2020高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第六章 不等式、推理與證明 課時(shí)作業(yè)40 理（含解析）新人教A版

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1、課時(shí)作業(yè)40　數(shù)學(xué)歸納法 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋3＋…＋n2＝，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上加上(　D　) A．k2＋1 B．(k＋1)2 C. D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2 解析：觀察可知，等式的左端是n2個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，當(dāng)n＝k時(shí)為1＋2＋3＋…＋k2，當(dāng)n＝k＋1時(shí)為1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2. 2．如果命題P(n)(n∈N*)對(duì)n＝k(k∈N*)成立，則它對(duì)n＝k＋1也成立，現(xiàn)已知P(n)對(duì)n＝4不成立，則下列結(jié)論中正確的是(　D　) A．P(n)對(duì)任意n∈N*成立 B．P(n)對(duì)n＞4

2、成立 C．P(n)對(duì)n＜4成立 D．P(n)對(duì)n≤4不成立 解析：由題意可知P(n)對(duì)n＝3不成立(否則n＝4也成立)，同理可推得P(n)對(duì)n＝2，n＝1也不成立，故選D. 3．(2019·岳陽(yáng)模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1＋＋＋…＋＞(n∈N*)成立，其初始值至少應(yīng)取(　B　) A．7 B．8 C．9 D．10 解析：左邊求和可得1＋＋＋…＋＝＝2－， 右邊＝＝2－，故2－＞2－， 即＜＝，所以2n－1＞26，解得n＞7. 所以初始值至少應(yīng)取8. 4．用數(shù)學(xué)歸納法證明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，利用歸納法假設(shè)證明n＝k＋1時(shí)，只需展開(kāi)

3、(　A　) A．(k＋3)3 B．(k＋2)3 C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3 解析：假設(shè)n＝k時(shí)，原式k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3為了能用上面的歸納假設(shè)，只需將(k＋3)3展開(kāi)，讓其出現(xiàn)k3即可． 5．設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：“當(dāng)f(k)≥k2成立時(shí)，總可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命題總成立的是(　D　) A．若f(1)＜1成立，則f(10)＜100成立 B．若f(2)＜4成立，則f(1)≥1成立 C．若f(3)≥9成立，則當(dāng)k≥1時(shí)，

4、均有f(k)≥k2成立 D．若f(4)≥16成立，則當(dāng)k≥4時(shí)，均有f(k)≥k2成立 解析：由條件可知不等式的性質(zhì)只對(duì)大于或等于號(hào)成立，所以A錯(cuò)誤；若f(1)≥1成立，則得到f(2)≥4，與f(2)＜4矛盾，所以B錯(cuò)誤；當(dāng)f(3)≥9成立，無(wú)法推導(dǎo)出f(1)，f(2)，所以C錯(cuò)誤；若f(4)≥16成立，則當(dāng)k≥4時(shí)，均有f(k)≥k2成立，正確． 6．(2019·九江模擬)已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，經(jīng)計(jì)算得f(4)＞2，f(8)＞，f(16)＞3，f(32)＞，則其一般結(jié)論為　f(2n)＞(n≥2，n∈N*)　. 解析：觀察規(guī)律可知f(22)＞，f(23)＞，f(24)

5、＞，f(25)＞，…，故得一般結(jié)論為f(2n)＞(n≥2，n∈N*)． 7．設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n≥3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過(guò)同一點(diǎn)．若用f(n)表示這n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則f(4)＝　5??；當(dāng)n＞4時(shí)，f(n)＝　(n＋1)(n－2)　(用n表示)． 解析：由題意知f(3)＝2，f(4)＝5，f(5)＝9，可以歸納出每增加一條直線，交點(diǎn)增加的個(gè)數(shù)為原有直線的條數(shù)， 所以f(4)－f(3)＝3，f(5)－f(4)＝4， 猜測(cè)得出f(n)－f(n－1)＝n－1(n≥4)． 有f(n)－f(3)＝3＋4＋…＋(n－1)， 所以f(n)＝(n＋1)(n－2)．

6、 8．已知f(m)＝1＋＋＋…＋(m∈N*)，用數(shù)學(xué)歸納法證明f(2n)＞時(shí)，f(2k＋1)－f(2k)＝?。? 解析：當(dāng)n＝k時(shí)，f(2k)＝1＋＋＋…＋， 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，f(2k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋…＋， 所以f(2k＋1)－f(2k)＝1＋＋＋…＋＋＋…＋－＝＋＋…＋. 9．用數(shù)學(xué)歸納法證明： ＋＋＋…＋＝(n∈N*)． 證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)， 等式左邊＝＝， 等式右邊＝＝， 等式左邊＝等式右邊，所以等式成立． (2)假設(shè)n＝k(k∈N*且k≥1)時(shí)等式成立，即有＋＋＋…＋＝， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，＋＋＋…＋＋ ＝＋ ＝ ＝＝ ＝. 所以當(dāng)n

7、＝k＋1時(shí)，等式也成立， 由(1)(2)可知，對(duì)于一切n∈N*，等式都成立． 10．已知f(n)＝1＋＋＋＋…＋，g(n)＝－，n∈N*. (1)當(dāng)n＝1,2,3時(shí)，試比較f(n)與g(n)的大小； (2)猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系，并給出證明． 解：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，f(1)＝1，g(1)＝1， 所以f(1)＝g(1)； 當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝，g(2)＝， 所以f(2)＜g(2)； 當(dāng)n＝3時(shí)，f(3)＝，g(3)＝， 所以f(3)＜g(3)． (2)由(1)猜想f(n)≤g(n)，下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明． ①當(dāng)n＝1,2,3時(shí)，不等式顯然成立， ②假設(shè)當(dāng)

8、n＝k(k≥3，k∈N*)時(shí)不等式成立， 即1＋＋＋＋…＋＜－. 那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)， f(k＋1)＝f(k)＋＜－＋. 因?yàn)閒(k＋1)－g(k＋1)＜－＋－＝－＝－＝＜0， 所以f(k＋1)＜g(k＋1)． 由①②可知，對(duì)一切n∈N*，都有f(n)≤g(n)成立． 11．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn＝＋－1且an＞0，n∈N*. (1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通項(xiàng)公式； (2)證明通項(xiàng)公式的正確性． 解：(1)當(dāng)n＝1時(shí)， 由已知得a1＝＋－1，a＋2a1－2＝0. 所以a1＝－1(a1＞0)． 當(dāng)n＝2時(shí)，由已知得a1＋a2＝＋－1，

9、將a1＝－1代入并整理得 a＋2a2－2＝0. 所以a2＝－(a2＞0)． 同理可得a3＝－. 猜想an＝－(n∈N*)． (2)證明：①由(1)知，當(dāng)n＝1,2,3時(shí)，通項(xiàng)公式成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥3，k∈N*)時(shí)，通項(xiàng)公式成立，即ak＝－. 由ak＋1＝Sk＋1－Sk＝＋－－， 將ak＝－代入上式并整理， 得a＋2ak＋1－2＝0. 解得ak＋1＝－(負(fù)值舍去)． 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，通項(xiàng)公式也成立． 由①和②，可知對(duì)所有n∈N*，an＝－都成立． 12．已知函數(shù)f(x)＝alnx＋(a∈R)． (1)當(dāng)a＝1時(shí)，求f(x)在[1，＋∞)上的最小值．

10、(2)求證：ln(n＋1)＞＋＋＋…＋. 解：(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝lnx＋，定義域?yàn)?0，＋∞)． 因?yàn)閒′(x)＝－＝＞0， 所以f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)， 所以f(x)在x∈[1，＋∞)內(nèi)的最小值為f(1)＝1. (2)證明：當(dāng)n＝1時(shí)，ln(n＋1)＝ln2， 因?yàn)?ln2＝ln8＞1， 所以ln2＞，即當(dāng)n＝1時(shí)，不等式成立． 假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)， ln(k＋1)＞＋＋＋…＋成立． 那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ln(k＋2)＝ln(k＋1)＋ln＞＋＋…＋＋ln. 根據(jù)(1)的結(jié)論可知，當(dāng)x＞1時(shí)，lnx＋＞1， 即lnx＞. 令x＝

11、，所以ln＞， 則有l(wèi)n(k＋2)＞＋＋…＋＋， 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式也成立． 綜上可知不等式成立． 13．設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)． (1)令g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N*，求gn(x)的表達(dá)式； (2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解：由題設(shè)得，g(x)＝(x≥0)． (1)由已知，g1(x)＝， g2(x)＝g(g1(x))＝＝， g3(x)＝，…，可猜想gn(x)＝. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明． ①當(dāng)n＝1時(shí)，g1(x)＝，結(jié)論成立．

12、 ②假設(shè)n＝k時(shí)結(jié)論成立， 即gk(x)＝. 那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)， gk＋1(x)＝g(gk(x))＝＝＝， 即結(jié)論成立． 由①②可知，結(jié)論對(duì)n∈N＋成立． (2)已知f(x)≥ag(x)恒成立， 即ln(1＋x)≥恒成立． 設(shè)φ(x)＝ln(1＋x)－(x≥0)， 則φ′(x)＝－＝， 當(dāng)a≤1時(shí)，φ′(x)≥0(僅當(dāng)x＝0，a＝1時(shí)等號(hào)成立)， ∴φ(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增． 又φ(0)＝0， ∴φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立， ∴a≤1時(shí)，ln(1＋x)≥恒成立(僅當(dāng)x＝0時(shí)等號(hào)成立)． 當(dāng)a>1時(shí)，對(duì)x∈(0，a－1]有φ′(x)≤0， ∴φ(x)在(0，a－1]上單調(diào)遞減， ∴φ(a－1)<φ(0)＝0， 即a>1時(shí)，存在x>0，使φ(x)<0， ∴l(xiāng)n(1＋x)≥不恒成立． 綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，1]． 7