2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時(shí)集訓(xùn)19 利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題 文 北師大版

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1、課后限時(shí)集訓(xùn)19 利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題 建議用時(shí)：45分鐘 1．(2019·全國(guó)卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝(x－1)ln x－x－1.證明： (1)f(x)存在唯一的極值點(diǎn)； (2)f(x)＝0有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù)． [解](1)證明：f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)． f′(x)＝＋ln x－1＝ln x－. 因?yàn)閥＝ln x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，y＝在(0，＋∞)上單調(diào)遞減， 所以f′(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增． 又f′(1)＝－1＜0，f′(2)＝ln 2－＝＞0， 故存在唯一x0∈(1,2)，使得f′(x0)＝0. 又當(dāng)x

2、(x)<0，f(x)單調(diào)遞減， 當(dāng)x>x0時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增， 因此，f(x)存在唯一的極值點(diǎn)． (2)證明：由(1)知f(x0)0， 所以，f(x)＝0在(x0，＋∞)內(nèi)存在唯一根x＝α. 由α>x0>1得＜1＜x0. 又f＝ln －－1＝＝0， 故是f(x)＝0在(0，x0)的唯一根． 綜上，f(x)＝0有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù)． 2．已知函數(shù)f(x)＝x3＋x2＋ax＋b. (1)當(dāng)a＝－1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間； (2)若函數(shù)f(x)的圖像與直線y＝ax恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的

3、值． [解](1)當(dāng)a＝－1時(shí)，f(x)＝x3＋x2－x＋b， 則f′(x)＝3x2＋2x－1， 由f′(x)＞0，得x＜－1或x＞，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1)和. (2)函數(shù)f(x)的圖像與直線y＝ax恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，等價(jià)于f(x)－ax＝0有兩個(gè)不等的實(shí)根． 令g(x)＝f(x)－ax＝x3＋x2＋b，則g′(x)＝3x2＋2x. 由g′(x)＞0，得x＜－或x＞0； 由g′(x)＜0，得－＜x＜0. 所以函數(shù)g(x)在和(0，＋∞)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減． 所以當(dāng)x＝－時(shí)，函數(shù)g(x)取得極大值g＝＋b；當(dāng)x＝0時(shí)，函數(shù)g(x)取得極小值為g(

4、0)＝b. 要滿足題意，則需g＝＋b＝0或g(0)＝b＝0，所以b＝－或b＝0. 3．(2019·武漢調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝ex－ax－1(a∈R)(e＝2.718 28…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))． (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)討論g(x)＝f(x)·在區(qū)間[0,1]上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)． [解](1)∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a， 當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)＞0恒成立， ∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞)，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間； 當(dāng)a＞0時(shí)，令f′(x)＜0，得x＜ln a，令f′(x)＞0，得x＞ln a， ∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，ln a)，單調(diào)

5、遞增區(qū)間為(ln a，＋∞)． (2)令g(x)＝0，得f(x)＝0或x＝， 先考慮f(x)在區(qū)間[0,1]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)， ①當(dāng)a≤1時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增且f(0)＝0， ∴f(x)在[0,1]上有一個(gè)零點(diǎn)． ②當(dāng)a≥e時(shí)，f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞減， ∴f(x)在[0,1]上有一個(gè)零點(diǎn)． ③當(dāng)1＜a＜e時(shí)，f(x)在(0，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a,1)上單調(diào)遞增． 而f(1)＝e－a－1，當(dāng)e－a－1≥0，即1＜a≤e－1時(shí)，f(x)在[0,1]上有兩個(gè)零點(diǎn)； 當(dāng)e－a－1＜0，即e－1＜a＜e時(shí)，f(x)在[0,1]上有一個(gè)零點(diǎn)． 再考慮x＝時(shí)，由f＝0，得a＝2(－1)． 綜上所述，當(dāng)a≤1或a＞e－1或a＝2(－1)時(shí)，g(x)在[0,1]上有兩個(gè)零點(diǎn)； 當(dāng)1＜a≤e－1且a≠2(－1)時(shí)，g(x)在[0,1]上有三個(gè)零點(diǎn). - 3 -