8、州省適應(yīng)性考試)已知函數(shù)f(x)=,函數(shù)g(x)=f(2-x)-b,其中b∈R.若函數(shù)y=f(x)+g(x)恰有4個零點,則b的取值范圍是( )
A.(7,8) B.(8,+∞)
C.(-7,0) D.(-∞,8)
解析:選A.由已知可得f(x)==將f(x)+g(x)=0轉(zhuǎn)化為f(x)+f(2-x)=b,令函數(shù)F(x)=f(x)+f(2-x),則F(x)=,作出函數(shù)F(x)的圖象,如圖,要使F(x)的圖象與直線y=b有四個交點,則有
9、,令|x2+2x-1|=0,解得x=-1-(x=-1+舍去),所以函數(shù)f(x)在(-∞,0]上有一個零點,因此f(x)在(0,+∞)上有一個零點.又因為y=2x-1+a在x∈(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以只需2-1+a<0,解得a<-.
答案:
4.函數(shù)f(x)=+2cos πx(-4≤x≤6)的所有零點之和為________.
解析:原問題可轉(zhuǎn)化為求y=與y=-2cos πx的圖象在[-4,6]內(nèi)的交點的橫坐標的和,因為上述兩個函數(shù)圖象均關(guān)于x=1對稱,所以x=1兩側(cè)的交點關(guān)于x=1對稱,那么兩對應(yīng)交點的橫坐標的和為2,分別畫出兩個函數(shù)在[-4,6]上的圖象(圖略),可知在x=1兩側(cè)分別
10、有5個交點,所以所求和為5×2=10.
答案:10
5.已知函數(shù)f(x)=-x2-2x,
g(x)=
(1)求g[f(1)]的值;
(2)若方程g[f(x)]-a=0有4個實數(shù)根,求實數(shù)a的取值范圍.
解:(1)利用解析式直接求解得g[f(1)]=g(-3)=-3+1=-2.
(2)令f(x)=t,則原方程化為g(t)=a,易知方程f(x)=t在t∈(-∞,1)內(nèi)有2個不同的解,
則原方程有4個解等價于函數(shù)y=g(t)(t<1)與y=a的圖象有2個不同的交點,作出函數(shù)y=g(t)(t<1)的圖象(圖略),由圖象可知,當1≤a<時,函數(shù)y=g(t)(t<1)與y=a有2個不同的交
11、點,即所求a的取值范圍是.
6.已知二次函數(shù)f(x)的最小值為-4,且關(guān)于x的不等式f(x)≤0的解集為{x|-1≤x≤3,x∈R}.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)求函數(shù)g(x)=-4ln x的零點個數(shù).
解:(1)因為f(x)是二次函數(shù),且關(guān)于x的不等式f(x)≤0的解集為{x|-1≤x≤3,x∈R},
所以f(x)=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a,且a>0.
所以f(x)min=f(1)=-4a=-4,a=1.
故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=x2-2x-3.
(2)因為g(x)=-4ln x=x--4ln x-2(x>0),
所以g′(x)=1+-=.
令g′(x)=0,得x1=1,x2=3.
當x變化時,g′(x),g(x)的取值變化情況如下:
x
(0,1)
1
(1,3)
3
(3,+∞)
g′(x)
+
0
-
0
+
g(x)
極大值
極小值
當0