2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時(shí)集訓(xùn)19 利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點(diǎn)問題 文 北師大版

課后限時(shí)集訓(xùn)19利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點(diǎn)問題建議用時(shí)：45分鐘1(2019·全國卷)已知函數(shù)f(x)(x1)ln xx1.證明：(1)f(x)存在唯一的極值點(diǎn)；(2)f(x)0有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù)解(1)證明：f(x)的定義域?yàn)?0，)f(x)ln x1ln x.因?yàn)閥ln x在(0，)上單調(diào)遞增，y在(0，)上單調(diào)遞減，所以f(x)在(0，)上單調(diào)遞增又f(1)10，f(2)ln 20，故存在唯一x0(1,2)，使得f(x0)0.又當(dāng)x<x0時(shí)，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x>x0時(shí)，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，因此，f(x)存在唯一的極值點(diǎn)(2)證明：由(1)知f(x0)<f(1)2，又f(e2)e23>0，所以，f(x)0在(x0，)內(nèi)存在唯一根x.由>x0>1得1x0.又fln 10，故是f(x)0在(0，x0)的唯一根綜上，f(x)0有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù)2已知函數(shù)f(x)x3x2axb.(1)當(dāng)a1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)的圖像與直線yax恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的值解(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)x3x2xb，則f(x)3x22x1，由f(x)0，得x1或x，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，1)和.(2)函數(shù)f(x)的圖像與直線yax恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，等價(jià)于f(x)ax0有兩個(gè)不等的實(shí)根令g(x)f(x)axx3x2b，則g(x)3x22x.由g(x)0，得x或x0；由g(x)0，得x0.所以函數(shù)g(x)在和(0，)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減所以當(dāng)x時(shí)，函數(shù)g(x)取得極大值gb；當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)g(x)取得極小值為g(0)b.要滿足題意，則需gb0或g(0)b0，所以b或b0.3(2019·武漢調(diào)研)已知函數(shù)f(x)exax1(aR)(e2.718 28是自然對數(shù)的底數(shù))(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)討論g(x)f(x)·在區(qū)間0,1上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)解(1)f(x)exax1，f(x)exa，當(dāng)a0時(shí)，f(x)0恒成立，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，)，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)a0時(shí)，令f(x)0，得xln a，令f(x)0，得xln a，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(，ln a)，單調(diào)遞增區(qū)間為(ln a，)(2)令g(x)0，得f(x)0或x，先考慮f(x)在區(qū)間0,1上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，當(dāng)a1時(shí)，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增且f(0)0，f(x)在0,1上有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)ae時(shí)，f(x)在(，1)上單調(diào)遞減，f(x)在0,1上有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)1ae時(shí)，f(x)在(0，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a,1)上單調(diào)遞增而f(1)ea1，當(dāng)ea10，即1ae1時(shí)，f(x)在0,1上有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)ea10，即e1ae時(shí)，f(x)在0,1上有一個(gè)零點(diǎn)再考慮x時(shí)，由f0，得a2(1)綜上所述，當(dāng)a1或ae1或a2(1)時(shí)，g(x)在0,1上有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)1ae1且a2(1)時(shí)，g(x)在0,1上有三個(gè)零點(diǎn).- 3 -