2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時(shí)集訓(xùn)11 圓錐曲線中的綜合問題 理

專題限時(shí)集訓(xùn)(十一)圓錐曲線中的綜合問題(建議用時(shí)：20分鐘)1易錯(cuò)題已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，短軸長(zhǎng)為2.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線l：ykxm與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若kOM·kON，求原點(diǎn)O到直線l的距離的取值范圍解(1)由題意知e，2b2，又a2b2c2，所以b1，a2，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得(4k21)x28kmx4m240.則(8km)24(4k21)(4m24)0，化簡(jiǎn)得m24k21.x1x2，x1x2，y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2，若kOM·kON，則，即4y1y25x1x2，所以4k2x1x24km(x1x2)4m25x1x2，則(4k25)x1x24km(x1x2)4m20，所以(4k25)·4km·4m20，化簡(jiǎn)得m2k2.由得0m2，k2.因?yàn)樵c(diǎn)O到直線l的距離d，所以d21，又k2，所以0d2，解得0d.所以原點(diǎn)O到直線l的距離的取值范圍為.2(2019·北京高考)已知拋物線C：x22py經(jīng)過點(diǎn)(2，1)(1)求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；(2)設(shè)O為原點(diǎn)，過拋物線C的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)M，N，直線y1分別交直線OM，ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B.求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個(gè)定點(diǎn)解(1)由拋物線C：x22py經(jīng)過點(diǎn)(2，1)，得p2.所以拋物線C的方程為x24y，其準(zhǔn)線方程為y1.(2)拋物線C的焦點(diǎn)為F(0，1)設(shè)直線l的方程為ykx1(k0)由得x24kx40.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1x24.直線OM的方程為yx.令y1，得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)xA.同理得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)xB.設(shè)點(diǎn)D(0，n)，則，·(n1)2(n1)2(n1)24(n1)2.令·0，即4(n1)20，則n1或n3.綜上，以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的定點(diǎn)(0,1)和(0，3)題號(hào)內(nèi)容押題依據(jù)1橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系證明問題直線與橢圓的位置關(guān)系及橢圓方程的求解是高考常規(guī)性問題，注重雙基，體現(xiàn)運(yùn)算能力，證明問題、考查學(xué)生的邏輯推理的素養(yǎng)，符合高考最近動(dòng)態(tài)2待定系數(shù)法求曲線的方程，設(shè)而不求的思想，探索性問題探索性問題是一種動(dòng)態(tài)問題，可以較好的考查學(xué)生的動(dòng)手、動(dòng)腦能力，而“設(shè)而不求”思想是解答圓錐曲線常用的方法，符合高考最新動(dòng)態(tài)【押題1】已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，右焦點(diǎn)為F，且該橢圓過點(diǎn).(1)求橢圓C的方程；(2)當(dāng)動(dòng)直線l與橢圓C相切于點(diǎn)A，且與直線x相交于點(diǎn)B時(shí)，求證：FAB為直角三角形解(1)由題意得，1，又a2b2c2，所以b21，a24，即橢圓C的方程為y21.(2)由題意可得直線l的斜率存在，設(shè)l：ykxm，聯(lián)立得(4k21)x28kmx4m240，判別式64k2m216(4k21)(m21)0，得m24k210.設(shè)A(x1，y1)，則x1，y1kx1mm，即A.易得B，F(xiàn)(，0)，則，·110，所以，即FAB為直角三角形，得證【押題2】如圖，由部分拋物線y2mx1(m0，x0)和半圓x2y2r2(x0)所組成的曲線稱為“黃金拋物線C”，若“黃金拋物線C”經(jīng)過點(diǎn)(3,2)和.(1)求“黃金拋物線C”的方程；(2)設(shè)P(0,1)和Q(0，1)，過點(diǎn)P作直線l與“黃金拋物線C”交于A，P，B三點(diǎn)，問是否存在這樣的直線l，使得QP平分AQB？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由解(1)因?yàn)椤包S金拋物線C”過點(diǎn)(3,2)和，所以r21,43m1，解得m1.所以“黃金拋物線C”的方程為y2x1(x0)和x2y21(x0)(2)假設(shè)存在這樣的直線l，使得QP平分AQB.顯然直線l的斜率存在且不為0，結(jié)合題意可設(shè)直線l的方程為ykx1(k0)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，不妨令xA0xB.由消去y并整理，得k2x2(2k1)x0，所以xB，yB，即B，由xB0知k，所以直線BQ的斜率為kBQ.由消去y并整理，得(k21)x22kx0，所以xA，yA，即A，由xA0知k0，所以直線AQ的斜率為kAQ.因?yàn)镼P平分AQB，且直線QP的斜率不存在，所以kAQkBQ0，即0，由0k，可得k1.所以存在直線l：y(1)x1，使得QP平分AQB.- 4 -