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第二節(jié) 一元二次方程及應(yīng)用
,貴陽五年中考命題規(guī)律)
年份
題型
題號
考查點(diǎn)
考查內(nèi)容
分值
總分
2016
選擇
10
一元二次方程
根的定義及判定
以一元二次方程有兩個不等實(shí)數(shù)根為條件比較實(shí)數(shù)的大小
3
3
2015
未考
2014
未考
2013
解答
21
一元二次方程
的應(yīng)用
以汽車增加量為背景，列關(guān)于增長率的一元二次方程
10
10
2012
未考
命題規(guī)律
縱觀貴陽市5年中考，只有兩年考查了一元二次方程，2016年考查了一元二次方程根的定義及判別式，分值3分，題型是選擇題，題目難度較大；2013年考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，分值10分，題目難度一般．
命題預(yù)測
預(yù)計(jì)2017年貴陽中考考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用問題可能性較大.
,貴陽五年中考真題及模擬)
一元二次方程根的定義與判別式(1次)
1．(2016貴陽10題3分)若m，n(n
700，符合題意．∴x＝30.
,中考考點(diǎn)清單)
一元二次方程的概念
1．只含有__1__個未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是__2__，像這樣的__整式__方程叫一元二次方程．其一般形式是__ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__．
【溫馨提示】判斷一個方程是一元二次方程的條件：①是整式方程；②二次項(xiàng)系數(shù)不為零；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2，且只含有一個未知數(shù)．
一元二次方程的解法
2.
直接開
平方法
這種方法適合于左邊是一個完全平方式，而右邊是一個非負(fù)數(shù)的一元二次方程，即形如(x＋m)2＝n(n>0)的方程．
配方法
配方法一般適用于解二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)的這類一元二次方程，配方的關(guān)鍵是把方程左邊化為含有未知數(shù)的①__完全平方__式，右邊是一個非負(fù)常數(shù)．
公式法
求根公式為②__x＝(b2－4ac≥0)__，適用于所有的一元二次方程．
因式分
解法
因式分解法的步驟：(1)將方程右邊化為③__0__；(2)將方程左邊分解為一次因式的乘積；(3)令每個因式等于0，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程，它們的解就是一元二次方程的解.
【溫馨提示】關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解法：
(1)當(dāng)b＝0，c≠0時(shí)，x2＝－，考慮用直接開平方法解；(2)當(dāng)c＝0，b≠0時(shí)，用因式分解法解；(3)當(dāng)a＝1，b為偶數(shù)時(shí)，用配方法解簡便．
一元二次方程根的判別式
3．根的判別式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情況可由__b2－4ac__來判定，我們將__b2－4ac__稱為根的判別式．
4．判別式與根的關(guān)系：
(1)當(dāng)b2－4ac>0?方程有__兩個不相等__的實(shí)數(shù)根；
(2)當(dāng)b2－4ac<0?方程沒有實(shí)數(shù)根；
(3)當(dāng)b2－4ac＝0?方程有__兩個相等__的實(shí)數(shù)根．
【溫馨提示】(1)一元二次方程有實(shí)數(shù)根的前提是b2－4ac≥0.(2)當(dāng)a、c異號時(shí)Δ>0.
一元二次方程的應(yīng)用(高頻考點(diǎn))
5．列一元二次方程解應(yīng)用題的步驟：
①審題；②設(shè)未知數(shù)；③列方程；④解方程；⑤檢驗(yàn)；⑥做結(jié)論．
6．一元二次方程應(yīng)用問題常見的等量關(guān)系：
(1)增長率中的等量關(guān)系：增長率＝增量基礎(chǔ)量；
(2)利率中的等量關(guān)系：本息和＝本金＋利息，利息＝本金利率時(shí)間；
(3)利潤中的等量關(guān)系：毛利潤＝售出價(jià)－進(jìn)貨價(jià)，純利潤＝售出價(jià)－進(jìn)貨價(jià)－其他費(fèi)用，利潤率＝利潤進(jìn)貨價(jià)．
【方法點(diǎn)撥】利用方程根的意義，把方程的根代入方程中，是解決一元二次方程有關(guān)問題的一種重要方法，我們可以把這種方法稱為讓根回家．
,中考重難點(diǎn)突破)
一元二次方程的解法
【例1】(1)(2014白銀中考)若方程(m－1)xm2＋1＋mx－5＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則m＝________．
(2)解方程：(x－1)(2x－1)＝3(x－1)．
【解析】方程兩邊都含有因式x－1，如果在方程兩邊同時(shí)約去x－1，就會導(dǎo)致方程失去一個根x＝1，本題可先移項(xiàng)，利用因式分解法求解．
【學(xué)生解答】解：(1)－1；(2)方程化為(x－1)(2x－1)－3(x－1)＝0，即(x－1)(2x－1－3)＝0，所以x－1＝0或2x－4＝0，所以方程的解為x1＝1，x2＝2.
【點(diǎn)撥】解一元二次方程時(shí)，不能隨便在方程兩邊約去含未知數(shù)的代數(shù)式，否則，可能導(dǎo)致方程失去一個根．
1．(2016貴陽考試說明)用配方法解一元二次方程x2＋4x－5＝0，此方程可變形為( A )
A．(x＋2)2＝9 B．(x－2)2＝9
C．(x＋2)2＝1 D．(x－2)2＝1
2．(2016天津中考)方程x2＋x－12＝0的兩個根為( D )
A．x1＝2，x2＝6 B．x1＝－6，x2＝2
C．x1＝－3，x2＝4 D．x1＝－4，x2＝3
3．用因式分解法解方程：
(1)(2015蘭州中考)x2－1＝2(x＋1)；
解：原方程化為x2－2x－3＝0，∴(x－3)(x＋1)＝0，∴x－3＝0或x＋1＝0，∴x1＝3，x2＝－1；
(2)(2016山西中考)2(x－3)2＝x2－9.
解：原方程可化為2(x－3)2＝(x＋3)(x－3)，2(x－3)2－(x＋3)(x－3)＝0.(x－3)[2(x－3)－(x＋3)]＝0.(x－3)(x－9)＝0.∴x－3＝0或x－9＝0.∴x1＝3，x2＝9.
一元二次方程判別式的應(yīng)用
【例2】(2016懷化中考)一元二次方程x2－x－1＝0的根的情況為( )
A．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根
B．有兩個相等的實(shí)數(shù)根
C．只有一個實(shí)數(shù)根
D．沒有實(shí)數(shù)根
【解析】一元二次方程x2－x－1＝0中，a＝1，b＝－1，c＝－1，∴Δ＝b2－4ac＝(－1)2－41(－1)＝1＋4＝5，∴有兩個不相等實(shí)根．
【學(xué)生解答】A
4．(2016瀘州中考)若關(guān)于x的一元二次方程x2＋2(k－1)x＋k2－1＝0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是( D )
A．k≥1 B．k>1 C．k<1 D．k≤1
5．(2016淮安中考)若關(guān)于x的x2＋6x＋k＝0一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則k＝__9__．
6．(2016河南中考)若關(guān)于x的一元二次方程x2＋3x－k＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是__k>－__．
7．(2016白銀中考)已知關(guān)于x的方程x2＋mx＋m－2＝0.
(1)若此方程的一個根為1，求m的值；
(2)求證：不論m取何實(shí)數(shù)，此方程都有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．
解：(1)把x＝1代入方程x2＋mx＋m－2＝0得1＋m＋n－2＝0，解得m＝；(2)Δ＝m2－4(m－2)＝(m－2)2＋4.∵(m－2)2≥0，∴(m－2)2＋4>0，即Δ>0，∴此時(shí)方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．
一元二次方程的應(yīng)用
【例3】(2016梅州中考)用一條長40 cm的繩子圍成一個面積為64 cm2的矩形．設(shè)矩形的一邊長為x cm，則可列方程為________．
【解析】根據(jù)題意可知矩形的周長為40 cm，一邊長為x cm，則另一邊長為(20－x)cm.可列方程：x(20－x)＝64.
【學(xué)生解答】x(20－x)＝64
8．(2016丹東中考)某公司今年4月份營業(yè)額為60萬元，6月份營業(yè)額達(dá)到100萬元，設(shè)該公司5、6兩個月營業(yè)額的月均增長率為x，則可列方程為__60(1＋x)2＝100__．
9．(2016畢節(jié)中考)為進(jìn)一步發(fā)展基礎(chǔ)教育，自2014年以來，某縣加大了教育經(jīng)費(fèi)的投入，2014年該縣投入教育經(jīng)費(fèi)6 000萬元.2016年投入教育經(jīng)費(fèi)8 640萬元．假設(shè)該縣這兩年投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長率相同．
(1)求這兩年該縣投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長率；
(2)若該縣教育經(jīng)費(fèi)的投入還將保持相同的年平均增長率，請你預(yù)算2017年該縣投入教育經(jīng)費(fèi)多少萬元．
解：(1)設(shè)該縣投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長率為x.則有：6 000(1＋x)2＝8 640，解得：x1＝0.2，x2＝－2.2(不合題意，舍去)，∴該縣投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長率為20%；(2)因?yàn)?016年該縣投入教育經(jīng)費(fèi)為8 640萬元，且增長率為20%，∴2017年該縣投入教育經(jīng)費(fèi)y＝8 640(1＋0.2)＝10 368(萬元)．答：2017年該縣投入教育經(jīng)費(fèi)10 368萬元．
中考數(shù)學(xué)命題研究 第一編 教材知識梳理篇 第二章 方程（組）與不等式（組）第二節(jié) 一元二次方程及應(yīng)用（精講）試題
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