2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時集訓(xùn)18 利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒(能)成立問題 文 北師大版
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2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時集訓(xùn)18 利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒(能)成立問題 文 北師大版
課后限時集訓(xùn)18利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒(能)成立問題建議用時:45分鐘1(2019·西安質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)ln x,g(x)x1.(1)求函數(shù)yf(x)的圖像在x1處的切線方程;(2)若不等式f(x)ag(x)對任意的x(1,)均成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)f(x),f(1)1.又f(1)0,所求切線的方程為yf(1)f(1)(x1),即為xy10.(2)易知對任意的x(1,),f(x)0,g(x)0.當(dāng)a1時,f(x)g(x)ag(x);當(dāng)a0時,f(x)0,ag(x)0,不滿足不等式f(x)ag(x);當(dāng)0a1時,設(shè)(x)f(x)ag(x)ln xa(x1),則(x)a(x1),令(x)0,得x,當(dāng)x變化時,(x),(x)的變化情況如下表:x1,(x)0(x)極大值(x)max(1)0,不滿足不等式,f(x)ag(x)綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍為1,)2已知函數(shù)f(x)(aR)(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若任意x1,),不等式f(x)1恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)f(x),當(dāng)a時,x22x2a0,f(x)0,函數(shù)f(x)在(,)上單調(diào)遞增當(dāng)a時,令x22x2a0,解得x11,x21.函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(,1)和(1,),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,1)(2)f(x)112ax2ex,由條件知,2ax2ex對任意x1恒成立令g(x)x2ex,h(x)g(x)2xex,h(x)2ex.當(dāng)x1,)時,h(x)2ex2e0,h(x)g(x)2xex在1,)上單調(diào)遞減,h(x)2xex2e0,即g(x)0,g(x)x2ex在1,)上單調(diào)遞減,g(x)x2exg(1)1e,故若f(x)1在1, )上恒成立,則需2ag(x)max1e.a,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.3設(shè)f(x)xln x,g(x)x3x23.(1)如果存在x1,x20,2使得g(x1)g(x2)M成立,求滿足上述條件的最大整數(shù)M;(2)如果對于任意的s,t,都有f(s)g(t)成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)存在x1,x20,2使得g(x1)g(x2)M成立,等價于g(x1)g(x2)maxM.由g(x)x3x23,得g(x)3x22x3x.令g(x)0得x0或x,令g(x)0得0x,又x0,2,所以g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以g(x)ming,又g(0)3,g(2)1,所以g(x)maxg(2)1.故g(x1)g(x2)maxg(x)maxg(x)minM,則滿足條件的最大整數(shù)M4.(2)對于任意的s,t,都有f(s)g(t)成立,等價于在區(qū)間上,函數(shù)f(x)ming(x)max,由(1)可知在區(qū)間上,g(x)的最大值為g(2)1.在區(qū)間上,f(x)xln x1恒成立等價于axx2ln x恒成立設(shè)h(x)xx2ln x,h(x)12xln xx,令m(x)xln x,由m(x)ln x10得x.即m(x)xln x在上是增函數(shù),可知h(x)在區(qū)間上是減函數(shù),又h(1)0,所以當(dāng)1x2時,h(x)0;當(dāng)x1時,h(x)0.即函數(shù)h(x)xx2ln x在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減,所以h(x)maxh(1)1,所以a1,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是1,)- 3 -