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1、
第六章 關系數(shù)據(jù)理論
（我們數(shù)據(jù)庫老師給的資料，蠻有用的，分享下）
一、求最小依賴集
例：設有依賴集：F={AB→C，C→A，BC→D，ACD→B，D→EG，BE→C，CG→BD，CE→AG}，計算與其等價的最小依賴集。
解：
1、將依賴右邊屬性單一化，結(jié)果為：
F1={AB→C，C→A，BC→D，ACD→B，D→E，D→G，BE→C，CG→B，CG→D，CE→A，CE→G }
2、在F1中去掉依賴左部多余的屬性。對于CE→A，由于C→A成立，故E是多余的；對于ACD→B，由于（CD）+=ABCEDG，故A是多余的。刪除依賴左部多余的依賴
2、后：
F2={AB→C，C→A，BC→D，CD→B，D→E，D→G，BE→C，CG→B，CG→D，CE→G }
3、在F2中去掉多余的依賴。對于CG→B，由于（CG）+=ABCEDG，故CG→B是多余的。刪除依賴左部多余的依賴后：
F3={AB→C，C→A，BC→D，CD→B，D→E，D→G，BE→C，CG→D，CE→G }
CG→B與CD→B不能同時存在，但去掉任何一個都可以，說明最小依賴集不唯一。
二、求閉包
例：關系模式R（U，F(xiàn)），其中U={A，B，C，D，E，I}，F(xiàn)={A→D，AB→E，BI→E，CD→I，E→C}，計
3、算（AE）+。
解：令X={AE}，X（0）=AE；
計算X（1）；逐一掃描F集合中各個函數(shù)依賴，在F中找出左邊是AE子集的函數(shù)依賴，其結(jié)果是：A→D，E→C。于是X（1）=AE∪DC=ACDE；
因為X（0）≠ X（1），且X（1）≠U，所以在F中找出左邊是ACDE子集的函數(shù)依賴，其結(jié)果是：CD→I。于是X（2）=ACDE∪I=ACDEI。
雖然X（2）≠ X（1），但在F中未用過的函數(shù)依賴的左邊屬性已沒有X（2）的子集，所以不必再計算下去，即（AE）+=ACDEI。
三、求候選鍵
例1：關系模式R（U，F(xiàn)），其中U={A，B，C
4、，D}，F(xiàn)={A→B，C→D}，試求此關系的候選鍵。
解：首先求屬性的閉包：
（A）+=AB， （B）+ =B， （C）+ =CD， （D）+ =D
（AB）+ =AB，（AC）+=ABCD=U，（AD）+ =ABD，（BC）+ =BCD，（BD）+ =BD，（CD）+ =CD
（ABD）+ =ABD，（BCD）+ =BCD，
因（AC）+=ABCD=U，且（A）+=AB，（C）+ =CD，由閉包的定義，AC→A，AC→B，AC→B，AC→D，由合并規(guī)則得AC→ABCD=U；
由候選碼的定義可得AC為候選碼。
后選
5、關鍵字的求解理論和算法
對于給定的關系R（A1，A2，…, An）和函數(shù)依賴集F，可將其屬性分為四類：
L類：僅出現(xiàn)在F的函數(shù)依賴左部的屬性；
R類：僅出現(xiàn)在F的函數(shù)依賴右部的屬性；
N類：在F的函數(shù)依賴左右兩邊均未出現(xiàn)的屬性；
LR類：在F的函數(shù)依賴左右兩邊均出現(xiàn)的屬性。
定理1 對于給定的關系模式R及其函數(shù)依賴集F，若X（X屬于R）是L類屬性，則X必為R的任一候選關鍵字的成員。
例1：關系模式R（U，F(xiàn)），其中U={A，B，C，D}，F(xiàn)={A→B，C→D}，試求此關系的候選鍵。
例2 設有關系模式R(A，B，C，D)，其函數(shù)依賴集F={D→B，B→D，AD→B，
6、AC→D}，求R的所有候選鍵。
推論 對于給定的關系模式R及其函數(shù)依賴集F，若X（X屬于R）是L類屬性，且X+包含了R的全部屬性，則X必為R的惟一候選關鍵字。
定理2 對于給定的關系模式R及其函數(shù)依賴集F，若X（X屬于R）是R類屬性，則X不在任何候選關鍵字中。
例3 關系模式R（U，F(xiàn)），其中U={A，B，C，D，E，P}，F(xiàn)={A→B，C→D，E→A ，CE→D }，試求此關系的候選鍵。
定理 3 對于給定的關系模式R及其函數(shù)依賴集F，若X（X屬于R）是N類屬性，則X必為R的任一候選關鍵字的成員。
例4 設有關系模式R(A，B，C，D，E，P)，其函數(shù)依賴集F
7、={A→D，E→D，D→B，BC→D，DC→A}，求R的所有候選關鍵字。
推論 對于給定的關系模式R及其函數(shù)依賴集F，若X（X屬于R）是N類和L類組成的屬性集，且X+包含了R的全部屬性，則X必為R的惟一候選關鍵字
四、關系模式規(guī)范化程度的判斷（在BCNF內(nèi)判斷）
例5 關系模式R（U，F(xiàn)），其中U={A，B，C，D}，函數(shù)依賴集F={B→D，AB→C}，試求R最高屬于第幾范式。
解：根據(jù)判定定理及推論得：AB必是候選碼的成員，且（AB）+=ABCD=U，所以AB為候選碼。則AB→D，又因B→D，存在非主屬性對碼的部分依賴，所以最高為1NF。
例6 關系模式R（U，
8、F），其中U={A，B，C，D，E}，函數(shù)依賴集F={AB→CE，E→AB，C→D}，試求R最高屬于第幾范式。
解：根據(jù)判定定理及推論得：屬性D肯定不在候選碼中，通過計算可得：
（AB）+=ABCDE=U，且（E）+=ABCDE=U，所以AB、E為候選碼；
由于F中不存在部分依賴，故R至少屬于2NF；
因AB→C，AB→E，C→D，存在非主屬性對碼的傳遞依賴，所以最高為2NF。
例7 關系模式R（U，F(xiàn)），其中U={A，B，C}，函數(shù)依賴集F={A→B，B→A，A→C}，試求R最高屬于第幾范式。
解：根據(jù)判定定理及推論得：屬性C肯定不在候選碼中，通過計算可得：
（A）+=A
9、BC=U，且（B）+=ABC=U，所以A、B為候選碼；
由于候選碼僅有一個屬性，不存在部分依賴，故R至少屬于2NF；
B→A，A→C，由于A→B，所以不存在非主屬性對碼的傳遞依賴，所以R也是3NF。
又因為F滿足BCNF的定義，故R也是BCNF。
例8 關系模式R（U，F(xiàn)），其中U={A，B，C}，函數(shù)依賴集F={A→B，B→A，C→A}，試求R最高屬于第幾范式。
解：根據(jù)判定定理及推論得：屬性C肯定在候選碼中，又因（C）+=ABC=U，所以C為候選碼；
由于候選碼僅有一個屬性，不存在部分依賴，故R至少屬于2NF；
C→A，A→B，存在非主屬性對碼的傳遞依賴，所以R最高為2
10、NF。
例9 關系模式R（U，F(xiàn)），其中U={A，B，C，D}，函數(shù)依賴集F={A→C，D→B}，試求R最高屬于第幾范式。
解：根據(jù)判定定理及推論得：屬性AD肯定在候選碼中，又因（AD）+=ABCD=U，所以AD為候選碼；
而AD→B，D→B，存在非主屬性對碼的部分依賴，所以R最高為1NF。
例10 關系模式R（U，F(xiàn)），其中U={A，B，C，D}，函數(shù)依賴集F={A→C，CD→B}，試求R最高屬于第幾范式。
解：根據(jù)判定定理及推論得：屬性AD肯定在候選碼中，又因（AD）+=ABCD=U，所以AD為候選碼；
而AD→C，A→C，存在非主屬性對碼的部分依賴，所以R最高為1NF。
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數(shù)據(jù)庫第六章關系數(shù)據(jù)理論習題講解【高教成教】
