《2020高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十二章 復(fù)數(shù)、算法、推理與證明 3 第3講 合情推理與演繹推理練習(xí) 理(含解析)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2020高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十二章 復(fù)數(shù)、算法、推理與證明 3 第3講 合情推理與演繹推理練習(xí) 理(含解析)(7頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第3講 合情推理與演繹推理
[基礎(chǔ)題組練]
1.觀察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,則a10+b10=( )
A.121 B.123
C.231 D.211
解析:選B.法一:令an=an+bn,則a1=1,a2=3,a3=4,a4=7,…,得an+2=an+an+1,從而a6=18,a7=29,a8=47,a9=76,a10=123.
法二:由a+b=1,a2+b2=3,得ab=-1,代入后三個等式中符合,則a10+b10=(a5+b5)2-2a5b5=123.
2.給出下面類比推理命題(
2、其中Q為有理數(shù)集,R為實數(shù)集,C為復(fù)數(shù)集):
①“若a,b∈R,則a-b=0?a=b”類比推出“若z1,z2∈C,則z1-z2=0?z1=z2”;
②“若a,b,c,d∈R,則復(fù)數(shù)a+bi=c+di?a=c,b=d”類比推出“若a,b,c,d∈Q,則a+b=c+d?a=c,b=d”;
③“若a,b∈R,則a-b>0?a>b”類比推出“若z1,z2∈C,則z1-z2>0?z1>z2”.
其中類比得到的結(jié)論正確的個數(shù)是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:選C.由復(fù)數(shù)的減法運(yùn)算可知①正確;因為a,b,c,d都是有理數(shù),是無理數(shù),所以②正確;
3、因為復(fù)數(shù)不能比較大小,所以③不正確.
3.(2019·廣西柳州模擬)給出以下數(shù)對序列:
(1,1)
(1,2)(2,1)
(1,3)(2,2)(3,1)
(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)
……
記第i行的第j個數(shù)對為aij,如a43=(3,2),則anm=( )
A.(m,n-m) B.(m-1,n-m)
C.(m-1,n-m+1) D.(m,n-m+1)
解析:選D.由前4行的特點(diǎn),歸納可得,若anm=(a,b),則a=m,b=n-m+1,所以anm=(m,n-m+1).故選D.
4.(2019·福建莆田質(zhì)量檢測)“干支紀(jì)年法”是中國歷法上自古以來就一
4、直使用的紀(jì)年方法,干支是天干和地支的總稱.把干支順序相配正好六十為一周,周而復(fù)始,循環(huán)記錄,這就是俗稱的“干支表”.甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸這十個符號叫天干;子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥這十二個符號叫地支.如公元1984年農(nóng)歷為甲子年,公元1985年農(nóng)歷為乙丑年,公元1986年農(nóng)歷為丙寅年,則公元2047年農(nóng)歷為( )
A.乙丑年 B.丙寅年
C.丁卯年 D.戊辰年
解析:選C.記公元1984年為第一年,則公元2047年為第64年,即天干循環(huán)了六次,第四個為“丁”.地支循環(huán)了五次,第四個為“卯”,所以公元2047年農(nóng)歷為丁卯年,故選C.
5.如
5、圖所示,橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn),F(xiàn)為左焦點(diǎn),當(dāng)⊥時,其離心率為,此類橢圓被稱為“黃金橢圓”.類比“黃金橢圓”,可推算出“黃金雙曲線”的離心率e等于 ( )
A. B.
C.-1 D.+1
解析:選A.設(shè)“黃金雙曲線”的方程為-=1(a>0,b>0),
則B(0,b),F(xiàn)(-c,0),A(a,0).
在“黃金雙曲線”中,因為⊥,
所以·=0.
又=(c,b),=(-a,b),
所以b2=ac.而b2=c2-a2,所以c2-a2=ac.
在等號兩邊同除以a2,得e2-1=e,
解得e=.
6.觀察下列式子:<2,+<,++<8,+++<,…,根據(jù)以上規(guī)律,第n(n
6、∈N*)個不等式是____________________.
解析:根據(jù)所給不等式可得第n個不等式是++…+<.
答案:++…+<
7.祖暅?zhǔn)俏覈媳背瘯r代的數(shù)學(xué)家,是祖沖之的兒子.他提出了一條原理:“冪勢既同,則積不容異.”這里的“冪”指水平截面的面積,“勢”指高.這句話的意思是:兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等,則這兩個幾何體體積相等.設(shè)由橢圓+=1(a>b>0)所圍成的平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周后,得一橄欖狀的幾何體(稱為橢球體)(如圖),課本中介紹了應(yīng)用祖暅原理求球體體積公式的方法,請類比此法,求出橢球體體積,其體積等于______________.
解析:橢圓的
7、長半軸長為a,短半軸長為b,現(xiàn)構(gòu)造兩個底面半徑為b,高為a的圓柱,然后在圓柱內(nèi)挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn),圓柱上底面為底面的圓錐,根據(jù)祖暅原理得出橢球體的體積V=2(V圓柱-V圓錐)=2(πb2a-πb2a)=πb2a.
答案:πb2a
8.設(shè)f(x)=,先分別求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3),然后歸納猜想一般性結(jié)論,并給出證明.
解:f(0)+f(1)=+
=+=+=,
同理可得:f(-1)+f(2)=,f(-2)+f(3)=,
并注意到在這三個特殊式子中,自變量之和均等于1.
歸納猜想得:當(dāng)x1+x2=1時,均有f(x1)+f(x2)=.
8、
證明:設(shè)x1+x2=1,
f(x1)+f(x2)=+
==
===.
9.給出下面的數(shù)表序列:
表1 表2 表3
1 1 3 1 3 5
4 4 8 …
12
其中表n(n=1,2,3,…)有n行,第1行的n個數(shù)是1,3,5,…,2n-1,從第2行起,每行中的每個數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和.寫出表4,驗證表4各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成等比數(shù)列,并將結(jié)論推廣到表n(n≥3)(不要求證明).
解:表4為1 3 5 7
4 8 12
12 20
9、 32
它的第1,2,3,4行中的數(shù)的平均數(shù)分別是4,8,16,32,它們構(gòu)成首項為4,公比為2的等比數(shù)列.
將這一結(jié)論推廣到表n(n≥3),即表n(n≥3)各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項為n,公比為2的等比數(shù)列.
[綜合題組練]
1.(應(yīng)用型)學(xué)生的語文、數(shù)學(xué)成績均被評定為三個等級,依次為“優(yōu)秀”“合格”“不合格”.若學(xué)生甲的語文、數(shù)學(xué)成績都不低于學(xué)生乙,且其中至少有一門成績高于乙,則稱“學(xué)生甲比學(xué)生乙成績好”.如果一組學(xué)生中沒有哪位學(xué)生比另一位學(xué)生成績好,并且不存在語文成績相同、數(shù)學(xué)成績也相同的兩位學(xué)生,那么這組學(xué)生最多有( )
A.2人
10、 B.3人
C.4人 D.5人
解析:選B.利用推理以及邏輯知識求解.首先要證,沒有任意兩個同學(xué)的數(shù)學(xué)成績是相同的.假設(shè)A,B兩名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績一樣,由題知他們的語文成績不一樣,這樣他們的語文成績總有一個人比另一個人高,相應(yīng)地由題可知,語文成績較高的同學(xué)比另一個同學(xué)“成績好”,與已知條件“他們之中沒有一個比另一個成績好”相矛盾.因此,沒有任意兩個同學(xué)的數(shù)學(xué)成績是相同的.因為數(shù)學(xué)成績等級只有3種,因而同學(xué)數(shù)量最大為3.之后要驗證3名同學(xué)能否滿足條件.易證3名同學(xué)的成績等級分別為(優(yōu)秀,不合格)、(合格,合格)、(不合格,優(yōu)秀)時滿足條件,因此滿足條件的人數(shù)最多是3.
2.(20
11、19·安徽“江淮十校”聯(lián)考)我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中割圓術(shù)有:“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣.”其體現(xiàn)的是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程,比如在 中“…”即代表無限次重復(fù),但原式卻是個定值x,這可以通過方程=x確定x=2,則1+=( )
A. B.
C. D.
解析:選C.1+=x,即1+=x,即x2-x-1=0,解得x1=,x2=,故1+=,故選C.
3.(2019·遼寧沈陽模擬)“楊輝三角”又稱“賈憲三角”,是因為賈憲約在公元1050年首先使用“賈憲三角”進(jìn)行高次開方運(yùn)算,而楊輝在公元1261年所著的《詳解九章算法》一書中,輯錄了賈憲
12、三角形數(shù)表,并稱之為“開方作法本源”圖.下列數(shù)表的構(gòu)造思路就源于“楊輝三角”.該表由若干行數(shù)字組成,從第二行起,每一行中的數(shù)字均等于其“肩上”兩數(shù)之和,表中最后一行僅有一個數(shù),則這個數(shù)是( )
A.2 017×22 016 B.2 018×22 015
C.2 017×22 015 D.2 018×22 016
解析:選B.從給出的數(shù)表可以看出,該數(shù)表每行的數(shù)都構(gòu)成等差數(shù)列,其中第一行從右到左是公差為1的等差數(shù)列,第二行從右到左的公差為2,第三行從右到左的公差為4,……,第n行從右到左的公差為2n-1,而從右向左看,每行的第一個數(shù)分別為1=2×2-1,3=3×20,8=4×
13、21,20=5×22,48=6×23,……,所以第n行的第一個數(shù)為(n+1)×2n-2.顯然第2 017行只有一個數(shù),為(2 017+1)×22 017-2=2 018×22 015.故選B.
4.(應(yīng)用型)(2019·吉林長春質(zhì)監(jiān))有甲、乙二人去看望高中數(shù)學(xué)老師張老師,期間他們做了一個游戲,張老師的生日是m月n日,張老師把m告訴了甲,把n告訴了乙,然后張老師列出來如下10個日期供選擇:2月5日,2月7日,2月9日,5月5日,5月8日,8月4日,8月7日,9月4日,9月6日,9月9日.看完日期后,甲說:“我不知道,但你一定也不知道.”乙聽了甲的話后,說:“本來我不知道,但現(xiàn)在我知道了.”甲接
14、著說:“哦,現(xiàn)在我也知道了.”請問,張老師的生日是________.
解析:根據(jù)甲說的“我不知道,但你一定也不知道”,可排除5月5日,5月8日,9月4日,9月6日,9月9日;根據(jù)乙聽了甲的話后說的“本來我不知道,但現(xiàn)在我知道了”,可排除2月7日、8月7日;根據(jù)甲接著說的“哦,現(xiàn)在我也知道了”,可以得知張老師的生日為8月4日.
答案:8月4日
5.已知O是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn),連接AO,BO,CO并延長,分別交對邊于A′,B′,C′,則++=1,這是一道平面幾何題,其證明常采用“面積法”:
++=++==1.
請運(yùn)用類比思想猜想,對于空間中的四面體V-BCD,存在什么類似的結(jié)論,并用“體
15、積法”證明.
解:結(jié)論:在四面體V-BCD中,任取一點(diǎn)O,連接VO,DO,BO,CO并延長,分別交四個面于E,F(xiàn),G,H點(diǎn).
則+++=1.
證明如下:在四面體O-BCD與V-BCD中,設(shè)其高分別為h1,h,
則===.
同理,=;=;=,
所以+++=
==1.
6.我們將具有下列性質(zhì)的所有函數(shù)組成集合M:函數(shù)y=f(x)(x∈D),對任意x,y,∈D均滿足f≥[f(x)+f(y)],當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)時等號成立.
(1)若定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)∈M,試比較f(3)+f(5)與2f(4)的大??;
(2)設(shè)函數(shù)g(x)=-x2,求證:g(x)∈M.
解:(1)對于f≥[f(x)+f(y)],
令x=3,y=5得f(3)+f(5)≤2f(4).
(2)證明:g-[g(x1)+g(x2)]
=-+=≥0,
當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時取等號,
所以g≥[g(x1)+g(x2)],
所以g(x)∈M.
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