2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時(shí)集訓(xùn)5 概率、隨機(jī)變量及其分布 理
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1、專題限時(shí)集訓(xùn)(五) 概率、隨機(jī)變量及其分布 [專題通關(guān)練] (建議用時(shí):30分鐘) 1.袋中裝有2個(gè)紅球,3個(gè)黃球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,則3次中恰有2次抽到黃球的概率是( ) A. B. C. D. D [由題意可知抽到黃球的次數(shù)ξ~B, ∴P(ξ=2)=C×=.] 2.(2019·咸陽二模)已知甲、乙、丙三人去參加某公司面試,他們被公司錄取的概率分別為,,,且三人錄取結(jié)果相互之間沒有影響,則他們?nèi)酥兄辽儆幸蝗吮讳浫〉母怕蕿? ) A. B. C. D. B [甲、乙、丙三人去參加某公司面試,他們被公司錄取的概率分別為,,,且三個(gè)錄取結(jié)
2、果相互之間沒有影響,∴他們?nèi)酥兄辽儆幸蝗吮讳浫〉母怕蕿椋篜=1-=.故選B.] 3.(2019·鄭州二模)在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10 000個(gè)點(diǎn),則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(-1,1)的密度曲線)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為( ) (附:X~N(μ,σ2),則P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 7, P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 5) A.906 B.2 718 C.1 359 D.3 413 C [∵X~N(-1,1), ∴陰影部分的面積S=P(0﹤X≤1) =[P(-3﹤x≤1)-P(-2﹤x≤0)]=(0.954 5-0.682 7)=0.1
3、35 9, ∴落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為10 000×0.135 9=1 359.故選C.] 4.甲、乙二人爭奪一場圍棋比賽的冠軍,若比賽為“三局兩勝”制,甲在每局比賽中獲勝的概率均為,且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立,則在甲獲得冠軍的情況下,比賽進(jìn)行了三局的概率為( ) A. B. C. D. B [由題意,甲獲得冠軍的概率為×+××+××=,其中比賽進(jìn)行了3局的概率為××+××=, ∴所求概率為÷=,故選B.] 5.(2019·巢湖市一模)某次考試共有12個(gè)選擇題,每個(gè)選擇題的分值為5分,每個(gè)選擇題四個(gè)選項(xiàng)且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的,A學(xué)生對12個(gè)選擇題中每個(gè)題的
4、四個(gè)選擇項(xiàng)都沒有把握,最后選擇題的得分為X分,B學(xué)生對12個(gè)選擇題中每個(gè)題的四個(gè)選項(xiàng)都能判斷其中有一個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的,對其它三個(gè)選項(xiàng)都沒有把握,選擇題的得分為Y分,則D(Y)-D(X)的值為( ) A. B. C. D. A [設(shè)A學(xué)生答對題的個(gè)數(shù)為m,得分5m,則m~B,D(m)=12××=, ∴D(X)=25×=. 設(shè)B學(xué)生答對題的個(gè)數(shù)為n,得分5n,則n~B, D(n)=12××=,∴D(Y)=25×=. ∴D(Y)-D(X)=-=.故選A.] 6.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2),且P(0≤X≤2)=0.3,則P(X>4)=________. 0.2
5、[由正態(tài)分布的特征可知 P(0≤X≤2)=P(2≤X≤4)=0.3. 又P(X≥2)=0.5,∴P(X>4)=0.5-0.3=0.2.] 7.[易錯(cuò)題]某種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9,現(xiàn)播種了1 000粒,對于沒有發(fā)芽的種子,每粒需要再補(bǔ)種2粒,補(bǔ)種的種子數(shù)記為X,則X的數(shù)學(xué)期望為________. 200 [將“沒有發(fā)芽的種子數(shù)”記為ξ,則ξ=1,2,3,…,1 000,由題意可知ξ~B(1 000,0.1),所以E(ξ)=1 000×0.1=100,又因?yàn)閄=2ξ,所以E(X)=2E(ξ)=200.] 8.甲、乙、丙三人到三個(gè)景點(diǎn)旅游,每人只去一個(gè)景點(diǎn),設(shè)事件A為“三個(gè)人去的景點(diǎn)
6、不相同”,B為“甲獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)”,則概率P(A|B)等于________. [由題意可知,n(B)=C22=12,n(AB)=A=6, 所以P(A|B)===.] [能力提升練] (建議用時(shí):30分鐘) 9.根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì),某支深受廣大球迷喜歡的足球隊(duì)中,乙球員能夠勝任前鋒、中場、后衛(wèi)及守門員四個(gè)位置,且出場率分別為0.2,0.5,0.2,0.1,當(dāng)出任前鋒、中場、后衛(wèi)及守門員時(shí),球隊(duì)輸球的概率依次為0.4,0.2,0.6,0.2.則 (1)當(dāng)他參加比賽時(shí),求球隊(duì)某場比賽輸球的概率; (2)當(dāng)他參加比賽時(shí),在球隊(duì)輸了某場比賽的條件下,求乙球員擔(dān)當(dāng)前鋒的概率; (3)如果
7、你是教練員,應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)分析,如何安排乙球員能使贏球場次更多? [解] 設(shè)A1表示“乙球員擔(dān)當(dāng)前鋒”,A2表示“乙球員擔(dān)當(dāng)中場”,A3表示“乙球員擔(dān)當(dāng)后衛(wèi)”,A4表示“乙球員擔(dān)當(dāng)守門員”,B表示“球隊(duì)某場比賽輸球”. (1)P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)+P(A4)P(B|A4)=0.2×0.4+0.5×0.2+0.2×0.6+0.1×0.2=0.32. (2)由(1)知,P(B)=0.32, 所以P(A1|B)===0.25. (3)因?yàn)镻(A1|B)∶P(A2|B)∶P(A3|B)∶P(A4|B)=0.08∶0.1
8、0∶0.12∶0.02=4∶5∶6∶1, 所以多安排乙球員擔(dān)當(dāng)守門員,能夠贏球場次更多. 10.為了預(yù)防某種流感擴(kuò)散,某校醫(yī)務(wù)室采取積極的處理方式,對感染者進(jìn)行短暫隔離直到康復(fù).假設(shè)某班級(jí)已知6位同學(xué)中有1位同學(xué)被感染,需要通過化驗(yàn)血液來確定被感染的同學(xué),血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽性即被感染,呈陰性即未被感染.下面是兩種化驗(yàn)方案. 方案甲:逐個(gè)化驗(yàn),直到能確定被感染的同學(xué)為止. 方案乙:先任取3個(gè)同學(xué),將他們的血液混在一起化驗(yàn),若結(jié)果呈陽性則表明被感染同學(xué)為這3位中的1位,后再逐個(gè)化驗(yàn),直到能確定被感染的同學(xué)為止;若結(jié)果呈陰性,則在另外3位同學(xué)中逐個(gè)檢測. (1)求方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)等于方案乙
9、所需化驗(yàn)次數(shù)的概率; (2)η表示方案甲所需化驗(yàn)次數(shù),ξ表示方案乙所需化驗(yàn)次數(shù),假設(shè)每次化驗(yàn)的費(fèi)用都相同,請從經(jīng)濟(jì)角度考慮哪種化驗(yàn)的方案最佳. [解] 設(shè)Ai(i=1,2,3,4,5)表示方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)為i次;Bj(j=2,3)表示方案乙所需化驗(yàn)的次數(shù)為j次,方案甲與方案乙相互獨(dú)立. (1)P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(A4)=,P(A5)=, P(B2)=+=,P(B3)=1-P(B2)=, 用事件D表示方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)等于方案乙所需化驗(yàn)次數(shù), 則P(D)=P(A2B2+A3B3)=P(A2)P(B2)+P(A3)P(B3)=×+×=. (2)η的可能取值為1,
10、2,3,4,5.ξ的可能取值為2,3. 由(1)知P(η=1)=P(η=2)=P(η=3)=P(η=4)=,P(η=5)=, 所以E(η)=1×+2×+3×+4×+5×=,P(ξ=2)=P(B2)=,P(ξ=3)=P(B3)=,所以E(ξ)=2×+3×=. 因?yàn)镋(ξ)<E(η),所以從經(jīng)濟(jì)角度考慮方案乙最佳. 11.(2019·昆明模擬)為了解甲、乙兩種產(chǎn)品的質(zhì)量,從中分別隨機(jī)抽取了10件樣品,測量產(chǎn)品中某種元素的含量(單位:毫克),如圖所示是測量數(shù)據(jù)的莖葉圖.規(guī)定:當(dāng)產(chǎn)品中的此種元素的含量不小于18毫克時(shí),該產(chǎn)品為優(yōu)等品. (1)試用樣品數(shù)據(jù)估計(jì)甲、乙兩種產(chǎn)品的優(yōu)等品率;
11、(2)從乙產(chǎn)品抽取的10件樣品中隨機(jī)抽取3件,求抽到的3件樣品中優(yōu)等品數(shù)ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望E(ξ); (3)從甲產(chǎn)品抽取的10件樣品中有放回地隨機(jī)抽取3件,也從乙產(chǎn)品抽取的10件樣品中有放回地隨機(jī)抽取3件,抽到的優(yōu)等品中,記“甲產(chǎn)品恰比乙產(chǎn)品多2件”為事件C,求事件C的概率. [解](1)從甲產(chǎn)品抽取的10件樣品中優(yōu)等品有4件,優(yōu)等品率為=,從乙產(chǎn)品抽取的10件樣品中優(yōu)等品有5件,優(yōu)等品率為=. 故甲、乙兩種產(chǎn)品的優(yōu)等品率分別為,. (2)ξ的所有可能取值為0,1,2,3. P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,P(ξ=3)==. 所以ξ的分布列為 ξ 0
12、 1 2 3 P E(ξ)=0×+1×+2×+3×=. (3)抽到的優(yōu)等品中,甲產(chǎn)品恰比乙產(chǎn)品多2件包括兩種情況:“抽到的優(yōu)等品數(shù)甲產(chǎn)品2件且乙產(chǎn)品0件”,“抽到的優(yōu)等品數(shù)甲產(chǎn)品3件且乙產(chǎn)品1件”,分別記為事件A,B,P(A)=C×C×=, P(B)=C×C=, 故抽到的優(yōu)等品中甲產(chǎn)品恰比乙產(chǎn)品多2件的概率為P(C)=P(A)+P(B)=+=. 12.春節(jié)期間某商店出售某種海鮮禮盒,假設(shè)每天該禮盒的需求量在{11,12,…,30}范圍內(nèi)等可能取值,該禮盒的進(jìn)貨量也在{11,12,…,30}范圍內(nèi)取值(每天進(jìn)1次貨).商店每銷售1盒禮盒可獲利50元;若供大于求,
13、剩余的削價(jià)處理,每處理1盒禮盒虧損10元;若供不應(yīng)求,可從其他商店調(diào)撥,銷售1盒禮盒可獲利30元.設(shè)該禮盒每天的需求量為x盒,進(jìn)貨量為a盒,商店的日利潤為y元. (1)求商店的日利潤y關(guān)于需求量x的函數(shù)表達(dá)式; (2)試計(jì)算進(jìn)貨量a為多少時(shí),商店日利潤的期望值最大?并求出日利潤期望值的最大值. [解](1)由題意得商店的日利潤y關(guān)于需求量x的函數(shù)表達(dá)式為y= 化簡得y= (2)日利潤y的分布列為 y 60×11-10a 60×12-10a … 60×(a-1)-10a 30a+20a p … y 30(a+1)+20a … 30×29+20
14、a 30×30+20a p … 日利潤y的數(shù)學(xué)期望為 E(y)=·{(60×11-10a)+(60×12-10a)+…+[60×(a-1)-10a]}+·{(30a+20a)+[30(a+1)+20a]+…+(30×30+20a)} =+30×+20a(31-a) =-a2+a+, 結(jié)合二次函數(shù)的知識(shí), 當(dāng)a=24時(shí),日利潤y的數(shù)學(xué)期望最大,最大值為958.5元. 題號(hào) 內(nèi)容 押題依據(jù) 1 相互獨(dú)立事件的概率 依據(jù)概率知識(shí)對生產(chǎn)實(shí)際作出指導(dǎo),體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用的能力 2 期望、方差、決策性問題、條件概率、二項(xiàng)分布 高考熱點(diǎn),結(jié)合二項(xiàng)分布考查離散型隨
15、機(jī)變量的分布列、期望并對實(shí)際問題作出決策 【押題1】 三個(gè)元件T1,T2,T3正常工作的概率分別為,,,將T2,T3兩個(gè)元件并聯(lián)后再和T1串聯(lián)接入電路,如圖所示,則電路不發(fā)生故障的概率為________. [三個(gè)元件T1,T2,T3正常工作的概率分別為,,,將T2,T3兩個(gè)元件并聯(lián)后再和T1串聯(lián)接入電路,則電路不發(fā)生故障的概率為: p=×=.] 【押題2】 某企業(yè)打算處理一批產(chǎn)品,這些產(chǎn)品每箱100件,以箱為單位銷售.已知這批產(chǎn)品中每箱出現(xiàn)的廢品率只有兩種可能10%或者20%,兩種可能對應(yīng)的概率均為0.5.假設(shè)該產(chǎn)品正品每件市場價(jià)格為100元,廢品不值錢.現(xiàn)處理價(jià)格為每箱8 40
16、0元,遇到廢品不予更換.以一箱產(chǎn)品中正品的價(jià)格期望值作為決策依據(jù). (1)在不開箱檢驗(yàn)的情況下,判斷是否可以購買; (2)現(xiàn)允許開箱,有放回地隨機(jī)從一箱中抽取2件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn). ①若此箱出現(xiàn)的廢品率為20%,記抽到的廢品數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望; ②若已發(fā)現(xiàn)在抽取檢驗(yàn)的2件產(chǎn)品中,其中恰有一件是廢品,判斷是否可以購買. [解](1)在不開箱檢驗(yàn)的情況下,一箱產(chǎn)品中正品的價(jià)格期望值為: E(ξ)=100×(1-0.2)×100×0.5+100×(1-0.1)×100×0.5=8 500>8 400, ∴在不開箱檢驗(yàn)的情況下,可以購買. (2)①X的可能取值為0,1,2,
17、P(X=0)=C×0.20×0.82=0.64, P(X=1)=C×0.21×0.81=0.32, P(X=2)=C×0.80×0.22=0.04, ∴X的分布列為: X 0 1 2 P 0.64 0.32 0.04 E(X)=0×0.64+1×0.32+2×0.04=0.4. ②設(shè)事件A:發(fā)現(xiàn)在抽取檢驗(yàn)的2件產(chǎn)品中,其中恰有一件是廢品, 則P(A)=C×0.2×0.8×0.5+C×0.1×0.9×0.5=0.25, 一箱產(chǎn)品中,設(shè)正品的價(jià)格的期望值為η,則η=8 000,9 000, 事件B1:抽取的廢品率為20%的一箱,則P(η=8 000)=P(B1|A)===0.64, 事件B2:抽取的廢品率為10%的一箱,則P(η=9 000)=P(B2|A)===0.36, ∴E(η)=8 000×0.64+9 000×0.36=8 360<8 400, ∴已發(fā)現(xiàn)在抽取檢驗(yàn)的2件產(chǎn)品中,其中恰有一件是廢品,不可以購買. - 8 -
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