《2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 分層特訓(xùn)卷 主觀題專練 數(shù)列（3） 文》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 分層特訓(xùn)卷 主觀題專練 數(shù)列（3） 文（3頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、數(shù)列(3)
1．[2019·河北聯(lián)盟考試]已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a2＝6，前n項和為Sn，{bn}是等比數(shù)列，b2＝2，a1b3＝12，S3＋b1＝19.
(1)求{an}，{bn}的通項公式；
(2)求數(shù)列{bncos(anπ)}的前n項和Tn.
解析：(1)∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a2＝6，
∴S3＋b1＝3a2＋b1＝18＋b1＝19，∴b1＝1.
∵b2＝2，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，∴bn＝2n－1.
∴b3＝4，∵a1b3＝12，∴a1＝3，
∵a2＝6，數(shù)列{an}是等差數(shù)列，∴an＝3n.
(2)由(1)得，令Cn＝bncos(anπ)＝(－1)n2n－
2、1，
∴Cn＋1＝(－1)n＋12n，∴＝－2，又C1＝－1，
∴數(shù)列 {bncos(anπ)}是以－1為首項、－2為公比的等比數(shù)列，
∴Tn＝＝－[1－(－2)n]．
2．[2019·遼寧大連二十四中模擬]已知數(shù)列{an}的各項都是正數(shù)，n∈N*.
(1)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，且bn是an和an＋1的等比中項，設(shè)cn＝b－b，n∈N*，求證：數(shù)列{cn}是等差數(shù)列；
(2)若a＋a＋a＋…＋a＝S，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，求數(shù)列{an}的通項公式．
解析：(1)由題意得b＝anan＋1，
則cn＝b－b＝an＋1an＋2－anan＋1＝2dan＋1，
因此c
3、n＋1－cn＝2d(an＋2－an＋1)＝2d2，∴{cn}是等差數(shù)列．
(2)當(dāng)n＝1時，a＝a，∵a1>0，∴a1＝1.
當(dāng)n≥2時，a＋a＋a＋…＋a＝S， ①
a＋a＋a＋…＋a＝S， ②
①－②得，a＝S－S＝(Sn－Sn－1)(Sn＋Sn－1)．
∵an>0，∴a＝Sn＋Sn－1＝2Sn－an， ③
∵a1＝1合適上式，∴當(dāng)n≥2時，a＝2Sn－1－aa－1， ④
③－④得a－a＝2(Sn－Sn－1)－an＋aa－1＝2an－an＋an－1＝an＋an－1，
∵an＋an－1>0，∴an－an－1＝1，
∴數(shù)列{an}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，可得an＝n.
4、
3．[2019·云南昆明質(zhì)檢]已知數(shù)列{an}中，a1＝3，{an}的前n項和Sn滿足Sn＋1＝an＋n2(n∈N*)．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn＝(－1)n＋2an，求{bn}的前n項和Tn.
解析：(1)由Sn＋1＝an＋n2 ①，得Sn＋1＋1＝an＋1＋(n＋1)2 ②，
由②－①，得an＝2n＋1.當(dāng)a1＝3時滿足上式．
所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n＋1.
(2)由(1)得bn＝(－1)n＋22n＋1，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝[(－1)＋(－1)2＋…＋(－1)n]＋(23＋25＋…＋22n＋1)
＝＋＝＋
5、(4n－1)．
4．[2019·四川成都二診]已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，公比q>1，且a2＋1為a1，a3的等差中項，S3＝14.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)記bn＝an·log2an，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
解析：(1)由題意，得2(a2＋1)＝a1＋a3.又S3＝a1＋a2＋a3＝14，
∴2(a2＋1)＝14－a2，∴a2＝4，
∵S3＝＋4＋4q＝14，∴q＝2或q＝，
∵q>1，∴q＝2.
∴an＝a2qn－2＝4·2n－2＝2n.
(2)由(1)知an＝2n，∴bn＝an·log2an＝2n·n.
∴Tn＝1×21＋2×22＋3
6、×23＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n.
2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1.
∴－Tn＝2＋22＋23＋24＋…＋2n－n×2n＋1
＝－n×2n＋1＝(1－n)2n＋1－2.
∴Tn＝(n－1)2n＋1＋2.
5．[2019·遼寧沈陽聯(lián)考]若正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，點P(，Sn＋1)在曲線y＝(x＋1)2上．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設(shè)bn＝，Tn表示數(shù)列{bn}的前n項和，若Tn≥m－1對任意n∈N*恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
解析：(1)由已知可得Sn＋1＝(＋1)2，得－＝1，所以{}是以
7、為首項、1為公差的等差數(shù)列，所以＝＋(n－1)×1＝n，得Sn＝n2，當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝1；當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，當(dāng)n＝1時，也符合上式，故{an}的通項公式為an＝2n－1.
(2)bn＝＝＝－，所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝，顯然Tn是關(guān)于n的增函數(shù)，所以Tn有最小值(Tn)min＝T1＝，又Tn≥m－1對任意n∈N*恒成立，所以≥m－1恒成立，所以m≤4，故實數(shù)m的取值范圍為(－∞，4]．
6．[2019·山西河津二中月考]設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝1,3a2－a1＝1，且＝(n≥2，n∈N*)．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設(shè)數(shù)列b1＝，4bn＝an－1an(n≥2，n∈N*)，{bn}的前n項和為Tn，證明：Tn<1.
解析：(1)∵＝(n≥2)，
∴＝＋，又a1＝1,3a2－a1＝1，∴＝1，＝，
∴－＝，
∴是首項為1，公差為的等差數(shù)列，
∴＝1＋(n－1)＝(n＋1)，即an＝.
(2)∵4bn＝an－1an(n≥2)，∴bn＝＝－(n≥2)，又b1＝符合上式，∴bn＝－(n∈N*)，
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝1－<1.
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