2 019)＝(　　) A．－2 B．2　 C．－98　 D．98 【答案】B 【解析】由f(x＋4)＝f(x)知，函數(shù)f(x)的周期為4，則f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)， 又f(3)＝f(－1)，且f(－1)＝2，∴f(2 019)＝2. 7．已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)＞f(a)，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1，2) C．(－2，1) D

6、．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 【答案】C 【解析】∵f(x)是奇函數(shù)，∴當(dāng)x＜0時，－x＞0，∴f(－x)＝(－x)2－2x，∴－f(x)＝x2－2x，∴f(x)＝－x2＋2x.作出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖中實線所示，結(jié)合圖象可知f(x)是R上的增函數(shù)，由f(2－a2)＞f(a)，得2－a2＞a，解得－2＜a＜1. 8．設(shè)e是自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)f(x)是周期為4的奇函數(shù)，且當(dāng)0

7、對任意的實數(shù)x都有f(x＋2)－f(x)＝2f(1)，若y＝f(x－1)的圖象關(guān)于x＝1對稱，且f(0)＝2，則f(2 019)＋f(2 020)＝(　　) A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】∵y＝f(x－1)的圖象關(guān)于x＝1對稱，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于x＝0對稱，即函數(shù)f(x)是偶函數(shù)． 令x＝－1，則f(－1＋2)－f(－1)＝2f(1)， 即f(1)－f(1)＝2f(1)＝0，即f(1)＝0. 則f(x＋2)－f(x)＝2f(1)＝0，即f(x＋2)＝f(x)， 即函數(shù)的周期是2，又f(0)＝2，則f(2 019)＋f(2 020)＝f(1)＋

8、f(0)＝0＋2＝2，故選B. 10．已知偶函數(shù)f(x)的定義域為R，若f(x－1)為奇函數(shù)，且f(2)＝3，則f(5)＋f(6)的值為(　　) A．－3 B．－2 C．2 D．3 【答案】C 【解析】依題意f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，且在R上是奇函數(shù)，所以f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，所以f(－2)＝－f(2)＝0，結(jié)合圖象可知f(x)>0的解集為(－∞，－2)∪(0,2)．故選C. 11．已知函數(shù)f(x)＝若a[f(a)－f(－a)]>0，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(1，＋∞) B．(2，＋∞) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－2)∪(

9、2，＋∞) 【答案】B 【解析】由題意，偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上是減函數(shù)，即不等式f(a)≥f(x)對任意x∈[1,2]恒成立，即不等式f(|a|)≥f(|x|)對任意x∈[1,2]恒成立，所以|a|≤|x|對任意x∈[1,2]恒成立，所以|a|≤1，則－1≤a≤1.故選B. 12．已知函數(shù)f(x)對任意x∈R，都有f(x＋6)＋f(x)＝0，y＝f(x－1)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，且f(2)＝4，則f(2 014)＝(　　) A．0 　　 B．－4　　　 C．－8 D．－16 【答案】B 【解析】由題意可知，函數(shù)f(x)對任意x∈R，都有f(x＋6)＝－f(x)，

10、∴f(x＋12)＝f [(x＋6)＋6]＝－f(x＋6)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)的周期T＝12.把y＝f(x－1)的圖象向左平移1個單位得y＝f(x－1＋1)＝f(x)的圖象，關(guān)于點(0,0)對稱，因此函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，∴f(2 014)＝f(167×12＋10)＝f(10)＝f(10－12)＝f(－2)＝－f(2)＝－4.故選B. 13．已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x－3)＝－f(x)，在區(qū)間上是增函數(shù)，且函數(shù)y＝f(x－3)為奇函數(shù)，則(　　) A．f(－31)＜f(84)＜f(13) B．f(84)＜f(13)＜f(－31) C．f(13)＜f(84)＜f(－31)

11、 D．f(－31)＜f(13)＜f(84) 【答案】A. 【解析】根據(jù)題意，函數(shù)f(x)滿足f(x－3)＝－f(x)，則有f(x－6)＝－f(x－3)＝f(x)，則函數(shù)f(x)為周期為6的周期函數(shù)．若函數(shù)y＝f(x－3)為奇函數(shù)，則f(x)的圖象關(guān)于點(－3，0)成中心對稱，則有f(x)＝－f(－6－x)，又由函數(shù)的周期為6，則有f(x)＝－f(－x)，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．又由函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)f(x)在上為增函數(shù)，f(84)＝f(14×6＋0)＝f(0)，f(－31)＝f(－1－5×6)＝f(－1)，f(13)＝f(1＋2×6)＝f(1)，則有f(－1)＜f(0)＜f(1)

12、，即f(－31)＜f(84)＜f(13)，故選A. 14．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，且當(dāng)0

13、___． 【答案】－8 【解析】因為f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，由f(x－4)＝－f(x)可得f(x＋2)＝－f(x＋6)＝－f(x－2)，因為f(x)是奇函數(shù)，所以f(x＋2)＝－f(x－2)＝f(2－x)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，結(jié)合f(x)在[0，2]上為增函數(shù)，可得函數(shù)f(x)的大致圖象如圖，由圖看出，四個交點中的左邊兩個交點的橫坐標之和為2×(－6)，另兩個交點的橫坐標之和為2×2，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－8. 16．若函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋1是定義在[－1－a,2a]上的偶函數(shù)，則

14、f(2a－b)＝________. 【答案】5 【解析】∵函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋1是定義在[－1－a,2a]上的偶函數(shù)，∴－1－a＋2a＝0，即a＝1. ∵f(x)＝f(－x)， ∴ax2＋bx＋1＝ax2－bx＋1，∴b＝0， 即f(x)＝x2＋1. 則f(2a－b)＝f(2)＝5. 17．已知函數(shù)f(x)在R上為奇函數(shù)，且x>0時， f(x)＝＋1，則當(dāng)x<0時， f(x)＝________. 【答案】－－1 【解析】∵f(x)為奇函數(shù)，且x>0時， f(x)＝＋1，∴當(dāng)x<0時，即－x>0，有 f(x)＝－f(－x)＝－(＋1)，即x<0時， f(x)＝－(＋1

15、)＝－－1.　 18．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝x2＋2x.若f(2－a2)＞f(a)，則實數(shù)a的取值范圍是________． 【答案】(－2,1) 【解析】∵f(x)是奇函數(shù)，∴當(dāng)x＜0時， f(x)＝－x2＋2x.做出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示，結(jié)合圖象可知f(x)是R上的增函數(shù)．由f(2－a2)＞f(a)，得2－a2＞a，解得－2＜a＜1. 19．已知函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)． (1)求實數(shù)m的值； (2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，a－2]上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍． 【答案】 【解析】(1)設(shè)x<0，則－x>0，所以f

16、(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又f(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，于是x<0時， f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2. (2)要使f(x)在[－1，a－2]上單調(diào)遞增， 結(jié)合f(x)的圖象(如圖所示)知 所以1＜a≤3， 故實數(shù)a的取值范圍是(1,3]． 20．已知函數(shù)f(x)的定義域為D＝{x|x≠0}，且滿足對任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)． (1)求f(1)的值； (2)判斷f(x)的奇偶性并證明你的結(jié)論； (3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2, 且f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，求x的取

17、值范圍． 【答案】(1) 0 (2) f(x)為偶函數(shù) (3) (－15,1)∪(1,17) 【解析】(1)∵對于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0. (2)f(x)為偶函數(shù)． 證明：令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)， ∴f(－1)＝f(1)＝0. 令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)， ∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)． (3)依題意有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2， 又由(2)知， f(x)是偶函數(shù)，∴f(x－1)<

18、2?f(|x－1|)

19、 令x＝y(tǒng)＝0， 所以f(0)＝0.令x＋y＝0，所以y＝－x， 所以f(0)＝f(x)＋f(－x)． 所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)． 因為f(x)在x∈[－1，0]上為增函數(shù)，又f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)在[0，1]上為增函數(shù)． 由f(x＋2)＝－f(x)?f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以周期T＝4， 即f(x)為周期函數(shù)． f(x＋2)＝－f(x)?f(－x＋2)＝－f(－x)． 又因為f(x)為奇函數(shù)，所以f(2－x)＝f(x)， 所以函數(shù)關(guān)于x＝1對稱． 由f(x)在[0，1]上為增函數(shù)，又關(guān)于x＝1對稱， 所以f(x)在[1，2]上為減函數(shù)． 由f(x＋2)＝－f(x)，令x＝0得f(2)＝－f(0)＝f(0)． 7