2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點(diǎn)45 立體幾何中的向量方法必刷題 理（含解析）

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1、考點(diǎn)45 立體幾何中的向量方法 1．（遼寧省沈陽(yáng)市2019屆高三教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)三數(shù)學(xué)理）如圖，四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面底面，為上的點(diǎn)，且平面 （1）求證：平面平面； （2）當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求二面角的余弦值． 【答案】（1）見(jiàn)證明；（2）. 【解析】 （1）證明：∵側(cè)面底面，側(cè)面底面，四邊形為正方形，∴，面， ∴面， 又面， ∴， 平面，面， ∴， ，平面， ∴面， 面， ∴平面平面． （2）， 求三棱錐體積的最大值，只需求的最大值． 令，由（1）知，， ∴， 而， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)， 的最大值為． 如圖所示，分別取線段，中點(diǎn)，，連

2、接，， 以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，和分別作為軸，軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系． 由已知， 所以， 令為面的一個(gè)法向量， 則有， ∴ 易知為面的一個(gè)法向量， 二面角的平面角為，為銳角 則. 2．（湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué)2019屆高三下學(xué)期高考模擬卷一數(shù)學(xué)理）如圖所示，圓O的直徑AB＝6，C為圓周上一點(diǎn)，BC＝3，平面PAC垂直圓O所在平面，直線PC與圓O所在平面所成角為60°，PA⊥PC． （1）證明：AP⊥平面PBC （2）求二面角P—AB一C的余弦值 【答案】(1)見(jiàn)解析.(2) . 【解析】 （1）由已知可知，又平面平面圓，平面平面圓， ∴平面，∴， 又，，

3、平面，平面， ∴平面. （2）法一：過(guò)作于，由于平面平面，則平面， 則為直線與圓所在平面所成角，所以. 過(guò)作于，連結(jié)，則， 故為二面角的平面角. 由已知，， 在中，， 由得，在中，， 故，故， 即二面角的余弦值為. 法二：過(guò)作于，則平面，過(guò)作交于， 以為原點(diǎn)，、、分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系. 則，，，， 從而，， 設(shè)平面的法向量， 則得， 令，從而， 而平面的法向量為， 故， 即二面角的余弦值為. 3．（四川省綿陽(yáng)市2019屆高三下學(xué)期第三次診斷性考試數(shù)學(xué)理）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，且，，，分別為，的中點(diǎn)，且. （1）求證：

4、平面平面； （2）求銳二面角的余弦值. 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2） 【解析】 （1）過(guò)P作PO⊥AD，垂足為O，連結(jié)AO，BO， 由∠PAD=120°，得∠PAO=60°， ∴在Rt△PAO中，PO=PAsin∠PAO=2sin60°=2×=， ∵∠BAO=120°，∴∠BAO=60°，AO=AO，∴△PAO≌△BAO，∴BO=PO=， ∵E，F(xiàn)分別是PA，BD的中點(diǎn)，EF=，∴EF是△PBD的中位線， ∴PB=2EF=2×=， ∴PB2=PO2+BO2，∴PO⊥BO，∵AD∩BO=O，∴PO⊥平面ABCD， 又PO?平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD． （2）以

5、O為原點(diǎn)，OB為x軸，OD為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系， A（0，1，0），P（0，0，），B（，0，0），D（0，3，0）， ∴E（0，），F(xiàn)（，），=（0，），=（，，0）， 易得平面ABCD的一個(gè)法向量=（0，0，1）， 設(shè)平面ACE的法向量=（x，y，z），則， 取x=1，得=（1，-，1）， 設(shè)銳二面角的平面角的大小為θ，則cosθ=|cos＜＞|==， ∴銳二面角E-AC-D的余弦值為． 4．（四川省宜賓市2019屆高三第三次診斷性考試數(shù)學(xué)理）如圖，在四棱錐中，，平面，二面角為為中點(diǎn)． （1）求證：； （2）求與平面所成角的余弦值． 【答案】

6、（1）證明見(jiàn)解析；（2）. 【解析】 （1）證明：作SA中點(diǎn)F，連接EF ∵E為SD中點(diǎn) ∴ ∵ ∴ ∴得平行四邊形 ∴ ∵平面 ∴為二面角的平面角 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ （2）作AB中點(diǎn)O，由（1）知 ∵ ∴平面 如圖建立空間直角坐標(biāo)系 設(shè)，則 ∴ 設(shè)平面SCD的法向量，得 令 ，則 ∵ ∴ ∴ ∴AB與平面所成角的余弦值為. 5．（安徽省黃山市2019屆高三畢業(yè)班第三次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)理）如圖，在以為頂點(diǎn)的五面體中，面為正方形，，，且二面角與二面角都是. （1）證明：平面； （2）求直線與平面所成角的正弦值. 【答

7、案】（1）證明見(jiàn)解析； （2）. 【解析】 （1）面ABEF為正方形 又，而, 面,面 面 （2），則由（1）知面平面，過(guò)作，垂足為，平面． 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，為單位長(zhǎng)度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． 由（1）知為二面角的平面角，故，又，則，，，，． 由已知，，平面．又平面平面， 故，．由，可得平面， 為二面角的平面角，．． ，，． 設(shè)是平面的法向量，則，即， 可取 . 則． 直線與平面BCE所成角的正弦值為 . 6．（湖南省師范大學(xué)附屬中學(xué)2019屆高三考前演練（五)數(shù)學(xué)（理）在五邊形AEBCD中，，C，，，（如圖）.將△ABE

8、沿AB折起，使平面ABE⊥平面ABCD，線段AB的中點(diǎn)為O(如圖）. （1）求證：平面ABE⊥平面DOE； （2）求平面EAB與平面ECD所成的銳二面角的大小. 【答案】（1）見(jiàn)解析（2）45° 【解析】 （1）由題意，O是線段AB的中點(diǎn)，則. 又，則四邊形OBCD為平行四邊形，又，則， 因，，則. ，則AB⊥平面EOD. 又平面ABE，故平面ABE⊥平面EOD. （2）由（1）易知OB，OD，OE兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)B，OD，OE所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， △EAB為等腰直角三角形，且AB=2CD=2BC， 則，取， 則O（0，0

9、，0），A（-1，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0）， E（0，0，1），則，， 設(shè)平面ECD的法向量為， 則有取，得平面ECD的一個(gè)法向量， 因OD⊥平面ABE.則平面ABE的一個(gè)法向量為， 設(shè)平面ECD與平面ABE所成的銳二面角為θ，則 ， 因?yàn)?，所以? 故平面ECD與平面ABE所成的鏡二面角為45°. 7．（河北省保定市2019年高三第二次模擬考試?yán)恚┤鐖D，已知四棱錐中，四邊形為矩形，，，. （1）求證：平面； （2）設(shè)，求平面與平面所成的二面角的正弦值. 【答案】（1）見(jiàn)證明；（2） 【解析】 （1）證明： BCSD ，

10、BCCD 則BC平面SDC, 又 則AD平面SDC，平面SDC SCAD 又在△SDC中，SC=SD=2, DC=AB，故SC2+SD2=DC2 則SCSD ，又 所以 SC平面SAD （2）解：作SOCD于O，因?yàn)锽C平面SDC, 所以平面ABCD平面SDC，故SO平面ABCD 以點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系如圖. 則S(0,0,),C(0，,0), A(2，-,0),B(2，,0) 設(shè)E(2,y,0),因?yàn)? 所以 即E((2,,0) 令，則， ，令，則， 所以所求二面角的正弦值為 8．（陜西省西安市2019屆高三第三次質(zhì)量檢測(cè)理）

11、如圖，在三棱柱中，平面，是的中點(diǎn)，，，. （1）證明：； （2）若，求二面角的余弦值. 【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）. 【解析】 解：（1）證明：連接，， 因?yàn)樵谥校?，，? 所以． 所以， 因?yàn)椋? 所以， 又平面，且平面， 所以，， 所以平面， 因?yàn)槠矫妫? 所以． （2）以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系， 則，，，， 所以，，， 設(shè)平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為， 則，取， 則， ?。? 所以， 即二面角的平面角的余弦值為． 9．（河南省重點(diǎn)高中2019屆高三4月聯(lián)合質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)理）在四棱錐中，底面為平行四邊形，平面平面，是邊長(zhǎng)為

12、4的等邊三角形，，是的中點(diǎn). （1）求證：； （2）若直線與平面所成角的正弦值為，求平面 與平面所成的銳二面角的余弦值. 【答案】(1)見(jiàn)證明；(2) 【解析】 （1）因?yàn)槭堑冗吶切?，是的中點(diǎn)， 所以. 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 所以， 又因?yàn)?，? 所以平面.所以. 又因?yàn)?，所? 又且，平面，所以平面. 所以. （2） 由（1）得平面. 所以就是直線與平面所成角. 因?yàn)橹本€與平面所成角的正弦值為，即，所以. 所以，解得.則. 由（1）得，，兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，，，所在的直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則點(diǎn)

13、，， ，， 所以，. 令平面的法向量為，則 由得解得 令，可得平面的一個(gè)法向量為； 易知平面的一個(gè)法向量為， 設(shè)平面與平面所成的銳二面角的大小為，則. 所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為. 10．（天津市北辰區(qū)2019屆高考模擬考試數(shù)學(xué)理）如圖，在四棱柱中，側(cè)棱底面，，，，，且點(diǎn)和分別為和的中點(diǎn) （I）求證：平面； （II）求二面角的正弦值； （III）設(shè)為棱上的點(diǎn)，若直線和平面所成角的正弦值為，求的長(zhǎng)。 【答案】（I）見(jiàn)解析（II）（III） 【解析】 （I）以為原點(diǎn)，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系： 則，，， ，，， 平面的法向量 又，

14、 ，面 面 （II）設(shè)面的法向量，且， ，令，則， 設(shè)面的法向量，且， ，令，則， 即二面角的正弦值是 （III）設(shè)，則 又面的法向量 ，解得：或（舍） ，即 11．（東北三省三校（遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)、東北師大附中、哈師大附中)2019屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)理）如圖四棱錐中，底面，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，且，，點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn). （I）求證：平面平面； （Ⅱ）當(dāng)線段最小時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值. 【答案】（I）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）． 【解析】 （Ⅰ）證明：∵底面，底面， ∴． 取的中點(diǎn)，連接， ∵是等邊三角形，，

15、 ∴，， ∴點(diǎn)共線，從而得， 又， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面. （Ⅱ）解：取中點(diǎn)，連接，則， ∴底面， ∴兩兩垂直． 以為原點(diǎn)如圖建立空間直角坐標(biāo)系， 則， ∴, 設(shè)平面的法向量為， 由，得， 令，得． 設(shè)，則， ∴， ∴當(dāng)時(shí)，有最小值，且，此時(shí)． 設(shè)直線與平面所成角為， 則， ∴直線與平面所成角的正弦值為． 12．（安徽省蚌埠市2019屆高三年級(jí)第三次教學(xué)質(zhì)量檢查考試數(shù)學(xué)理）如圖，在以為頂點(diǎn)，母線長(zhǎng)為的圓錐中，底面圓的直徑長(zhǎng)為2，是圓所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且是圓的切線，連接交圓于點(diǎn)，連接，. （1）求證：平面平面； （2）若是的中點(diǎn)

16、，連接，，當(dāng)二面角的大小為時(shí)，求平面與平面所成銳二面角的余弦值. 【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）. 【解析】 解：（1）是圓的直徑，與圓切于點(diǎn)， 底面圓，∴ ，平面，∴. 又∵在中，，∴ ∵，∴平面，從而平面平面. （2）∵ ，，∴為二面角的平面角， ∴ ， 如圖建立空間直角坐標(biāo)系，易知， 則，， ，，， 由（1）知為平面的一個(gè)法向量， 設(shè)平面的法向量為， ，， ∵ ，，∴，， ∴ ，即 故平面的一個(gè)法向量為， ∴. ∴ 平面與平面所成銳二面角的余弦值為. 13．（北京市房山區(qū)2019年高考第一次模擬測(cè)試數(shù)學(xué)理）如圖1，在矩形ABCD中，AB＝4，

17、AD＝2，E，F(xiàn)，O分別為DC，AE，BC的中點(diǎn)．以AE為折痕把△ADE折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置，且平面PAE⊥平面ABCE（如圖2）． （Ⅰ）求證：BC⊥平面POF； （Ⅱ）求直線PA與平面PBC所成角的正弦值； （Ⅲ）在線段PE上是否存在點(diǎn)M，使得AM∥平面PBC？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由． 【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）見(jiàn)解析 【解析】 （Ⅰ）在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD中點(diǎn)，所以DA＝DE，即PA＝PE， 又F為AE的中點(diǎn)，所以PF⊥AE，又平面PAE⊥平面ABCE，平面PAE∩平面ABCE＝AE， PF?平面PAE，所以PF⊥平

18、面ABCE，BC?平面ABCE，所以PF⊥BC， 由F，O分別為AE，BC的中點(diǎn)，易知FO∥AB，所以O(shè)F⊥BC，所以BC⊥平面POF， （Ⅱ）過(guò)點(diǎn)O做平面ABCE的垂線OZ，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)F，OB，OZ為x，y，z軸建立坐標(biāo)系O﹣xyz， 則 ∴，設(shè)平面PBC的法向量為 由得，令z＝3得， ， 所以直線PA與平面PBC所成角的正弦值. （Ⅲ）在線段PE上不存在點(diǎn)M，使得AM∥平面PBC．證明如下： 點(diǎn)M在線段PE上，設(shè)則， , 若AM∥平面PBC，則， 由得，解得λ＝2?[0，1] 所以在線段PE上不存在點(diǎn)M，使得AM∥平面PBC． 14．（湖南省長(zhǎng)沙

19、市第一中學(xué)2018屆高三下學(xué)期高考模擬卷三數(shù)學(xué)理）如圖，菱形的對(duì)角線與交于點(diǎn)，，，點(diǎn)，分別在，上，，交于點(diǎn).將沿折到的位置，. （I）證明：平面平面； （Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析.( Ⅱ) . 【解析】 （Ⅰ）∵，∴，∴. ∵四邊形為菱形，∴，∴，∴，∴. ∵，∴； 又，，∴，∴， ∴，∴，∴. 又∵，∴平面. ∵平面， ∴平面平面. （Ⅱ）建立如圖坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)平面的法向量， 由得，取， ∴. 設(shè)直線與平面所成角為， ∴， ∴. 15．（安徽省蕪湖市2019屆高三5月模擬考試數(shù)學(xué)理）如圖，已知圓柱，底面

20、半徑為1，高為2，是圓柱的一個(gè)軸截面，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱的側(cè)面到達(dá)點(diǎn)，其路徑最短時(shí)在側(cè)面留下的曲線記為：將軸截面繞著軸，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 角到位置，邊與曲線相交于點(diǎn). （1）當(dāng)時(shí)，求證：直線平面； （2）當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值. 【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）. 【解析】 （1）方法一：當(dāng)時(shí)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則有，，，， ， ，. 設(shè)平面的法向量為，則， 可取，得，，. 所以直線平面. 方法二：在正方形中，，，∴， 平面，又平面 所以，又，，，平面 所以直線平面. （2）當(dāng)時(shí)，以所在直線為軸，過(guò)點(diǎn)與垂直的直線為軸，所在的直線為軸建立如圖空間

21、直角坐標(biāo)系， 可得，所以， 設(shè)平面的法向量為，則 ，可取，得， 又平面的一個(gè)法向量為，則 所以二面角的余弦值為. 16．（山東省泰安市2019屆高三第二輪復(fù)習(xí)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)理）如圖，正方形邊長(zhǎng)為，平面平面，． (1)證明：； (2)求二面角的余弦值． 【答案】（1）證明見(jiàn)解析；(2). 【解析】 （1）證明：平面平面，平面平面 ，面 ∴平面， 又平面， ∴ 又∵，，，平面 ∴平面， 又平面 ∴. （2）解：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系， 則，， 在直角中，，，易得， 由（1）知為平面的一個(gè)法向量， ， 設(shè)是平面BDE的

22、一個(gè)法向量 則 即 令，則， ∴ ∴二面角的余弦值是. 17．（廣西桂林市、崇左市2019屆高三下學(xué)期二模聯(lián)考數(shù)學(xué)理）已知四棱錐的底面是菱形，，底面，是上的任意一點(diǎn). （1）求證：平面平面； （2）設(shè)，是否存在點(diǎn)使平面與平面所成的銳二面角的大小為？如果存在，求出點(diǎn)的位置，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析. 【解析】 （1）證明：∵平面，平面，∴. ∵四邊形是菱形，∴. ∵，∴平面. ∵平面，∴平面平面. （2）設(shè)與的交點(diǎn)為，以、所在直線分別為、軸， 以過(guò)垂直平面的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）， 則，，，，.

23、設(shè)，則,, 設(shè)， ∴ ∴， ∴., 設(shè)平面的法向量， ∵，∴. 求得為平面的一個(gè)法向量. 同理可得平面的一個(gè)法向量為 ∵平面與平面所成的銳二面角的大小為， ∴，解得：. ∴為的中點(diǎn). 18．（山東省青島市2019屆高考模擬檢測(cè)數(shù)學(xué)理）如圖，在圓柱中，點(diǎn)、分別為上、下底面的圓心，平面是軸截面，點(diǎn)在上底面圓周上（異于、），點(diǎn)為下底面圓弧的中點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)在平面的同側(cè)，圓柱的底面半徑為1，高為2. （1）若平面平面，證明：； （2）若直線與平面所成線面角的正弦值等于，證明：平面與平面所成銳二面角的平面角大于. 【答案】（1）見(jiàn)證明；（2）見(jiàn)證明 【解析】 （1）由題

24、知：面面，面面， 因?yàn)椋矫妫? 所以平面，平面 所以. （2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系. 所以，，， 設(shè)，則，， 設(shè)平面的法向量， 因?yàn)椋裕? 所以，即法向量. 因此 . 所以，解得，，所以點(diǎn). 設(shè)面的法向量， 因?yàn)椋裕? 所以，即法向量. 因?yàn)槊娴姆ㄏ蛄浚?， 所以面與面所成銳二面角的平面角大于. 19．（四川省攀枝花市2019屆高三下學(xué)期第三次統(tǒng)考數(shù)學(xué)理）已知三棱錐（如圖一）的平面展開(kāi)圖（如圖二）中，四邊形為邊長(zhǎng)等于的正方形，和均為正三角形，在三棱錐中： （Ⅰ）證明：平面平面； （Ⅱ）若點(diǎn)為棱上一點(diǎn)且，求二

25、面角的余弦值． 【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）. 【解析】 解：（Ⅰ）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，． 由題意，得，， ． 在中，，為的中點(diǎn)， ， 在中，，，， ， ． ，，平面，平面， 平面，平面平面． （Ⅱ）由平面，， ，， 于是以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖示空間直角坐標(biāo)系， 則， ， ， ，， ， ， ， ． 設(shè)平面的法向量為， 則由得： ．令，得，，即． 設(shè)平面的法向量為， 由得： ，令，得，z＝1，即． ．由圖可知，二面角的余弦值為． 20．（福建省泉州市2019屆高三第二次（5月)質(zhì)檢數(shù)學(xué)理）四棱錐中，平面，，，，，． （1）

26、求證: 平面平面; （2）為棱上異于的點(diǎn)，且，求直線與平面所成角的正弦值． 【答案】（1）見(jiàn)解析（2） 【解析】 （1）證明：在與中，因?yàn)椋?， 所以，,即，所以. 因?yàn)?所以,所以． 因?yàn)槠矫?，平面，所?， 又，所以平面， 又平面， 所以平面平面． （2）過(guò)作，因?yàn)槠矫妫云矫?，即兩兩相垂直，以為原點(diǎn)，所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 因?yàn)?，，? 所以，，，，， ，，， 設(shè)，．則， . 因?yàn)?，所以，即? 解得，或．因?yàn)?，所以? 所以，即． 設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則， 所以取， 設(shè)直線與平面所成角為， , 所以直線與平面

27、所成角的正弦值． 21．（福建省龍巖市2019屆高三5月月考數(shù)學(xué)理）如圖，在三棱錐中，為等邊三角形，，面積是面積的兩倍，點(diǎn)在側(cè)棱上. （1）若，證明：平面平面； （2）若二面角的大小為，且為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值. 【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）. 【解析】 （1）證明：因?yàn)?，所以? 所以． 取BC中點(diǎn)O，連結(jié)DO,AO，所以DO⊥BC，AO⊥BC， 因?yàn)?，所以BC⊥平面AOD，所以BC⊥AD， 又因?yàn)锽M⊥AD，，所以AD⊥平面BCM， 所以平面ACD⊥平面BCM． （2）由（1）知，是二面角D-BC-A的平面角， 所以， 過(guò)作交延

28、長(zhǎng)線于G，因?yàn)锽C⊥平面AOD，平面AOD， 所以， 因?yàn)?，所以平面? 如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，以，，的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè) ，則， 又因?yàn)椋? 所以， 在中，， 所以 ， ， 所以， 所以，， 設(shè)是平面DCA的法向量， 則即 取， 因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn) ，所以， 所以 ， 設(shè)直線BM與平面DCA所成角的大小為，則 ， 所以直線BM與平面CDA所成角的正弦值為． 22．（河北省唐山市第一中學(xué)2019屆高三下學(xué)期沖刺（二)數(shù)學(xué)（理）如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形，且，平面，，，點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)． (1)證明：平面平面；

29、 (2)若的最大值是，求三棱錐的體積． 【答案】(1)見(jiàn)證明；(2) 【解析】 (1)因?yàn)槠矫?，則. 又四邊形是菱形，則，又, 所以平面,因?yàn)锳C在平面內(nèi)， 所以平面平面. (2)設(shè)與的交點(diǎn)為，連結(jié). 因?yàn)槠矫?，則，又為的中點(diǎn)，則，由余弦定理得，．當(dāng)AE最短時(shí)∠AEC最大，此時(shí)，，，因?yàn)锳C=2,,OE=. 取MN的中點(diǎn)H，分別以直線，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)，則點(diǎn)， ，，．設(shè)平面的法向量， 則,即 ，取，則， 同理求得平面的法向量. 因?yàn)槭嵌娼?的平面角，則 ，解得或． 由圖可知a

30、．（陜西省渭南市2019屆高三二模數(shù)學(xué)理）已知是等腰直角三角形,．分別為的中點(diǎn),沿將折起,得到如圖所示的四棱錐． (Ⅰ)求證：平面平面． (Ⅱ)當(dāng)三棱錐的體積取最大值時(shí),求平面與平面所成角的正弦值． 【答案】(Ⅰ)見(jiàn)解析. (Ⅱ) . 【解析】 (I)證明： 分別為的中點(diǎn) ，，又 平面 平面，又平面 平面平面 (II)，為定值 當(dāng)平面時(shí)，三棱錐的體積取最大值 以為原點(diǎn),以為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系 則 ， 設(shè)平面的法向量為，則 即，令可得 平面 是平面的一個(gè)法向量 平面與平面所成角的正弦值為 24．（陜西省咸陽(yáng)

31、市2019屆高三模擬檢測(cè)（三)數(shù)學(xué)理）如圖，正方形ADEF與梯形ABCD所在平面互相垂直，，，點(diǎn)M是EC的中點(diǎn)． (1)求證:平面ADEF平面BDE. (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)見(jiàn)證明；(2) 【解析】(1)由題可知AD=BD=2，AB=則AD2+BD2=AB2， 根據(jù)勾股定理有BD⊥AD， 又因正方形ADEF 與梯形ABCD所在平面互相垂直，則ED⊥平面ABCD， 則ED⊥BD，而AD∩ED=D，所以BD⊥平面ADEF. 而B(niǎo)D平面BDE，所以平面ADEF⊥平面BDE. (2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DB，DE為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系， 由題可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（0.2，0），E（0，0，2），C（-2，2，0），M（-，，1）. 由(1)可得AD⊥平面BDE，則可取平面BDE的法向量，設(shè)平面BDM的法向量為，=（-，，1），=（0，2，0）， 由·=0，·=0，.可得 可取=（，0，2），則. 設(shè)二面角E-BD-M的平面角為α，顯然α為銳角， 故． 40