2020高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 課下層級(jí)訓(xùn)練38 空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系（含解析）文 新人教A版

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1、課下層級(jí)訓(xùn)練(三十八)　空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系 [A級(jí)　基礎(chǔ)強(qiáng)化訓(xùn)練] 1．在下列命題中，不是公理的是(　　) A．平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面相互平行 B．過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面 C．如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi) D．如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線 A　[選項(xiàng)A是由公理推證出來的，而公理是不需要證明的．] 2．(2019·甘肅蘭州統(tǒng)考)已知直線m，n和平面α，則m∥n的一個(gè)必要條件是(　　) A．m∥α，n∥α　　　　　　　 B．m⊥α，n⊥α C．m∥α，n?α

2、D．m，n與平面α成等角 D　[A中，m，n可以都和平面垂直，必要性不成立；B中，m，n可以都和平面平行，必要性不成立；C中，n不一定在平面內(nèi)，必要性不成立；D中，m，n平行，則m，n與α成的角一定相等，但反之如果兩直線m，n與α成的角相等則不一定平行，所以是必要非充分條件．] 3．正方體A1C中，E，F(xiàn)分別是線段BC，CD1的中點(diǎn)，則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是(　　) A．相交　　 B．異面　　 C．平行　　　 D．垂直 A　[如圖所示，直線A1B與直線外一點(diǎn)E確定的平面為A1BCD1，EF?平面A1BCD1，且兩直線不平行，故兩直線相交．] 4．以下四個(gè)命題中， ①

3、不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線； ②若點(diǎn)A，B，C，D共面，點(diǎn)A，B，C，E共面，則點(diǎn)A，B，C，D，E共面； ③若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面； ④依次首尾相接的四條線段必共面． 正確命題的個(gè)數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 B　[①顯然是正確的；②中若A，B，C三點(diǎn)共線，則A，B，C，D，E五點(diǎn)不一定共面；③中構(gòu)造長方體(或正方體)，如圖所示，顯然b，c異面，故不正確；④中空間四邊形中四條線段不共面，故只有①正確．] 5．如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，點(diǎn)D1，F(xiàn)1分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，若BC＝CA

4、＝CC1＝1，則 BD1與AF1所成角的余弦值為(　　) A． B． C． D． A　[取BC的中點(diǎn)E，連接EF1，EA，則可知∠EF1A為BD1與AF1所成的角，在△AEF1中，可求得F1E＝，AF1＝，AE＝，由余弦定理得，cos∠EF1A＝＝.] 6．若平面α，β相交，在α，β內(nèi)各取兩點(diǎn)，這四點(diǎn)都不在交線上，這四點(diǎn)能確定__________個(gè)平面． 1或4　[如果這四點(diǎn)在同一平面內(nèi)，那么確定一個(gè)平面；如果這四點(diǎn)不共面，則任意三點(diǎn)可確定一個(gè)平面，所以可確定四個(gè)平面．] 7．如圖為正方體表面的一種展開圖，則圖中的AB，CD，EF，GH在原正方體中互為異面直線的有______

5、____對(duì)． 3　[平面圖形的翻折應(yīng)注意翻折前后相對(duì)位置的變化，則AB，CD，EF和GH在原正方體中，顯然AB與CD，EF與GH，AB與GH都是異面直線，而AB與EF相交，CD與GH相交，CD與EF平行．故互為異面直線的有3對(duì)．] 8．如圖，已知圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，C是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn)，C1是圓柱上底面弧A1B1的中點(diǎn)，那么異面直線AC1與BC所成角的正切值為__________. 　[取圓柱下底面弧AB的另一中點(diǎn)D，連接C1D，AD， 因?yàn)镃是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn)，所以AD∥BC，所以直線AC1與AD所成角等于異面直線AC1與BC所成角．因?yàn)镃1是圓

6、柱上底面弧A1B1的中點(diǎn)，所以C1D⊥圓柱下底面，所以C1D⊥AD，因?yàn)閳A柱的軸截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝AD，所以直線AC1與AD所成角的正切值為，所以異面直線AC1與BC所成角的正切值為.] 9．如圖，在正方體ABCD -A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD，CC1的中點(diǎn)，求異面直線A1M與DN所成的角的大?。? 解　如圖，連接D1M，可證D1M⊥DN. 又∵A1D1⊥DN，A1D1，MD1?平面A1MD1， A1D1∩MD1＝D1，∴DN⊥平面A1MD1， ∴DN⊥A1M，即異面直線A1M與DN所成的夾角為90°. 10．如圖，在三棱錐P -ABC中，PA

7、⊥底面ABC，D是PC的中點(diǎn)．已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2. 求：(1)三棱錐P-ABC的體積； (2)異面直線BC與AD所成角的余弦值． 解　(1)S△ABC＝×2×2＝2，三棱錐P-ABC的體積為V＝S△ABC·PA＝×2×2＝. (2)如圖，取PB的中點(diǎn)E，連接DE，AE，則ED∥BC，所以∠ADE(或其補(bǔ)角)是異面直線BC與AD所成的角． 在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2， cos∠ADE＝＝. 故異面直線BC與AD所成角的余弦值為. [B級(jí)　能力提升訓(xùn)練] 11．(2019·福建福州質(zhì)檢)直三棱柱ABC -A1B1C1中，若∠BAC

8、＝90°，AB＝AC＝AA1，則異面直線BA1與AC1所成的角等于(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° C　[如圖，延長CA到點(diǎn)D，使得AD＝AC，連接DA1，BD， 則四邊形ADA1C1為平行四邊形，所以∠DA1B就是異面直線BA1與AC1所成的角．又A1D＝A1B＝DB，所以△A1DB為等邊三角形，所以∠DA1B＝60°.] 12．(2016·全國卷Ⅰ)平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為(　　) A． B． C． D． A　[設(shè)平面CB1D

9、1∩平面ABCD＝m1. ∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m. 又平面ABCD∥平面A1B1C1D1， 且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1， ∴B1D1∥m1.∴B1D1∥m. ∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1， 且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1， 同理可證CD1∥n. 因此直線m與n所成的角即直線B1D1與CD1所成的角． 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形， 故直線B1D1與CD1所成角為60°，其正弦值為.] 13．設(shè)四面體的六條棱的長分別為1,1,1,1，和a，且長為a的棱與長為的棱異面，則a的取值范圍是

10、__________. 0a，所以0

11、5．如圖所示，三棱錐P-ABC中， PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中點(diǎn)． (1)求證AE與PB是異面直線； (2)求異面直線AE與PB所成角的余弦值． (1)證明　假設(shè)AE與PB共面，設(shè)平面為α， ∵A∈α，B∈α，E∈α， ∴平面α即為平面ABE，∴P∈平面ABE， 這與P?平面ABE矛盾，所以AE與PB是異面直線． (2)解　取BC的中點(diǎn)F，連接EF，AF，則EF∥PB，所以∠AEF(或其補(bǔ)角)就是異面直線AE與PB所成的角． ∵∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面ABC， ∴AF＝，AE＝，EF＝， cos∠

12、AEF＝＝＝， 故異面直線AE與PB所成角的余弦值為. 16．如圖所示，在三棱柱ABC -A1B1C1中，底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱A1A⊥底面ABC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱CC1，BB1上的點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，EC＝2FB＝2. (1)當(dāng)點(diǎn)M在何位置時(shí)，BM∥平面AEF? (2)若BM∥平面AEF，判斷BM與EF的位置關(guān)系，說明理由；并求BM與EF所成的角的余弦值． 解　(1)方法一　如圖所示，取AE的中點(diǎn)O，連接OF，過點(diǎn)O作OM⊥AC于點(diǎn)M. 因?yàn)閭?cè)棱A1A⊥底面ABC，所以側(cè)面A1ACC1⊥底面ABC． 又因?yàn)镋C＝2FB＝2， 所以O(shè)M∥EC∥FB且OM

13、＝EC＝FB， 所以四邊形OMBF為矩形，BM∥OF. 因?yàn)镺F?平面AEF，BM?平面AEF， 故BM∥平面AEF，此時(shí)點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)． 方法二　如圖所示， 取EC的中點(diǎn)P，AC的中點(diǎn)Q，連接PQ，PB，BQ. 因?yàn)镋C＝2FB＝2，所以PE＝BF， 所以PQ∥AE，PB∥EF， 所以PQ∥平面AFE，PB∥平面AEF， 因?yàn)镻B∩PQ＝P，PB?平面PBQ，PQ ?平面PBQ， 所以平面PBQ∥平面AEF. 又因?yàn)锽Q?平面PBQ, 所以BQ∥平面AEF. 故點(diǎn)Q即為所求的點(diǎn)M，此時(shí)點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)． (2)由(1)知，BM與EF異面，∠OFE(或∠MBP)就是異面直線BM與EF所成的角或其補(bǔ)角． 易求AF＝EF＝，MB＝OF＝，OF⊥AE， 所以cos∠OFE＝＝＝， 所以BM與EF所成的角的余弦值為. 9