2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時(shí)集訓(xùn)35 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和 理 北師大版

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1、課后限時(shí)集訓(xùn)35 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和 建議用時(shí)：45分鐘 一、選擇題 1．等比數(shù)列x,3x＋3,6x＋6，…的第四項(xiàng)等于(　　) A．－24　　 B．0　 　　 C．12　　 　 D．24 A　[由x,3x＋3,6x＋6成等比數(shù)列，知(3x＋3)2＝x·(6x＋6)，解得x＝－3或x＝－1(舍去)．所以此等比數(shù)列的前三項(xiàng)為－3，－6，－12.故第四項(xiàng)為－24，選A.] 2．(2019·日照一模)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＋a3＝，且a2＋a4＝，則＝(　　) A．4n－1 B．4n－1 C．2n－1 D．2n－1 D　[設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，

2、則， 解得 ∴＝＝＝2n－1.故選D.] 3．(2019·湖南湘東五校聯(lián)考)已知在等比數(shù)列{an}中，a3＝7，前三項(xiàng)之和S3＝21，則公比q的值是(　　) A．1 B．－ C．1或－ D．－1或 C　[當(dāng)q＝1時(shí)，a3＝7，S3＝21，符合題意；當(dāng)q≠1時(shí)，得q＝－.綜上，q的值是1或－，故選C.] 4．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝32n－1＋r，則r的值為(　　) A. B．－ C. D．－ B　[當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3＋r， 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝32n－1－32n－3 ＝32n－3(32－1)＝8·32n－3＝8·32n－2·3－1＝·9n

3、－1， 所以3＋r＝， 即r＝－，故選B.] 5．(2019·鄂爾多斯模擬)中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)綜》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還”．其大意為：“有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地”．則該人第五天走的路程為(　　) A．6里 B．12里 C．24里 D．48里 B　[記每天走的路程里數(shù)為{an}，由題意知{an}是公比為的等比數(shù)列，由S6＝378，得S6＝＝378，解得a1＝192，∴a5＝192×＝12(里)．故選B.] 二、

4、填空題 6．已知1，a1，a2,4成等差數(shù)列，1，b1，b2，b3,4成等比數(shù)列，則的值________． 　[由題意得a1＋a2＝5，b＝4，又b2與第一項(xiàng)的符號(hào)相同，所以b2＝2.所以＝.] 7．在14與之間插入n個(gè)數(shù)組成等比數(shù)列，若各項(xiàng)之和為，則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為________． 5　[設(shè)此等比數(shù)列為{am}，公比為q，則該數(shù)列共有n＋2項(xiàng)．∵14≠，∴q≠1.由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，得＝，解得q＝－， ∴an＋2＝14×n＋2－1＝，即n＋1＝，解得n＝3，∴該數(shù)列共有5項(xiàng)．] 8．各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＝2，S3n＝14，則S4n＝____

5、____. 30　[由題意知公比大于0，由等比數(shù)列性質(zhì)知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…仍為等比數(shù)列． 設(shè)S2n＝x，則2，x－2,14－x成等比數(shù)列． 由(x－2)2＝2×(14－x)， 解得x＝6或x＝－4(舍去)． ∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列． 又∵S3n＝14，∴S4n＝14＋2×23＝30.] 三、解答題 9．(2019·全國卷Ⅱ)已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，a1＝2，a3＝2a2＋16. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝log2an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．

6、 [解]　(1)設(shè){an}的公比為q，由題設(shè)得2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0. 解得q＝－2(舍去)或q＝4. 因此{(lán)an}的通項(xiàng)公式為an＝2×4n－1＝22n－1. (2)由(1)得bn＝(2n－1)log22＝2n－1，因此數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為1＋3＋…＋2n－1＝n2. 10．(2018·全國卷Ⅰ)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.設(shè)bn＝. (1)求b1，b2，b3； (2)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并說明理由； (3)求{an}的通項(xiàng)公式． [解]　(1)由條件可得an＋1＝an. 將n＝1代入得，a2＝4a1，而a

7、1＝1，所以a2＝4. 將n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12. 從而b1＝1，b2＝2，b3＝4. (2){bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列． 由條件可得＝，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列． (3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1. 1．已知{an}為等比數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足b1＝2，b2＝5，且an(bn＋1－bn)＝ an＋1，則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為(　　) A．3n＋1 B．3n－1 C. D. C　[∵b1＝2，b2＝5，且an(bn＋1－bn)＝an＋1， ∴a1(b2－b1)＝a2

8、，即a2＝3a1， 又?jǐn)?shù)列{an}為等比數(shù)列， ∴數(shù)列{an}的公比為q＝3， ∴bn＋1－bn＝＝3， ∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列， ∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn＝2n＋×3＝.故選C.] 2．設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列，|q|＞1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若數(shù)列{bn}有連續(xù)四項(xiàng)在集合{－53，－23,19,37,82}中，則q等于(　　) A．－ B. C．－ D. C　[{bn}有連續(xù)四項(xiàng)在{－53，－23,19,37,82}中且bn＝an＋1，即an＝bn－1，則{an}有連續(xù)四項(xiàng)在{－54，－24,18,36,81}中．∵{an

9、}是等比數(shù)列，等比數(shù)列中有負(fù)數(shù)項(xiàng)，∴q＜0，且負(fù)數(shù)項(xiàng)為相隔兩項(xiàng)，又∵|q|＞1，∴等比數(shù)列各項(xiàng)的絕對(duì)值遞增．按絕對(duì)值由小到大的順序排列上述數(shù)值18，－24,36，－54,81，相鄰兩項(xiàng)相除＝－，＝－，－＝－，＝－，則可得－24,36，－54,81是{an}中連續(xù)的四項(xiàng)．∴q＝－.] 3．(2016·全國卷Ⅰ)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，則a1a2…an的最大值為________． 64　[設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則由a1＋a3＝10，a2＋a4＝q(a1＋a3)＝5，知q＝.又a1＋a1q2＝10，∴a1＝8. 故a1a2…an＝aq1＋2＋…＋(n－1

10、)＝23n· 記t＝－＋＝－(n2－7n)， 結(jié)合n∈N*可知n＝3或4時(shí)，t有最大值6. 又y＝2t為增函數(shù)，從而a1a2…an的最大值為26＝64.] 4．已知數(shù)列{an}滿足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2)． (1)求證：{an＋1＋2an}是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． [解]　(1)證明：∵an＋1＝an＋6an－1(n≥2)， ∴an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an－1)(n≥2)． ∵a1＝5，a2＝5， ∴a2＋2a1＝15， ∴an＋2an－1≠0(n≥2)， ∴＝3(n≥2)， ∴數(shù)列{

11、an＋1＋2an}是以15為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列． (2)由(1)得an＋1＋2an＝15×3n－1＝5×3n， 則an＋1＝－2an＋5×3n， ∴an＋1－3n＋1＝－2(an－3n)． 又∵a1－3＝2， ∴an－3n≠0， ∴{an－3n}是以2為首項(xiàng)， －2為公比的等比數(shù)列． ∴an－3n＝2×(－2)n－1， 即an＝2×(－2)n－1＋3n. 1.如圖所示，正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再連接正方形，…，如此繼續(xù)下去得到一個(gè)樹形圖形，稱為“勾股樹”．若某勾股樹含有1 023個(gè)正方形，且其最大的正方形的邊長為，則其最小正方形的邊長為__

12、______． 　[由題意，得正方形的邊長構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，現(xiàn)已知共得到1 023個(gè)正方形，則有1＋2＋…＋2n－1＝1 023，∴n＝10，∴最小正方形的邊長為×9＝.] 2．在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的積，形成新的數(shù)列，這樣的操作叫做該數(shù)列的一次“擴(kuò)展”．將數(shù)列1,2進(jìn)行“擴(kuò)展”，第一次得到數(shù)列1,2,2；第二次得到數(shù)列1,2,2,4,2；….設(shè)第n次“擴(kuò)展”后得到的數(shù)列為1，x1，x2，…，xt,2，并記an＝log2(1·x1·x2·…·xt·2)，其中t＝2n－1，n∈N＋，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． [解]　an＝log2(1·x1·x2·…·xt·2)， 所以an＋1＝log2[1·(1·x1)·x1·(x1·x2)·…·xt·(xt·2)·2] ＝log2(12·x·x·x·…·x·22)＝3an－1， 所以an＋1－＝3， 所以數(shù)列是一個(gè)以為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列， 所以an－＝×3n－1，所以an＝. 6