2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點(diǎn)50 橢圓必刷題 理（含解析）

考點(diǎn)50 橢圓1（北京市昌平區(qū)2019屆高三5月綜合練習(xí)二模理）嫦娥四號(hào)月球探測(cè)器于2018年12月8日搭載長(zhǎng)征三號(hào)乙運(yùn)載火箭在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射.12日下午4點(diǎn)43分左右，嫦娥四號(hào)順利進(jìn)入了以月球球心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓形軌道，如圖中軌道所示，其近月點(diǎn)與月球表面距離為公里，遠(yuǎn)月點(diǎn)與月球表面距離為公里.已知月球的直徑為公里，則該橢圓形軌道的離心率約為ABCD【答案】B【解析】如下圖，F(xiàn)為月球的球心，月球半徑為：×34761738，依題意，AF10017381838，BF40017382138.2a18382138，a1988，ac2138，c21381988150，橢圓的離心率為：，選B.2（山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)等四校2019屆高三聯(lián)合考試?yán)恚┮阎獧E圓：，的左、右焦點(diǎn)分別為，為橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的一點(diǎn)，的內(nèi)心為，直線交軸于點(diǎn)，若，則橢圓的離心率是（）ABCD【答案】B【解析】解：的內(nèi)心為，連接和，可得為的平分線，即有，可得，即有，即有，故選：B3（內(nèi)蒙古2019屆高三高考一模試卷數(shù)學(xué)理）以橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為直徑的端點(diǎn)的圓與橢圓交于四個(gè)不同的點(diǎn),順次連接這四個(gè)點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)恰好組成一個(gè)正六邊形,那么這個(gè)橢圓的離心率為()ABCD【答案】B【解析】解：設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為,圓與橢圓交于,四個(gè)不同的點(diǎn),設(shè),則,橢圓定義,得,所以,故選：B4（廣東省深圳市高級(jí)中學(xué)2019屆高三適應(yīng)性考試（6月)數(shù)學(xué)理）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)分別為橢圓的右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，若三點(diǎn)共線，則橢圓的離心率為( )ABCD或【答案】A【解析】如圖設(shè),又，,三點(diǎn)共線,即,故選A.5（陜西省漢中市2019屆高三全真模擬考試數(shù)學(xué)理）已知、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，且軸，則橢圓的離心率為_.【答案】【解析】、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，且軸，可得的方程為，的方程，可得，的中點(diǎn)為，代入直線，可得：，可得，解得故選：6（河南省洛陽(yáng)市2018-2019學(xué)年高二5月質(zhì)量檢測(cè)（期末)數(shù)學(xué)（理）已知是橢圓的右焦點(diǎn)，是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，直線與橢圓另一交點(diǎn)為，且，則橢圓的離心率為_.【答案】【解析】設(shè)，作軸，垂足為，如下圖所示：則：由得： ，即：由橢圓的焦半徑公式可知：，整理可得：，即本題正確結(jié)果：7（安徽省合肥市2019屆高三第三次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)理）如圖是數(shù)學(xué)家Germinal Dandelin用來證明一個(gè)平面截圓錐得到的截口曲線是橢圓的模型（稱為“Dandelin雙球”）；在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同的小球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面、截面相切，設(shè)圖中球，球的半徑分別為和，球心距離,截面分別與球，球切于點(diǎn)，（，是截口橢圓的焦點(diǎn)），則此橢圓的離心率等于_【答案】【解析】如圖，圓錐面與其內(nèi)切球，分別相切與B,A，連接則，過作垂直于，連接， 交于點(diǎn)C設(shè)圓錐母線與軸的夾角為 ，截面與軸的夾角為 在中， ， 解得 即 則橢圓的離心率 8（吉林省長(zhǎng)春市北京師范大學(xué)長(zhǎng)春市附屬中學(xué)2019屆高三第四次模擬考試）已知橢圓與軸正半軸交于點(diǎn)，離心率為直線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)且與橢圖E交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第二象限）（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍【答案】（1）（2）【解析】解析：（1）由題意，且，所以，所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）因?yàn)橹本€l經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，所以直線l的斜率為，設(shè)，將其代入橢圓方程中，消去得，當(dāng)時(shí)，設(shè)、，則，因?yàn)?，所以，所以?lián)立，消去、，整理得當(dāng)時(shí)，解由且，故，所以9（山東省威海市2019屆高三二?？荚嚁?shù)學(xué)理）在直角坐標(biāo)系中，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為,短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，且，點(diǎn)在上.()求橢圓的方程；()若直線與橢圓和圓分別相切于,兩點(diǎn)，當(dāng)面積取得最大值時(shí)，求直線的方程.【答案】() .() .【解析】 ()由，可得，由橢圓經(jīng)過點(diǎn)，得，由得，所以橢圓的方程為()由消去整理得（*），由直線與橢圓相切得，整理得，故方程（*）化為，即，解得，設(shè)，則，故，因此又直線與圓相切，可得所以， 所以，將式代入上式可得，由得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)取得最大值 由，得，所以直線的方程為10（山東省日照市2019屆高三5月校際聯(lián)合考試數(shù)學(xué)理）如圖，已知橢圓，是長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)，弦過橢圓的中心，且（1）求橢圓的方程（2）過橢圓右焦點(diǎn)的直線，交橢圓于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，判定直線的斜率是否依次構(gòu)成等差數(shù)列？請(qǐng)說明理由【答案】（1）；（2）是，理由見詳解.【解析】（1）由，得，即，所以是等腰三角形， 又，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2；又，設(shè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，解得，應(yīng)取，又點(diǎn)在橢圓上，解得，所求橢圓的方程為； （2）由題意知橢圓的右焦點(diǎn)為，由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，代入橢圓并整理，得； 設(shè)，直線的斜率分別為，則有，可知的坐標(biāo)為； ，又；所以，即直線的斜率成等差數(shù)列11（天津市河北區(qū)2019屆高三一模數(shù)學(xué)理）已知橢圓C：過點(diǎn)，且離心率為（）求橢圓C的方程；（）若過原點(diǎn)的直線與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，且在直線上存在點(diǎn)M，使得為等邊三角形，求直線的方程。【答案】（）（）y=0或y=【解析】（）由題解得a=,b=,c=,橢圓C的方程為（）由題，當(dāng)?shù)男甭蔾=0時(shí)，此時(shí)PQ=4 直線與y軸的交點(diǎn)（0，滿足題意；當(dāng)?shù)男甭蔾0時(shí)，設(shè)直線與橢圓聯(lián)立得=8,設(shè)P（）,則Q（）,又PQ的垂直平分線方程為由，解得, 為等邊三角形即解得k=0(舍去)，k=,直線的方程為y=綜上可知，直線的方程為y=0或y=12（湖南省2017屆高三高考沖刺預(yù)測(cè)卷六理）已知橢圓的右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，下頂點(diǎn)為是的中點(diǎn)（為原點(diǎn)），連接并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，連接，得（1）求橢圓的離心率；（2）若是上一點(diǎn)，以為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，求直線的斜率【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）求出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)可得，結(jié)合可得結(jié)果；（2）方程為，由，結(jié)合韋達(dá)定理可得 點(diǎn)坐標(biāo)，利用列方程，進(jìn)而可得結(jié)果.試題解析：（1），直線方程為，由得點(diǎn)坐標(biāo)，離心率；（2）分析題意，易知直線的斜率存在，設(shè)方程為，由得，由以為直徑的圓經(jīng)過右焦點(diǎn)得，13（2017屆安徽省合肥市高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)理）已知點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，且兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，直線與橢圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn).（）求橢圓的方程；（）設(shè)直線與軸交于，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩不同點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，只要求出參數(shù)，由于有，因此要列出關(guān)于的兩個(gè)方程，而由條件兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等邊三角形得，再利用已知直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，即判別式為0可求得橢圓方程；（）由（）得點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得，要求范圍只要求得的范圍，為此可直線分類，對(duì)斜率不存在時(shí)，求得，而當(dāng)直線斜率存在時(shí)，可設(shè)出直線方程為，同時(shí)設(shè)，則，由韋達(dá)定理可把表示為的函數(shù)，注意直線與橢圓相交，判別式0，確定的范圍，從而可得的范圍，最后可得的取值范圍.試題解析：（）由題意，得，則橢圓為：，由，得 ，直線與橢圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn)， ，橢圓的方程為 ；（）由（）得，直線與軸交于 , ,當(dāng)直線與軸垂直時(shí)， ,由 ,當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為， ，由 ，依題意得，且 ， ， ， ， 綜上所述，的取值范圍是 .14（山西省晉城市2019屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)理）已知的周長(zhǎng)為6，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且.點(diǎn)的軌跡為.（）求的方程；（）若，直線：與交于，兩點(diǎn)，若，成等差數(shù)列，求的值.【答案】（）；（）2.【解析】（）依題意，故，則，故點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓（不含左、右兩頂點(diǎn)），故的方程為.（）依題意，故.聯(lián)立整理得.設(shè)，則，.故，則.15（遼寧省葫蘆島市普通高中2019屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)理）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的上頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)分別為，直線的斜率為，點(diǎn)在橢圓E上，其中P是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)作直線l與x軸垂直，交橢圓于兩點(diǎn)（兩點(diǎn)均不與P點(diǎn)重合)，直線，與x軸分別交于點(diǎn).求的最小值及取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).【答案】（1）（2）的最小值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或【解析】 (1)由直線的斜率為可知直線的傾斜角為. 在中，,于是,橢圓,將代入得所以，橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程 (2)設(shè)點(diǎn).于是，直線,令,所以 直線，令，所以 又.代入上式并化簡(jiǎn)即， 當(dāng)(即)時(shí)取得最小值，（）時(shí)，化簡(jiǎn)得根據(jù)題意：，若亦與題意不符，所以，此時(shí)或（）時(shí)，化簡(jiǎn)得將代入并化簡(jiǎn)得：根據(jù)題意：，若，而所以 不成立，即不成立綜上，或，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或16（內(nèi)蒙古呼倫貝爾市2019屆高三模擬統(tǒng)一考試一數(shù)學(xué)（理）已知橢圓：離心率為，直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為.（1）求橢圓方程；（2）設(shè)直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)在直線上，求證：線段的中垂線恒過定點(diǎn).【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意易得橢圓過點(diǎn)，結(jié)合，求出即可得結(jié)果；（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式化簡(jiǎn)可得，求出，列出的中垂線方程即可得結(jié)果.【詳解】（1）由直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為，得橢圓過點(diǎn)，即，又，得，所以，即橢圓方程為.（2）由得，由，得.由，設(shè)的中點(diǎn)為，得，即，.的中垂線方程為.即，故的中垂線恒過點(diǎn).17（湖南省益陽(yáng)市桃江縣第一中學(xué)2019屆高三5月模擬考試?yán)恚┮阎獧E圓：的離心率為，焦距為.（1）求的方程；（2）若斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)，均在第一象限），為坐標(biāo)原點(diǎn).證明：直線的斜率依次成等比數(shù)列.若與關(guān)于軸對(duì)稱，證明：.【答案】（1）； （2）見解析；見解析.【解析】（1）由題意可得：，解得： 橢圓的方程為：（2）證明：設(shè)直線的方程為：，由消去得：則，且，即直線的斜率依次成等比數(shù)列由題可知：由可知：，若，則兩點(diǎn)重合，不符合題意；可知無法取得等號(hào)18（安徽省泗縣第一中學(xué)2019屆高三高考最后一模數(shù)學(xué)理）已知橢圓：的離心率為，且橢圓上一點(diǎn)的坐標(biāo)為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且以線段為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，求面積的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由已知，又，則.橢圓方程為，將代入方程得，故橢圓的方程為；（2）不妨設(shè)直線的方程，聯(lián)立消去得.設(shè)，則有，又以線段為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，由，得，將，代入上式得，將代入上式求得或（舍），則直線恒過點(diǎn).，設(shè)，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得最大值.19（廣東省潮州市2019屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)理）已知橢圓，是長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)，弦過橢圓的中心，點(diǎn)在第一象限，且，（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)、為橢圓上不重合的兩點(diǎn)且異于、，若的平分線總是垂直于軸，問是否存在實(shí)數(shù)，使得？若不存在，請(qǐng)說明理由；若存在，求取得最大值時(shí)的的長(zhǎng)【答案】(1) (2) 【解析】（1），即，是等腰直角三角形，而點(diǎn)在橢圓上，所求橢圓方程為（2）對(duì)于橢圓上兩點(diǎn)，的平分線總是垂直于軸，與所在直線關(guān)于對(duì)稱，則，的直線方程為，的直線方程為，將代入，得，在橢圓上，是方程的一個(gè)根，以替換，得到，弦過橢圓的中心，存在實(shí)數(shù)，使得，當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)，又， ，取得最大值時(shí)的的長(zhǎng)為20（安徽省合肥市2019屆高三第三次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)理）已知直線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，交橢圓于點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，的周長(zhǎng)為.（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若直線與直線的傾斜角互補(bǔ)，且交橢圓于點(diǎn)、，求證：直線與直線的交點(diǎn)在定直線上.【答案】（）（）見證明【解析】解：（）由已知，得，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（）若直線的斜率不存在，則直線的斜率也不存在，這與直線與直線相交于點(diǎn)矛盾，所以直線的斜率存在.令，.將直線的方程代入橢圓方程得：，同理，.由得，此時(shí)，直線，即點(diǎn)的定直線上.21（湖南省師范大學(xué)附屬中學(xué)2019屆高三下學(xué)期模擬三理）已知橢圓過點(diǎn)，右焦點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn). （1）求橢圓的方程；（2）已知?jiǎng)又本€過右焦點(diǎn)，且與橢圓分別交于，兩點(diǎn).試問軸上是否存在定點(diǎn)，使得恒成立?若存在求出點(diǎn)的坐標(biāo):若不存在，說明理由.【答案】(1) (2)見解析【解析】（1）因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，所以，又拋物線的焦點(diǎn)為，所以.所以，解得（舍去）或.所以橢圓的方程為.（2）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使得.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，則，由，解得或；當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，則，由，解得或.由可得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為.下面證明當(dāng)時(shí)，恒成立.當(dāng)直線的斜率不存在或斜率為0時(shí)，由知結(jié)論成立.當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)其方程為，.直線與橢圓聯(lián)立得，直線經(jīng)過橢圓內(nèi)一點(diǎn)，一定與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，且，.，所以恒成立綜上所述，在軸上存在點(diǎn)，使得恒成立.22（湖北省黃岡中學(xué)2019屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)理）已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為、，為相圓上一點(diǎn)，與軸交于，.（）求橢圓的方程；（）過右焦點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)若的中點(diǎn)為，為原點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn).求的最大值.【答案】（I）；（II）【解析】（I）連接，由題意得，所以為的中位線，又因?yàn)?，所以，?又，得，故所求橢圓方程為.（II）聯(lián)立，可得.設(shè)、，則，所以為所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為， 因此直線的方程為，從而點(diǎn)為，設(shè)，令，則，因此當(dāng)，即時(shí)取得最大值.23（貴州省遵義航天高級(jí)中學(xué)2019屆高三第十一模）已知橢圓C：的離心率，左、右焦點(diǎn)分別為，拋物線的焦點(diǎn)F恰好是該橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)(1)求橢圓C的方程；(2)已知圓M：的切線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，那么以AB為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)？如果是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不是，請(qǐng)說明理由，【答案】（1）；（2）見解析【解析】（1）因?yàn)闄E圓的離心率，所以，即 因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)恰好是該橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，所以，所以所以橢圓的方程為（2）（i）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)因?yàn)橹本€與圓相切，故其中的一條切線方程為由，不妨設(shè)，則以為直徑的圓的方程為（ii）當(dāng)直線的斜率為零時(shí)因?yàn)橹本€與圓相切，所以其中的一條切線方程為由，不妨設(shè)，則以為直徑的圓的方程為顯然以上兩圓都經(jīng)過點(diǎn)（iii）當(dāng)直線的斜率存在且不為零時(shí)設(shè)直線的方程為由消去，得，所以設(shè)，則，所以所以因?yàn)橹本€和圓相切，所以圓心到直線的距離，整理，得， 將代入，得，顯然以為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)，綜上可知，以為直徑的圓過定點(diǎn)24（廣東省深圳市高級(jí)中學(xué)2019屆高三適應(yīng)性考試（6月)數(shù)學(xué)理）在平面直角坐標(biāo)系中，離心率為的橢圓過點(diǎn)（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線上存在點(diǎn)，且過點(diǎn)的橢圓的兩條切線相互垂直，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】(1) (2) 【解析】（1）由題意，解得，又，解得所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）當(dāng)過點(diǎn)的橢圓的一條切線的斜率不存在時(shí)，另一條切線必垂直于軸，易得 當(dāng)過點(diǎn)的橢圓的切線的斜率均存在時(shí)，設(shè)切線方程為，代入橢圓方程得，化簡(jiǎn)得：，由此得， 設(shè)過點(diǎn)的橢圓的切線的斜率分別為，所以因?yàn)閮蓷l切線相互垂直，所以，即， 由知在圓上，又點(diǎn)在直線上，所以直線與圓有公共點(diǎn)，所以，所以 綜上所述，的取值范圍為25（甘肅省蘭州市第一中學(xué)2019屆高三6月最后高考沖刺模擬數(shù)學(xué)理）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，過焦點(diǎn)且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為（）求橢圓的方程；（）點(diǎn)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接、，設(shè)的角平分線交橢圓的長(zhǎng)軸于點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（）；（）.【解析】（）將代入中，由可得，所以弦長(zhǎng)為，故有，解得，所以橢圓的方程為：.（）設(shè)點(diǎn)，又，則直線的方程分別為； .由題意可知.由于點(diǎn)為橢圓上除長(zhǎng)軸外的任一點(diǎn)，所以，所以， 因?yàn)?，所以，?因此， .32